Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 13: बीजगणित
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रैखिक समीकरण
एक चर वाले समीकरण (भिन्न वाले भी) हल करो, दो चरों वाले समीकरण युग्म हल करो, तय करो कि युग्म के एक, शून्य या अनंत हल हैं, ग्राफ़ पर रेखाएँ और उनके अंतःखंड पढ़ो, और आयु, अंक, सिक्के और मूल्य वाली कहानियों को समीकरण में बदलो।
What you will be able to do
- आप एक चर वाले रैखिक समीकरण, भिन्न सहित या रहित, हल कर सकेंगे।
- आप रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन या वज्र-गुणन सूत्र से हल कर सकेंगे।
- आप अनुपातों से बता सकेंगे कि युग्म के एक, शून्य या अनंत हल हैं।
- आप अंतःखंड और रेखा द्वारा अक्षों के साथ बना क्षेत्रफल निकाल सकेंगे।
- आप आयु, अंक, सिक्के और मूल्य वाले प्रश्नों के समीकरण बना सकेंगे।
Key points
रैखिक समीकरण में चर की घात 1 से अधिक नहीं होती; ax + b = 0 (a ≠ 0) का ठीक एक मूल x = −b/a है।
एक पक्ष पर जो करो, दूसरे पर भी करो: एक ही शून्येतर संख्या से जोड़ो, घटाओ, गुणा या भाग करो।
भिन्न हों तो पहले प्रत्येक पद को हरों के LCM से गुणा करो।
ax + by = c का ग्राफ़ सीधी रेखा है; यह x-अक्ष को (c/a, 0) और y-अक्ष को (0, c/b) पर काटती है।
रेखा द्वारा अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल c²/(2|ab|) है।
a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लिए: x = (c₁b₂ − c₂b₁)/(a₁b₂ − a₂b₁) और y = (a₁c₂ − a₂c₁)/(a₁b₂ − a₂b₁)।
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂: एक हल। a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂: कोई नहीं। तीनों बराबर: अनंत।
शाब्दिक प्रश्नों में अज्ञात को नाम दो, हर तथ्य का एक समीकरण लिखो, और उत्तर को कहानी में जाँचो।
Full explanation
रिया की संख्या पहेली
रिया एक संख्या सोचती है, उसे 3 से गुणा करती है और 7 जोड़ती है। उसे 25 मिलता है। उसकी संख्या क्या थी?
अनुमान लगाकर जाँचा जा सकता है, पर SSC के प्रश्न संख्या को कई चरणों के पीछे छिपाते हैं। समीकरण उन चरणों को एक-एक करके उलटता है।
समीकरण रैखिक कब होता है
रैखिक समीकरण में चर केवल घात 1 में आता है: $3x + 7 = 25$ रैखिक है, $x^2 = 9$ नहीं।
$a \neq 0$ के साथ समीकरण $ax + b = 0$ का ठीक एक मूल है:
$$x = -\frac{b}{a}$$
हल करना: संतुलन बनाए रखो
$5x - 7 = 2x + 8$ हल करो।
दोनों ओर से $2x$ घटाओ: $3x - 7 = 8$। 7 जोड़ो: $3x = 15$। 3 से भाग दो: $x = 5$।
जाँच: $5(5) - 7 = 18$ और $2(5) + 8 = 18$।
भिन्न हटाना
$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ हल करो। 3 और 4 का LCM 12 है। प्रत्येक पद को 12 से गुणा करो:
$4x + 3x = 84$, इसलिए $7x = 84$ और $x = 12$।
दो चर एक रेखा बनाते हैं
