Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 5: औसत
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औसत की मूल बातें
किसी भी सूची का औसत निकालो, छूटे हुए, जुड़ने वाले और जाने वाले मानों के लिए योग विधि अपनाओ, ग़लत लिखी प्रविष्टि सुधारो, श्रेणियों और क्रिकेट के औसत निकालो, और बराबर दूरियों पर औसत चाल ज्ञात करो।
What you will be able to do
- आप किसी सूची का औसत और औसत से योग निकाल सकेंगे।
- आप योग विधि से छूटा हुआ मान, या जुड़ने या जाने वाले व्यक्ति का मान निकाल सकेंगे।
- आप एक प्रविष्टि ग़लत लिखी जाने पर औसत सुधार सकेंगे।
- आप क्रमागत संख्याओं और मानक श्रेणियों का औसत एक चरण में निकाल सकेंगे।
- आप दो बराबर दूरियों वाली यात्रा की औसत चाल निकाल सकेंगे।
Key points
औसत = मानों का योग ÷ मानों की संख्या।
योग = औसत × मानों की संख्या। औसत के अधिकतर प्रश्न योगों की तुलना से हल होते हैं।
मानों के उनके औसत से विचलनों का योग सदा शून्य होता है।
हर मान में k जोड़ने से औसत k बढ़ता है; हर मान को k से गुणा करने पर औसत भी k गुना होता है।
समान अंतर वाले मानों का औसत (पहला + अंतिम) ÷ 2 होता है, जो बीच वाला मान भी है।
यदि एक मान x को y लिख दिया गया, तो औसत (x − y) ÷ n बदलता है।
जब कोई सदस्य जुड़े और औसत d बढ़े, तो नया सदस्य = नया औसत + (पुरानी संख्या) × d।
दो बराबर दूरियों पर औसत चाल 2xy ÷ (x + y) होती है, (x + y) ÷ 2 नहीं।
Full explanation
अंजलि की चाय की दुकान
अंजलि बस अड्डे के पास चाय की दुकान चलाती है। सोमवार से शुक्रवार तक उसने 42, 55, 38, 61 और 54 कप बेचे। दूधवाला पूछता है: "रोज़ कितने कप बिकते हैं?" कोई एक दिन पूरी तस्वीर नहीं देता, इसलिए उसे पाँचों दिनों के लिए एक उचित संख्या चाहिए।
वही उचित संख्या औसत है। इस टॉपिक के अंत तक तुम इसे सेकंडों में निकालोगे, और परीक्षा का हर मोड़ हल कर सकोगे।
औसत क्या है
$$\text{औसत} = \frac{\text{मानों का योग}}{\text{मानों की संख्या}}$$
अंजलि का योग $42 + 55 + 38 + 61 + 54 = 250$ है, 5 दिनों में, इसलिए औसत $250 \div 5 = 50$ कप है।
उलटकर: योग = औसत × संख्या। यही एक पंक्ति परीक्षा के अधिकतर प्रश्न हल कर देती है।
बराबर करने वाला चित्र
कल्पना करो कि ऊँचे दंडों के ऊपरी भाग काटकर छोटे दंडों में डाल दिए, जब तक सब बराबर न हो जाएँ। जिस ऊँचाई पर सब बराबर हुए, वही औसत है।
50 से ऊपर अतिरिक्त $5 + 11 + 4 = 20$ है; कमी $8 + 12 = 20$ है। ये सदा बराबर होते हैं, इसलिए औसत से विचलनों का योग शून्य होता है।
शॉर्टकट: कल्पित औसत
बड़ी संख्याओं के लिए एक गोल औसत मान लो और उसे सुधारो।
उदाहरण: 487, 492, 503, 498, 510। मान लो 500। विचलन: $-13, -8, +3, -2, +10$, योग $= -10$। सुधार $= -10 \div 5 = -2$, इसलिए औसत $500 - 2 = 498$ है।
चार काम के नियम
इनसे कई प्रश्न बिना हल किए ही हो जाते हैं।
श्रेणी और क्रमागत संख्याएँ
जब मान बराबर कदम से बढ़ें, तो औसत बीच वाला मान होता है, जो $\frac{\text{पहला} + \text{अंतिम}}{2}$ के बराबर है।
- 5 क्रमागत सम संख्याओं का औसत 36 है: वे 32, 34, 36, 38, 40 हैं।
- पहली 50 प्राकृत संख्याओं का औसत: $\frac{50 + 1}{2} = 25.5$।
जुड़ना, जाना और छूटे हुए मान
योग बनाओ और उनकी तुलना करो।
छूटा मान: 5 विषयों का औसत 72 है और चार विषयों के अंक मिलाकर 287 हैं। ज़रूरी योग $= 5 \times 72 = 360$, इसलिए पाँचवें के अंक $360 - 287 = 73$।
कोई जुड़ता है: शॉर्टकट है नया सदस्य = नया औसत + (पुरानी संख्या) × बढ़त।
ग़लत लिखी प्रविष्टि
20 संख्याओं का औसत 45 निकला, पर एक संख्या 64 को 46 पढ़ लिया गया। योग $64 - 46 = 18$ कम था, इसलिए औसत $18 \div 20 = 0.9$ कम था।
सही औसत $= 45 + 0.9 = 45.9$।
क्रिकेट: एक और पारी
एक बल्लेबाज़ 17वीं पारी में 87 रन बनाता है और औसत 3 बढ़ जाता है। मान लो पुराना औसत $a$ है।
$16a + 87 = 17(a + 3)$, इसलिए $a = 87 - 51 = 36$ और नया औसत $39$ है।
शॉर्टकट: नया औसत $= \text{स्कोर} - (\text{पुरानी पारियाँ}) \times \text{बढ़त} = 87 - 16 \times 3 = 39$।
बराबर दूरियों पर औसत चाल
एक बस 120 किमी 60 किमी/घंटा से जाती है और 40 किमी/घंटा से लौटती है। 240 किमी में समय $= 2 + 3 = 5$ घंटे, इसलिए औसत चाल 48 किमी/घंटा है।
बराबर दूरियों का सूत्र: $\frac{2xy}{x + y} = \frac{2 \times 60 \times 40}{100} = 48$। धीमे भाग में अधिक समय लगता है, इसलिए वह औसत को नीचे खींचता है।
अंजलि के पास वापस
अंजलि दूधवाले से कहती है: लगभग 50 कप रोज़। वह पाँच दिनों के 250 कपों का दूध लाता है। शनिवार को वह 62 कप बेचती है; छह दिनों का नया औसत $\frac{250 + 62}{6} = 52$ है। उसने छहों को फिर से नहीं जोड़ा: बस योग में जोड़ दिया।
परीक्षा का सार: योग बनाओ, योगों की तुलना करो, अंत में एक बार भाग दो।
Concepts and terms
एक संख्या जो सूची के हर मान की जगह ले सके: योग को बराबर बाँटना। 42, 55, 38, 61, 54 का औसत 250 ÷ 5 = 50 है।
हर औसत को योग (औसत × संख्या) में बदलो, योग जोड़ो या घटाओ, और अंत में भाग दो।
एक औसत मान लो, हर मान उससे कितना दूर है यह देखो, और उन अंतरों के औसत से अनुमान सुधारो।
कुल दूरी ÷ कुल समय। x और y चाल से दो बराबर दूरियों के लिए यह 2xy ÷ (x + y) है।
Did you know
क्रिकेट में बल्लेबाज़ी औसत रनों को आउट होने की संख्या से भाग देकर निकलता है, खेली गई पारियों से नहीं।
मौसम विभाग इस वर्ष की वर्षा की तुलना कई वर्षों के दीर्घकालिक औसत से करके "सामान्य" मानसून बताता है।
Memory tricks
औसत का कोई भी प्रश्न — योग बना लो — औसत × संख्या से योग मिलता है। पहले और बाद के योग की तुलना करो; अंतर ही उत्तर है।
औसत चाल — दो x y बटा x धन y — बराबर दूरियाँ: 2xy ÷ (x + y)। उत्तर सदा चालों के साधारण औसत से थोड़ा कम होता है।
Practice MCQs with answers (77)
- A 52.5
- B 71.5
- C 78.75
- D 63
Show answer
Why:
योग = 315; औसत = 315 ÷ 5 = 63।
- A 53
- B 63.6
- C 55.5
- D 52
Show answer
Why:
योग = 318; औसत = 318 ÷ 6 = 53।
- A 31.5
- B 36
- C 34.5
- D 42
Show answer
Why:
योग = 252; औसत = 252 ÷ 7 = 36।
- A 40.5
- B 43
- C 41
- D 51.25
Show answer
Why:
योग = 205; औसत = 205 ÷ 5 = 41।
- A 126.5
- B 178
- C 106.4
- D 133
Show answer
Why:
योग = 532; औसत = 532 ÷ 4 = 133।
- A 1,331
- B 1,424
- C 1,597.2
- D 1,510.5
Show answer
Why:
योग = 7,986; औसत = 7,986 ÷ 6 = 1,331।
- A 70
- B 73
- C 71
- D 75
Show answer
Why:
योग = 584; औसत = 584 ÷ 8 = 73।
- A 24.5
- B 50
- C 25
- D 1,225
Show answer
Why:
औसत = (n + 1) ÷ 2 = (49 + 1) ÷ 2 = 25।
- A 40
- B 81
- C 3,240
- D 40.5
Show answer
Why:
औसत = (n + 1) ÷ 2 = (80 + 1) ÷ 2 = 40.5।
- A 41
- B 40
- C 42
- D 80
Show answer
Why:
2 + 4 + … + 80 का औसत n + 1 = 41 है।
- A 36
- B 35
- C 69
- D 17.5
Show answer
Why:
1 + 3 + … + 69 = 35², इसलिए औसत 35 है।
- A 91
- B 42
- C 45.5
- D 84
Show answer
Why:
7, 14, …, 84: औसत = (7 + 84) ÷ 2 = 45.5।
- A 32
- B 55.5
- C 43.5
- D 55
Show answer
Why:
समान अंतर, इसलिए औसत = (23 + 87) ÷ 2 = 55।
- A 46
- B 66
- C 57
- D 36
Show answer
Why:
योग = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6 = 506; 11 से भाग पर 46।
- A 180
- B 94.5
- C 189
- D 90
Show answer
Why:
9, 18, …, 180: औसत = (9 + 180) ÷ 2 = 94.5।
- A 72
- B 78
- C 73
- D 68
Show answer
Why:
ज़रूरी योग = 5 × 72 = 360; ज्ञात योग = 287; अंतिम = 360 − 287 = 73।
- A 76
- B 64
- C 65
- D 70
Show answer
Why:
ज़रूरी योग = 6 × 65 = 390; ज्ञात योग = 320; अंतिम = 390 − 320 = 70।
- A 11
- B 5
- C 8
- D 17
Show answer
Why:
ज़रूरी योग = 6 × 8 = 48; ज्ञात योग = 37; अंतिम = 48 − 37 = 11।
- A 34
- B 24
- C 31
- D 17
Show answer
Why:
ज़रूरी योग = 7 × 24 = 168; ज्ञात योग = 144; अंतिम = 168 − 144 = 24।
- A 93
- B 99
- C 89
- D 85
Show answer
Why:
ज़रूरी योग = 4 × 85 = 340; ज्ञात योग = 251; अंतिम = 340 − 251 = 89।
- A 39.5
- B 392
- C 343
- D 367.5
Show answer
Why:
योग = औसत × संख्या = 24.5 × 15 = 367.5।
- A ₹15,600
- B ₹14,950
- C ₹674
- D ₹16,250
Show answer
Why:
योग = औसत × संख्या = 650 × 24 = ₹15,600।
- A 49.3
- B 447.6
- C 484.9
- D 410.3
Show answer
Why:
योग = औसत × संख्या = 37.3 × 12 = 447.6।
- A 46
- B 44
- C 45
- D 16
Show answer
Why:
नया योग − पुराना योग = 31 × 15 − 30 × 14 = 465 − 420 = 45।
- A 72
- B 70
- C 51