$2x + 3y = 12$ जैसे समीकरण के कई हल हैं: $(6, 0)$, $(3, 2)$, $(0, 4)$ आदि। इन्हें आलेखित करने पर सीधी रेखा बनती है।
$y = 0$ रखो तो x-अंतःखंड $6$ और $x = 0$ रखो तो y-अंतःखंड $4$ मिलता है।
अक्षों के साथ क्षेत्रफल
रेखा $ax + by = c$ अक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है जिसकी भुजाएँ $\frac{c}{a}$ और $\frac{c}{b}$ हैं, इसलिए
$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \cdot \left|\frac{c}{a}\right| \cdot \left|\frac{c}{b}\right| = \frac{c^2}{2|ab|}$$
$2x + 3y = 12$ के लिए: $\frac{144}{12} = 12$ वर्ग इकाई।
विलोपन से युग्म हल करना
$x + y = 5$ और $x - y = 1$। दोनों को जोड़ो: $2x = 6$, इसलिए $x = 3$। वापस रखो: $y = 2$।
ग्राफ़ पर उत्तर वह बिंदु है जहाँ दोनों रेखाएँ काटती हैं।
वज्र-गुणन सूत्र
$a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए:
$$x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, \quad y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$
उदाहरण: $3x + 2y = 12$, $x - y = -1$। हर $= 3(-1) - 1(2) = -5$। $x = \frac{12(-1) - (-1)(2)}{-5} = 2$ और $y = \frac{3(-1) - 1(12)}{-5} = 3$।
एक, शून्य या अनंत
$\frac{a_1}{a_2}$, $\frac{b_1}{b_2}$ और $\frac{c_1}{c_2}$ की तुलना करो। पहले दो अलग हों तो रेखाएँ एक बार काटती हैं।
कोई हल न हो, इसके लिए k
$k$ के किस मान पर $kx + 3y = 5$ और $4x + 6y = 7$ का कोई हल नहीं? चाहिए $\frac{k}{4} = \frac{3}{6} \neq \frac{5}{7}$, इसलिए $k = 2$।
$k = 2$ पर रेखाओं $2x + 3y = 5$ और $4x + 6y = 7$ का ढाल एक है पर अंतःखंड अलग। ग्राफ़ में ऐसा ही एक और युग्म है।
शाब्दिक प्रश्न: आयु
एक पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है। 10 वर्ष बाद वह 2 गुनी होगी। पुत्र की आयु $x$ लो: $3x + 10 = 2(x + 10)$, इसलिए $x = 10$।
वर्ष दोनों की आयु में जोड़ो।
अंक और सिक्के
दहाई का अंक $t$ और इकाई का अंक $u$ हो तो दो अंकों की संख्या $10t + u$ है; उलटने पर $10u + t$, और अंतर $9(u - t)$।
सिक्के: ₹2 और ₹5 के 30 सिक्के ₹99 बनाते हैं। सब ₹2 के होते तो ₹60 बनते; ₹5 का हर सिक्का ₹3 अधिक जोड़ता है, इसलिए ₹5 के $39 \div 3 = 13$ सिक्के हैं।
रिया पर वापस
$3x + 7 = 25$ से $3x = 18$, इसलिए उसकी संख्या $x = 6$ थी। जाँच: $3 \times 6 + 7 = 25$।
Concepts and terms
समीकरण एक तराज़ू है। 5x − 7 = 18: दोनों ओर 7 जोड़ो तो 5x = 25, फिर दोनों को 5 से भाग दो तो x = 5।
x और y वाला हर समीकरण एक रेखा है। युग्म का हल वह बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर हो, यानी जहाँ वे मिलती हैं।
काटती रेखाएँ एक हल देती हैं, समांतर रेखाएँ कोई नहीं, और एक ही रेखा दो बार लिखी हो तो अनंत हल।