- D 71
Show answer
Why:
नया योग − पुराना योग = 11 × 61 − 10 × 60 = 671 − 600 = 71।
- A ₹49,500
- B ₹21,000
- C ₹51,000
- D ₹48,000
Show answer
Why:
नया योग − पुराना योग = 21 × 19,500 − 20 × 18,000 = 4,09,500 − 3,60,000 = ₹49,500।
- A 31
- B 30
- C 52
- D 29
Show answer
Why:
नया योग − पुराना योग = 12 × 41 − 11 × 42 = 492 − 462 = 30।
- A 56
- B 54
- C 55
- D 17
Show answer
Why:
नया योग − पुराना योग = 40 × 16 − 39 × 15 = 640 − 585 = 55।
- A 57
- B 7
- C 1
- D 56
Show answer
Why:
पुराना योग 25 × 32 = 800; नया योग 24 × 31 = 744; अंतर = 56।
- A 44
- B 46
- C 14
- D 2
Show answer
Why:
पुराना योग 8 × 30 = 240; नया योग 7 × 28 = 196; अंतर = 44।
- A ₹300
- B ₹760
- C ₹20
- D ₹780
Show answer
Why:
पुराना योग 12 × 540 = 6,480; नया योग 11 × 520 = 5,720; अंतर = ₹760।
- A 19
- B 11
- C 12
- D 29
Show answer
Why:
पुराना योग 9 × 20 = 180; नया योग 8 × 21 = 168; अंतर = 12।
- A 63
- B 46.8
- C 44.1
- D 45.9
Show answer
Why:
त्रुटि = 64 − 46 = 18; 20 में बाँटो: 0.9। सही औसत = 45 + 0.9 = 45.9।
- A 61.1
- B 26
- C 60.2
- D 62.9
Show answer
Why:
त्रुटि = 48 − 84 = −36; 40 में बाँटो: 0.9। सही औसत = 62 − 0.9 = 61.1।
- A 40
- B 38
- C 34
- D 86
Show answer
Why:
त्रुटि = 87 − 37 = 50; 25 में बाँटो: 2। सही औसत = 36 + 2 = 38।
- A 69.46
- B 97
- C 70.54
- D 71.08
Show answer
Why:
त्रुटि = 96 − 69 = 27; 50 में बाँटो: 0.54। सही औसत = 70 + 0.54 = 70.54।
- A 12.6
- B 20.7
- C 15
- D 15.3
Show answer
Why:
त्रुटि = 25 − 52 = −27; 10 में बाँटो: 2.7। सही औसत = 18 − 2.7 = 15.3।
- A 56
- B 6
- C 50.5
- D 50
Show answer
Why:
पहले 6 + अंतिम 6 = 294 + 312 = 606, जिसमें बीच वाला दो बार गिना गया। सभी 11 = 550। बीच वाला = 606 − 550 = 56।
- A 34
- B 42
- C 8
- D 35
Show answer
Why:
पहले 4 + अंतिम 4 = 120 + 160 = 280, जिसमें बीच वाला दो बार गिना गया। सभी 7 = 238। बीच वाला = 280 − 238 = 42।
- A 68
- B 14
- C 82
- D 69
Show answer
Why:
पहले 7 + अंतिम 7 = 420 + 546 = 966, जिसमें बीच वाला दो बार गिना गया। सभी 13 = 884। बीच वाला = 966 − 884 = 82।
- A 44
- B 10
- C 45
- D 54
Show answer
Why:
पहले 5 + अंतिम 5 = 210 + 240 = 450, जिसमें बीच वाला दो बार गिना गया। सभी 9 = 396। बीच वाला = 450 − 396 = 54।
- A 39
- B 33
- C 42
- D 36
Show answer
Why:
पुराना औसत a: 16a + 87 = 17(a + 3), इसलिए a = 87 − 17 × 3 = 36; नया औसत = 39।
- A 56
- B 52
- C 48
- D 44
Show answer
Why:
पुराना औसत a: 11a + 96 = 12(a + 4), इसलिए a = 96 − 12 × 4 = 48; नया औसत = 52।
- A 50
- B 44
- C 47
- D 53
Show answer
Why:
पुराना औसत a: 20a + 110 = 21(a + 3), इसलिए a = 110 − 21 × 3 = 47; नया औसत = 50।
- A 58
- B 56
- C 52
- D 54
Show answer
Why:
पुराना औसत a: 8a + 72 = 9(a + 2), इसलिए a = 72 − 9 × 2 = 54; नया औसत = 56।
- A 48
- B 24
- C 46
- D 50
Show answer
Why:
बराबर दूरियाँ: 2xy ÷ (x + y) = 2 × 60 × 40 ÷ 100 = 48।
- A 14
- B 16
- C 18
- D 8
Show answer
Why:
बराबर दूरियाँ: 2xy ÷ (x + y) = 2 × 12 × 24 ÷ 36 = 16।
- A 30
- B 62
- C 60
- D 62.5
Show answer
Why:
बराबर दूरियाँ: 2xy ÷ (x + y) = 2 × 50 × 75 ÷ 125 = 60।
- A 42
- B 40.5
- C 20
- D 40
Show answer
Why:
बराबर दूरियाँ: 2xy ÷ (x + y) = 2 × 36 × 45 ÷ 81 = 40।
- A 2
- B 3
- C 1
- D 14
Show answer
Why:
आज 5 सदस्यों का योग 5 × (17 + 3) = 100। बच्चे सहित 6 × 17 = 102। बच्चा = 102 − 100 = 2।
- A 5
- B 2
- C 3
- D 1
Show answer
Why:
आज 4 सदस्यों का योग 4 × (22 + 5) = 108। बच्चे सहित 5 × 22 = 110। बच्चा = 110 − 108 = 2।
- A 31
- B 47
- C 27
- D 23
Show answer
Why:
हर सदस्य की आयु 4 वर्ष बदलती है, इसलिए औसत भी 4 बदलता है: 23 + 4 = 27।
- A 34
- B 32.8
- C 4
- D 28
Show answer
Why:
हर सदस्य की आयु 6 वर्ष बदलती है, इसलिए औसत भी 6 बदलता है: 34 − 6 = 28।
- A 40
- B 42
- C 41
- D 32
Show answer
Why:
औसत बीच वाली संख्या है, इसलिए संख्याएँ 32, 34, 36, 38, 40 हैं। सबसे बड़ी 40 है।
- A 33
- B 27
- C 26
- D 23
Show answer
Why:
औसत बीच वाली संख्या है, इसलिए संख्याएँ 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 हैं। सबसे छोटी 27 है।
- A 54
- B 43
- C 53
- D 55
Show answer
Why:
औसत बीच वाली संख्या है, इसलिए संख्याएँ 43, 45, 47, 49, 51, 53 हैं। सबसे बड़ी 53 है।
- A 32
- B 49
- C 31
- D 33
Show answer
Why:
औसत बीच वाली संख्या है, इसलिए संख्याएँ 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49 हैं। सबसे छोटी 33 है।
- A 25
- B 20.5
- C 20
- D 70
Show answer
Why:
हर मान 5 बढ़ता है, इसलिए औसत भी 5 बढ़ता है: 20 + 5 = 25।
- A 12
- B 36
- C 15
- D 540
Show answer
Why:
योग 3 गुना होता है और संख्या 15 ही रहती है, इसलिए औसत 12 × 3 = 36।
- A 50
- B 36
- C 43
- D 18
Show answer
Why:
वही चरण औसत पर लगाओ: 25 × 2 − 7 = 43।
- A 93
- B 75
- C 78
- D 90
Show answer
Why:
ज़रूरी योग 6 × 75 = 450; उसके पास 5 × 72 = 360; अगला टेस्ट = 90। शॉर्टकट: 75 + 5 × 3 = 90।
- A 84
- B 86
- C 66
- D 68
Show answer
Why:
ज़रूरी योग 10 × 66 = 660; उसके पास 9 × 64 = 576; अगला टेस्ट = 84। शॉर्टकट: 66 + 9 × 2 = 84।
- A 97.5
- B 78
- C 77
- D 79
Show answer
Why:
योग = 72 + 85 + 64 + 90 + 79 = 390; औसत = 390 ÷ 5 = 78।
- A 4
- B 1
- C 3
- D 2
Show answer
Why:
औसत = 312 ÷ 6 = 52। इससे अधिक: 72, 60, 84, यानी 3 मैच।
- A 47
- B 54
- C 46.6
- D 49
Show answer
Why:
योग = 6 × 47 = 282; बाक़ी पाँच का योग 233; गुरुवार = 282 − 233 = 49।
- A 32
- B 31
- C 32.5
- D 33
Show answer
Why:
योग = 224; 224 ÷ 7 = 32। शॉर्टकट: 32 मानो; विचलन −1, +2, −3, +1, +4, −2, −1 का योग 0।
- A 27
- B 26
- C 25
- D 28
Show answer
Why:
D (35 किग्रा) की जगह 25 किग्रा: योग 10 घटता है, इसलिए औसत 10 ÷ 5 = 2 घटकर 28 − 2 = 26।
- A 40
- B 41
- C 36
- D 75
Show answer
Why:
सबसे बड़ा मान कम-से-कम औसत के बराबर होता है, इसलिए 36 नहीं हो सकता (सब 40 हों तो 40 हो सकता है)।
- A दुगुना होता है
- B बढ़ता है
- C घटता है
- D वही रहता है
Show answer
Why:
नया मान शून्य विचलन जोड़ता है, इसलिए संतुलन बिंदु नहीं हिलता।
- A −3
- B −2
- C 3
- D 0
Show answer
Why:
विचलनों का योग 0: −4 + 2 − 1 + 6 + x = 0, इसलिए x = −3।
- A बीच वाला मान लेना
- B हर औसत को योग में बदलना
- C औसतों को भाग देना
- D औसतों को जोड़ना
Show answer
Why:
योग जोड़े-घटाए जा सकते हैं; अलग आकार के समूहों के औसत नहीं।
- A बताया नहीं जा सकता
- B ठीक 40 किमी/घंटा है
- C 40 किमी/घंटा से कम है
- D 40 किमी/घंटा से अधिक है
Show answer
Why:
वह धीमी चाल पर अधिक समय बिताता है, इसलिए औसत (37.5) साधारण माध्य 40 से कम है।
- A हर संख्या 0 है
- B कम-से-कम 5 ऋणात्मक हैं
- C उनका गुणनफल 0 है
- D उनका योग 0 है
Show answer
Why:
औसत 0 का अर्थ केवल योग = 10 × 0 = 0 है; जैसे 5, −5, 0, … भी चलेगा।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
दोनों सत्य: 75 ÷ 5 = 15, और R ही कारण है कि बीच वाला 15 उत्तर है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
A असत्य है: 2 × 40 × 60 ÷ 100 = 48। R सत्य है और यही नियम 48 देता है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
हर मान में 4 जोड़ने से औसत 29 होता है। दुगुना करने पर 50 होता है, 27 नहीं।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
1 असत्य: 1 और 2 का औसत 1.5 है, जो समूह में नहीं। 2 सत्य है (सीमा के बराबर तभी जब सब मान बराबर हों)।
Important short questions (4)
योग = 7 × 26 = 182। पहली चार = 96। अंतिम तीन = 86, इसलिए औसत = 86 ÷ 3 ≈ 28.67।
वे 6, 12, …, 96 हैं, समान अंतर पर, इसलिए औसत (6 + 96) ÷ 2 = 51।
समय = 2 + 3 = 5 घंटे, दूरी 60 किमी, इसलिए 60 ÷ 5 = 12 किमी/घंटा। जाँच: 2 × 15 × 10 ÷ 25 = 12।
त्रुटि = 80 − 20 = 60; 60 ÷ 30 = 2; सही औसत = 52।
Long answer questions (1)
(a) पुराना योग = 40 × 62 = 2,480। नया योग = 41 × 62.5 = 2,562.5। उसके अंक = 82.5।
(b) उसके जाने के बाद योग = 2,562.5 − 30 = 2,532.5, 40 विद्यार्थियों के लिए, इसलिए औसत = 63.3125 ≈ 63.31।
Flashcards (14)
Play this topic
- औसत सही या ग़लत?
प्रतिस्थापन और भारित औसत
अलग-अलग आकार के समूहों को भारित औसत से मिलाओ, मिश्रण नियम से छूटा समूह-आकार या अनुपात निकालो, प्रतिस्थापन के प्रश्न एक पंक्ति में हल करो, और मिश्रण, क्रेडिट तथा असमान भागों वाली यात्राएँ हल करो।
What you will be able to do
- आप अलग-अलग आकार के दो या तीन समूहों का संयुक्त औसत निकाल सकेंगे।
- आप मिश्रण नियम से समूहों के औसतों द्वारा उनका अनुपात या आकार निकाल सकेंगे।
- आप ऐसे प्रतिस्थापन प्रश्न हल कर सकेंगे जिनमें एक या दो सदस्य बदले जाते हैं।
- आप मिश्रण का औसत मूल्य और असमान भागों वाली यात्रा की औसत चाल निकाल सकेंगे।
Key points
भारित औसत = (n₁a₁ + n₂a₂ + …) ÷ (n₁ + n₂ + …)। हर औसत को उसके समूह के आकार से भार दिया जाता है।
दो औसतों का साधारण माध्य तभी सही है जब समूह बराबर आकार के हों।
संयुक्त औसत सदा समूह-औसतों के बीच, बड़े समूह के अधिक पास होता है।
मिश्रण नियम: n₁ : n₂ = (a₂ − c) : (c − a₁), जहाँ c संयुक्त औसत है।
प्रतिस्थापन: आने वाला − जाने वाला = (सदस्यों की संख्या) × (औसत में बदलाव)।
मिश्रण का औसत मूल्य = कुल लागत ÷ कुल मात्रा।
औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय; हर चाल को उस पर बिताए समय से भार मिलता है।
Full explanation
शर्मा जी के दो बैच
शर्मा जी सुबह 30 विद्यार्थियों का और शाम 20 विद्यार्थियों का बैच पढ़ाते हैं। एक मॉक टेस्ट में सुबह का औसत 60 और शाम का 75 रहा। एक अभिभावक कहते हैं: "तो कक्षा का औसत $(60 + 75) \div 2 = 67.5$ हुआ।" शर्मा जी मुस्कुराते हैं। उत्तर 67.5 नहीं है।
यह टॉपिक बताता है क्यों, और एक पंक्ति में सही उत्तर कैसे निकालें।
भारित औसत
हर औसत को योग में बदलो, योग जोड़ो, और सभी की संख्या से भाग दो:
$$\text{संयुक्त औसत} = \frac{n_1 a_1 + n_2 a_2}{n_1 + n_2}$$
यहाँ: $\frac{30 \times 60 + 20 \times 75}{50} = \frac{1800 + 1500}{50} = 66$।
साधारण माध्य क्यों ग़लत है
साधारण माध्य $67.5$ दोनों बैचों को बराबर बड़ा मानता है। पर सुबह के बैच में अधिक विद्यार्थी हैं, इसलिए उसका भार अधिक होना चाहिए। सही औसत 66, बड़े समूह यानी 60 के अधिक पास है।
साधारण माध्य तभी सही है जब समूह बराबर आकार के हों।
झूले वाला चित्र
दोनों समूहों को एक डंडे के दो सिरों पर रखो। संतुलन बिंदु ही संयुक्त औसत है। भारी सिरा आधार को अपनी ओर खींचता है, और दूरियाँ समूहों के आकार के उलटे अनुपात में होती हैं।
मिश्रण नियम: अनुपात निकालना
यदि दोनों औसत और संयुक्त औसत पता हों, तो झूला तुरंत अनुपात दे देता है:
$$n_1 : n_2 = (a_2 - c) : (c - a_1)$$
हल किया उदाहरण: तकनीशियन
एक कारख़ाने का औसत वेतन ₹8,000 है। इसके 7 तकनीशियन औसतन ₹12,000 और बाक़ी ₹6,000 कमाते हैं। कुल कितने कर्मचारी हैं?
अंतर: $12000 - 8000 = 4000$ और $8000 - 6000 = 2000$। तकनीशियन : अन्य $= 2000 : 4000 = 1 : 2$। इसलिए 14 अन्य हैं और कुल 21 कर्मचारी।
एक पंक्ति में प्रतिस्थापन
जब एक सदस्य बदला जाता है, तो संख्या वही रहती है। इसलिए योग $n \times d$ बदलता है, जहाँ $d$ औसत में बदलाव है:
$$\text{नया सदस्य} = \text{बदला गया सदस्य} + n \times d$$
यदि औसत घटे, तो $d$ ऋणात्मक है।
एक साथ दो बदले
10 पुरुषों की औसत आयु 2 वर्ष बढ़ जाती है जब 20 और 24 वर्ष के दो पुरुषों की जगह दो महिलाएँ आती हैं। योग $10 \times 2 = 20$ बढ़ता है, इसलिए दोनों महिलाओं की कुल आयु $44 + 20 = 64$ वर्ष, यानी औसत 32 वर्ष।
मिश्रण और यात्रा
मिश्रण: ₹40 वाला 30 किग्रा और ₹55 वाला 20 किग्रा चावल: 50 किग्रा की लागत $1200 + 1100 = 2300$, यानी ₹46 प्रति किग्रा।
यात्रा: 2 घंटे 60 किमी/घंटा और 3 घंटे 40 किमी/घंटा: 5 घंटे में $120 + 120 = 240$ किमी, इसलिए औसत चाल 48 किमी/घंटा। चालों को समय से भार मिलता है, मूल्यों को मात्रा से।
शर्मा जी के पास वापस
शर्मा जी अभिभावक को तालिका दिखाते हैं: 50 विद्यार्थियों में बँटे 3300 अंक यानी 66, 67.5 नहीं। अभिभावक मान जाते हैं: सुबह का बड़ा बैच औसत को 60 की ओर खींचता है। अब दो औसतों का औसत लेने से पहले वे पूछेंगे कि हर समूह कितना बड़ा है।
परीक्षा का सार: आकार से भार दो, अनुपात के लिए झूला अपनाओ, और प्रतिस्थापन के लिए आया = गया + n × d याद रखो।
Concepts and terms
ऐसा औसत जिसमें हर मान उतनी बार गिना जाता है जितना उसका भार। 60 वाले 30 और 75 वाले 20 विद्यार्थी: 3300 ÷ 50 = 66।
दो समूहों के औसत और मिश्रण से उनका अनुपात निकालने की तेज़ विधि: अंतर, उलटे क्रम में।
एक सदस्य जाता है और दूसरा उसकी जगह आता है; संख्या वही रहती है, इसलिए योग n × (औसत में बदलाव) से बदलता है।
2 घंटे 60 और 1 घंटा 30 की चाल: (120 + 30) ÷ 3 = 50 किमी/घंटा; चालों को घंटों से भार मिलता है।
Did you know
विश्वविद्यालय का सीजीपीए एक भारित औसत है: हर ग्रेड अंक को उस पाठ्यक्रम के क्रेडिट से भार मिलता है।
सेंसेक्स 30 कंपनियों के शेयर मूल्यों का भारित औसत है, हर कंपनी के बाज़ार मूल्य के भार से।
Memory tricks
मिश्रण नियम — अंतर, फिर उलटो — हर औसत का मिश्रण से अंतर निकालो, फिर उलटो: दूर वाले समूह का हिस्सा छोटा होता है।
प्रतिस्थापन — आया = गया + n × d — नया सदस्य = जाने वाला + संख्या × औसत में बदलाव।
Practice MCQs with answers (61)
- A 82.5
- B 67.5
- C 85
- D 87.5
Show answer
Why:
संख्या वही, इसलिए योग 8 × 2.5 = 20 बदलता है। नया = 65 + 20 = 85।
- A 75
- B 69
- C 45
- D 72
Show answer
Why:
संख्या वही, इसलिए योग 10 × 3 = 30 बदलता है। नया = 42 + 30 = 72।
- A 19
- B 18.75
- C 16.25
- D 19.25
Show answer
Why:
संख्या वही, इसलिए योग 12 × 0.25 = 3 बदलता है। नया = 16 + 3 = 19।
- A 58
- B 60
- C 62
- D 70
Show answer
Why:
संख्या वही, इसलिए योग 6 × 2 = 12 बदलता है। नया = 72 − 12 = 60।
- A ₹36,600
- B ₹35,400
- C ₹36,000
- D ₹24,600
Show answer
Why:
संख्या वही, इसलिए योग 20 × 600 = 12,000 बदलता है। नया = 24,000 + 12,000 = ₹36,000।
- A 10.8
- B 11.2
- C 13.8
- D 11
Show answer
Why:
संख्या वही, इसलिए योग 15 × 0.2 = 3 बदलता है। नया = 14 − 3 = 11।
- A 71.5
- B 73
- C 70
- D 59.5
Show answer
Why:
संख्या वही, इसलिए योग 9 × 1.5 = 13.5 बदलता है। नया = 58 + 13.5 = 71.5।
- A 95
- B 65
- C 77.5
- D 62.5
Show answer
Why:
बदला गया = नया − n × d = 80 − 6 × 2.5 = 65।
- A 113
- B 93.2
- C 77
- D 75.2
Show answer
Why:
बदला गया = नया − n × d = 95 − 10 × 1.8 = 77।
- A 62.5
- B 76
- C 68.5
- D 64
Show answer
Why:
बदला गया = नया − n × d = 70 − 4 × 1.5 = 64।
- A 32
- B 30
- C 64
- D 24
Show answer
Why:
योग 10 × 2 = 20 बढ़ता है। दोनों नए मिलकर 44 + 20 = 64, इसलिए उनका औसत 32।
- A 46
- B 48
- C 96
- D 42
Show answer
Why:
योग 8 × 2 = 16 बढ़ता है। दोनों नए मिलकर 80 + 16 = 96, इसलिए उनका औसत 48।
- A 35
- B 47
- C 50
- D 100
Show answer
Why:
योग 12 × 3 = 36 बढ़ता है। दोनों नए मिलकर 64 + 36 = 100, इसलिए उनका औसत 50।
- A 69
- B 110
- C 67.5
- D 66
Show answer
Why:
(30 × 60 + 20 × 75) ÷ 50 = 3,300 ÷ 50 = 66। (साधारण माध्य 67.5 समूह आकार को नहीं देखता।)
- A 59
- B 60
- C 58
- D 57
Show answer
Why:
(25 × 52 + 35 × 64) ÷ 60 = 3,540 ÷ 60 = 59। (साधारण माध्य 58 समूह आकार को नहीं देखता।)
- A ₹570
- B ₹480
- C ₹600
- D ₹525
Show answer
Why:
(40 × 450 + 10 × 600) ÷ 50 = 24,000 ÷ 50 = ₹480। (साधारण माध्य 525 समूह आकार को नहीं देखता।)
- A 65
- B 62.5
- C 64
- D 61
Show answer
Why:
(18 × 70 + 12 × 55) ÷ 30 = 1,920 ÷ 30 = 64। (साधारण माध्य 62.5 समूह आकार को नहीं देखता।)
- A 74
- B 77
- C 72
- D 71
Show answer
Why:
(45 × 68 + 15 × 80) ÷ 60 = 4,260 ÷ 60 = 71। (साधारण माध्य 74 समूह आकार को नहीं देखता।)
- A ₹470
- B ₹445
- C ₹471
- D ₹457.5
Show answer
Why:
(24 × 520 + 16 × 395) ÷ 40 = 18,800 ÷ 40 = ₹470। (साधारण माध्य 457.5 समूह आकार को नहीं देखता।)
- A 57.8
- B 55.8
- C 53.8
- D 55
Show answer
Why:
योग = 1200 + 2100 + 2280 = 5580; खिलाड़ी = 100; औसत = 55.8।
- A 42.4
- B 38.4
- C 40.4
- D 41.4
Show answer
Why:
योग = 400 + 720 + 900 = 2020; खिलाड़ी = 50; औसत = 40.4।
- A 36
- B 20.4
- C 35
- D 34
Show answer
Why:
कक्षा का योग = 40 × 39 = 1560; लड़के = 25 × 42 = 1050; लड़कियाँ = 510 ÷ 15 = 34।
- A 42.5
- B 44
- C 43.5
- D 41.5
Show answer
Why:
कक्षा का योग = 30 × 47 = 1410; लड़के = 18 × 50 = 900; लड़कियाँ = 510 ÷ 12 = 42.5।
- A 8.25
- B 33
- C 34
- D 36
Show answer
Why:
कक्षा का योग = 40 × 37 = 1480; लड़के = 32 × 38 = 1216; लड़कियाँ = 264 ÷ 8 = 33।
- A 60
- B 41
- C 40
- D 39
Show answer
Why:
कक्षा का योग = 50 × 42 = 2100; लड़के = 20 × 45 = 900; लड़कियाँ = 1200 ÷ 30 = 40।
- A 4 : 5
- B 5 : 2
- C 2 : 3
- D 3 : 2
Show answer
Why:
अंतर: 75 − 66 = 9 और 66 − 60 = 6। उलटो: लड़के : लड़कियाँ = 9 : 6 = 3 : 2।
- A 2 : 1
- B 1 : 2
- C 8 : 11
- D 3 : 1
Show answer
Why:
अंतर: 55 − 45 = 10 और 45 − 40 = 5। उलटो: ₹40 वाला : ₹55 वाला = 10 : 5 = 2 : 1।
- A 3 : 2
- B 1 : 2
- C 2 : 1
- D 2 : 5
Show answer
Why:
अंतर: 45,000 − 36,000 = 9,000 और 36,000 − 18,000 = 18,000। उलटो: क्लर्क : प्रबंधक = 9,000 : 18,000 = 1 : 2।
- A 8 : 3
- B 31 : 50
- C 5 : 3
- D 3 : 5
Show answer
Why:
अंतर: 200 − 150 = 50 और 150 − 120 = 30। उलटो: सस्ती : महँगी = 50 : 30 = 5 : 3।
- A 4 : 5
- B 26 : 35
- C 9 : 4
- D 5 : 4
Show answer
Why:
अंतर: 70 − 60 = 10 और 60 − 52 = 8। उलटो: लड़के : लड़कियाँ = 10 : 8 = 5 : 4।
- A 21
- B 20
- C 14
- D 28
Show answer
Why:
तकनीशियन : बाक़ी = (8,000 − 6,000) : (12,000 − 8,000) = 1 : 2, इसलिए बाक़ी = 14 और कुल = 7 + 14 = 21।
- A 20
- B 35
- C 25
- D 45
Show answer
Why:
तकनीशियन : बाक़ी = (10,000 − 8,000) : (15,000 − 10,000) = 2 : 5, इसलिए बाक़ी = 25 और कुल = 10 + 25 = 35।
- A 28
- B 12
- C 22
- D 16
Show answer
Why:
तकनीशियन : बाक़ी = (12,000 − 9,000) : (20,000 − 12,000) = 3 : 8, इसलिए बाक़ी = 16 और कुल = 6 + 16 = 22।
- A 25
- B 10
- C 15
- D 20
Show answer
Why:
तकनीशियन : बाक़ी = (600 − 500) : (900 − 600) = 1 : 3, इसलिए बाक़ी = 15 और कुल = 5 + 15 = 20।
- A ₹46
- B ₹48
- C ₹47.5
- D ₹49
Show answer
Why:
लागत = 30 × 40 + 20 × 55 = ₹2,300, 50 किग्रा के लिए, यानी ₹46 प्रति किग्रा।
- A ₹39
- B ₹41
- C ₹43
- D ₹40
Show answer
Why:
लागत = 15 × 36 + 25 × 44 = ₹1,640, 40 किग्रा के लिए, यानी ₹41 प्रति किग्रा।
- A ₹106
- B ₹102.5
- C ₹104
- D ₹101
Show answer
Why:
लागत = 8 × 95 + 12 × 110 = ₹2,080, 20 किग्रा के लिए, यानी ₹104 प्रति किग्रा।
- A ₹375
- B ₹347
- C ₹360
- D ₹345
Show answer
Why:
लागत = 3 × 420 + 5 × 300 = ₹2,760, 8 किग्रा के लिए, यानी ₹345 प्रति किग्रा।
- A 48
- B 51
- C 50
- D 46
Show answer
Why:
दूरी = 120 + 120 = 240 किमी, 5 घंटे में। औसत = 240 ÷ 5 = 48 किमी/घंटा, साधारण माध्य 50 नहीं।
- A 47
- B 45
- C 43
- D 40
Show answer
Why:
दूरी = 30 + 150 = 180 किमी, 4 घंटे में। औसत = 180 ÷ 4 = 45 किमी/घंटा, साधारण माध्य 40 नहीं।
- A 52
- B 55
- C 54
- D 56
Show answer
Why:
समय = 3 + 2 = 5 घंटे, 270 किमी के लिए। औसत = 270 ÷ 5 = 54 किमी/घंटा, साधारण माध्य 55 नहीं।
- A 52
- B 48
- C 55
- D 50
Show answer
Why:
समय = 3 + 2 + 1 = 6 घंटे, 300 किमी के लिए। औसत = 300 ÷ 6 = 50 किमी/घंटा, साधारण माध्य 55 नहीं।
- A 50
- B 48
- C 45
- D 52
Show answer
Why:
दूरी = 90 + 30 + 180 = 300 किमी, 6 घंटे में। औसत = 300 ÷ 6 = 50 किमी/घंटा, साधारण माध्य 45 नहीं।
- A 8
- B 8.2
- C 8.7
- D 7.7
Show answer
Why:
(9 × 4 + 7 × 2 + 8 × 4) ÷ 10 = 82 ÷ 10 = 8.2।
- A 7.8
- B 8
- C 8.3
- D 8.8
Show answer
Why:
(8 × 3 + 7 × 2 + 9 × 5) ÷ 10 = 83 ÷ 10 = 8.3।
- A 8.2
- B 7.2
- C 8.7
- D 7.7
Show answer
Why:
(6 × 3 + 9 × 3 + 8 × 4) ÷ 10 = 77 ÷ 10 = 7.7।
- A 27
- B 24
- C 26
- D 30
Show answer
Why:
11 × 24 = 264; बाक़ी 9 = 9 × 23 = 207; कप्तान + विकेटकीपर = 57 = 2c + 3, इसलिए c = 27।
- A 27
- B 28
- C 33
- D 26
Show answer
Why:
11 × 26 = 286; बाक़ी 9 = 9 × 25 = 225; कप्तान + विकेटकीपर = 61 = 2c + 5, इसलिए c = 28।
- A 40
- B 36
- C 32
- D 50
Show answer
Why:
A : B = (80 − 70) : (70 − 62) = 10 : 8, इसलिए B = 40 × 8 ÷ 10 = 32। जाँच: (2480 + 2560) ÷ 72 = 70।
- A 68
- B 63
- C 62
- D 65
Show answer
Why:
(20 × 55 + 30 × 60 + 50 × 72) ÷ 100 = (1100 + 1800 + 3600) ÷ 100 = 65।
- A 45
- B 44
- C 46
- D 43
Show answer
Why:
(15 × 40 + 25 × 48) ÷ 40 = (600 + 1200) ÷ 40 = 45। समूह 2 बड़ा है, इसलिए यह 48 के पास है।
- A 32
- B 30
- C 28
- D 31
Show answer
Why:
(10 × 30 + 15 × 40 + 25 × 24) ÷ 50 = (300 + 600 + 600) ÷ 50 = 30 हज़ार।
- A तय नहीं हो सकता
- B 70 औसत वाला समूह दुगुना बड़ा है
- C 40 औसत वाला समूह दुगुना बड़ा है
- D दोनों समूह बराबर हैं
Show answer
Why:
अंतर 10 और 20, उलटकर: 40 वाले समूह के लिए 20 : 10 = 2 : 1।
- A कभी नहीं
- B सदा
- C जब एक समूह बड़ा हो
- D जब समूहों का आकार बराबर हो
Show answer
Why:
बराबर आकार का अर्थ बराबर भार, इसलिए भारित और साधारण माध्य एक जैसे हैं।
- A 68
- B 60
- C 63
- D 58
Show answer
Why:
संयुक्त औसत 55 और 65 के बीच होना चाहिए, इसलिए 68 नहीं हो सकता।
- A बदले गए से 1.5 कम है
- B बदले गए से 18 कम है
- C बदले गए से 19.5 कम है
- D बदले गए से 18 अधिक है
Show answer
Why:
12 × 1.5 = 18, और घटने का अर्थ है नया कम है।
- A 48 किमी/घंटा
- B 52 किमी/घंटा
- C 50 किमी/घंटा
- D 45 किमी/घंटा
Show answer
Why:
बराबर समय यानी बराबर भार: (40 + 60) ÷ 2 = 50। (बराबर दूरियों पर 48 आता।)
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
दोनों सत्य, और R, A को समझाता है: 3300 ÷ 50 = 66 क्योंकि बड़ा बैच अधिक गिना जाता है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
A सत्य है (10 × 2 = 20)। R असत्य है: एक जाता है और एक आता है, इसलिए संख्या 10 ही रहती है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
1 सत्य: औसत बड़े समूह की ओर झुकता है। 2 असत्य: यह कभी 50 से आगे नहीं जा सकता।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
बराबर समय बराबर भार देता है (1 सत्य)। बराबर दूरियाँ 2xy ÷ (x + y) देती हैं, जो छोटा है (2 असत्य)।
Important short questions (4)
(40 × 52 + 60 × 47) ÷ 100 = (2080 + 2820) ÷ 100 = 49।
अंतर: 50 − 40 = 10 और 40 − 36 = 4। अनुपात = 10 : 4 = 5 : 2।
5 × 1.2 = 6 किग्रा अधिक, इसलिए 58 + 6 = 64 किग्रा।
(100 + 180) ÷ 5 = 56 किमी/घंटा।
Long answer questions (1)
(a) A : B = (74 − 68) : (68 − 64) = 6 : 4 = 3 : 2, इसलिए B = 36 × 2 ÷ 3 = 24।
(b) A का नया योग = 36 × 64 + 6 × 74 = 2304 + 444 = 2748, 42 विद्यार्थियों के लिए, इसलिए औसत ≈ 65.43।
Flashcards (13)
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- भारित या नहीं?
Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 5 — frequently asked questions
योग = 7 × 26 = 182। पहली चार = 96। अंतिम तीन = 86, इसलिए औसत = 86 ÷ 3 ≈ 28.67।
वे 6, 12, …, 96 हैं, समान अंतर पर, इसलिए औसत (6 + 96) ÷ 2 = 51।
समय = 2 + 3 = 5 घंटे, दूरी 60 किमी, इसलिए 60 ÷ 5 = 12 किमी/घंटा। जाँच: 2 × 15 × 10 ÷ 25 = 12।
(40 × 52 + 60 × 47) ÷ 100 = (2080 + 2820) ÷ 100 = 49।
अंतर: 50 − 40 = 10 और 40 − 36 = 4। अनुपात = 10 : 4 = 5 : 2।
5 × 1.2 = 6 किग्रा अधिक, इसलिए 58 + 6 = 64 किग्रा।
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