रेखा x-अक्ष को कहाँ काटती है, यह y = 0 रखकर और y-अक्ष के लिए x = 0 रखकर निकालो। 3x + 4y = 24 (8, 0) और (0, 6) पर काटती है।
Did you know
बीजगणित का अंग्रेज़ी नाम अरबी शब्द अल-जब्र, यानी "पुनः स्थापित करना", से आया है, जो लगभग 820 ईस्वी में अल-ख़्वारिज़्मी की पुस्तक से है।
ब्रह्मगुप्त ने 628 ईस्वी में समीकरण हल करने के नियम दिए और अज्ञात के लिए "यावत्-तावत्" नाम का प्रयोग किया।
Memory tricks
वज्र-गुणन — नीचे घटा ऊपर, नीचे एक ही — x और y दोनों का हर a₁b₂ − a₂b₁ है; अंश में a या b के स्तंभ की जगह c का स्तंभ आता है।
तीन स्थितियाँ — काटें, समांतर, एक ही — अलग ढाल काटते हैं (एक), बराबर ढाल अलग रहते हैं (शून्य), सब बराबर तो एक ही रेखा (अनंत)।
Practice MCQs with answers (82)
- A 4/3
- B 6
- C 32/3
- D −6
Show answer
Why:
3x = 25 − 7 = 18, इसलिए x = 18 ÷ 3 = 6।
- A −5
- B 10.6
- C 5
- D 2.2
Show answer
Why:
5x = 18 + 7 = 25, इसलिए x = 25 ÷ 5 = 5।
- A −11.75
- B −0.5
- C 5
- D −5
Show answer
Why:
4x = −11 − 9 = −20, इसलिए x = −20 ÷ 4 = −5।
- A −6
- B −13.5
- C −11
- D 6
Show answer
Why:
−2x = 17 − 5 = 12, इसलिए x = 12 ÷ (−2) = −6।
- A 4
- B −4
- C −10/7
- D −34/7
Show answer
Why:
7x = −31 + 3 = −28, इसलिए x = −28 ÷ 7 = −4।
- A −32/3
- B 13/6
- C −1.5
- D 1.5
Show answer
Why:
6x = 2 − 11 = −9, इसलिए x = −9 ÷ 6 = −1.5।
- A 1/3
- B 15/7
- C −5
- D 5
Show answer
Why:
x वाले पद बाईं ओर, संख्याएँ दाईं ओर: (5 − 2)x = 8 + 7, इसलिए 3x = 15 और x = 5।
- A 5
- B 7
- C 15/11
- D −5
Show answer
Why:
x वाले पद बाईं ओर, संख्याएँ दाईं ओर: (7 − 4)x = 18 − 3, इसलिए 3x = 15 और x = 5।
- A 5
- B −5
- C −1
- D 1.25
Show answer
Why:
x वाले पद बाईं ओर, संख्याएँ दाईं ओर: (3 − 5)x = 6 + 4, इसलिए −2x = 10 और x = −5।
- A −2.2
- B −15/13
- C −3
- D 3
Show answer
Why:
x वाले पद बाईं ओर, संख्याएँ दाईं ओर: (9 − 4)x = −13 − 2, इसलिए 5x = −15 और x = −3।
- A 0.5
- B −1.5
- C −3
- D 3
Show answer
Why:
x वाले पद बाईं ओर, संख्याएँ दाईं ओर: (2 − 6)x = −7 − 5, इसलिए −4x = −12 और x = 3।
- A 12
- B 84
- C 6
- D 49
Show answer
Why:
प्रत्येक पद को LCM 12 से गुणा करो: 4x + 3x = 84, इसलिए 7x = 84 और x = 12।
- A 70/3
- B 10
- C 70
- D 49
Show answer
Why:
प्रत्येक पद को LCM 10 से गुणा करो: 5x + 2x = 70, इसलिए 7x = 70 और x = 10।
- A 30
- B 50
- C 60
- D 12
Show answer
Why:
प्रत्येक पद को LCM 12 से गुणा करो: 3x − 2x = 60, इसलिए x = 60।
- A 60
- B 32
- C 7.5
- D 30
Show answer
Why:
प्रत्येक पद को LCM 15 से गुणा करो: 5x − 3x = 60, इसलिए 2x = 60 और x = 30।
- A 18
- B 75
- C 90
- D 9
Show answer
Why:
प्रत्येक पद को LCM 18 से गुणा करो: 3x + 2x = 90, इसलिए 5x = 90 और x = 18।
- A −11
- B 11
- C 67/3
- D 12
Show answer
Why:
10 से गुणा करो: 5(x + 3) − 2(x − 1) = 50, इसलिए 3x + 17 = 50, 3x = 33 और x = 11।
- A 2.8
- B 3
- C 2
- D −2
Show answer
Why:
12 से गुणा करो: 4(2x − 1) − 3(x − 2) = 12, इसलिए 5x + 2 = 12, 5x = 10 और x = 2।
- A −15
- B 6
- C −5
- D 5
Show answer
Why:
12 से गुणा करो: 3(3x − 2) − 4(2x + 1) = −5, इसलिए x − 10 = −5 और x = 5।
- A 2
- B 3
- C −2
- D 5
Show answer
Why:
हर = 2 × (−1) − 1 × 3 = −5। x = (13 × (−1) − (−1) × 3) ÷ (−5) = 2, y = (2 × (−1) − 1 × 13) ÷ (−5) = 3।
- A −1
- B 1
- C 5
- D 4
Show answer
Why:
हर = 1 × (−1) − 1 × 1 = −2। x = (5 × (−1) − 3 × 1) ÷ (−2) = 4, y = (1 × 3 − 1 × 5) ÷ (−2) = 1।
- A 6
- B −5
- C 5
- D −1
Show answer
Why:
हर = 3 × (−1) − 1 × 2 = −5। x = (12 × (−1) − (−1) × 2) ÷ (−5) = 2, y = (3 × (−1) − 1 × 12) ÷ (−5) = 3। इसलिए x + y = 5।
- A 12
- B 1
- C 7
- D −1
Show answer
Why:
हर = 5 × 1 − 2 × (−3) = 11। x = (3 × 1 − 10 × (−3)) ÷ 11 = 3, y = (5 × 10 − 2 × 3) ÷ 11 = 4। इसलिए x − y = −1।
- A −6
- B 6
- C −3
- D 1
Show answer
Why:
हर = 4 × (−2) − 3 × 3 = −17। x = (6 × (−2) − 13 × 3) ÷ (−17) = 3, y = (4 × 13 − 3 × 6) ÷ (−17) = −2। इसलिए xy = −6।
- A −1
- B 2
- C −2
- D 1
Show answer
Why:
हर = 7 × 5 − 3 × (−2) = 41। x = (16 × 5 − 1 × (−2)) ÷ 41 = 2, y = (7 × 1 − 3 × 16) ÷ 41 = −1।
- A −5
- B −6
- C −1
- D 1
Show answer
Why:
हर = 2 × (−4) − 3 × 5 = −23। x = (4 × (−4) − (−17) × 5) ÷ (−23) = −3, y = (2 × (−17) − 3 × 4) ÷ (−23) = 2। इसलिए x + y = −1।
- A 18
- B 27
- C −3
- D 3
Show answer
Why:
कोई हल न होने के लिए k/9 = 5/15 ≠ 2/1 चाहिए। इसलिए k = 9 × 1/3 = 3, और 1/3 ≠ 2।
- A 3
- B 12
- C −3
- D 14/3
Show answer
Why:
कोई हल न होने के लिए k/6 = 2/4 ≠ 7/9 चाहिए। इसलिए k = 6 × 1/2 = 3, और 1/2 ≠ 7/9।
- A 16
- B 4
- C −4
- D 6.4
Show answer
Why:
कोई हल न होने के लिए k/8 = −3/−6 ≠ 4/5 चाहिए। इसलिए k = 8 × 1/2 = 4, और 1/2 ≠ 4/5।
- A −2
- B 6.6
- C 2
- D 4.5
Show answer
Why:
कोई हल न होने के लिए k/3 = 4/6 ≠ 11/5 चाहिए। इसलिए k = 3 × 2/3 = 2, और 2/3 ≠ 11/5।
- A 3.5
- B 6
- C 7
- D 14
Show answer
Why:
4/2 = 6/3 = 2, यानी दूसरी रेखा पहली की 2 गुनी है। अनंत हलों के लिए k = 2 × 7 = 14।
- A 20
- B −4
- C 5
- D 1.25
Show answer
Why:
12/3 = −4/−1 = 4, यानी दूसरी रेखा पहली की 4 गुनी है। अनंत हलों के लिए k = 4 × 5 = 20।
- A 8/3
- B 24
- C 6
- D 8
Show answer
Why:
15/5 = 6/2 = 3, यानी दूसरी रेखा पहली की 3 गुनी है। अनंत हलों के लिए k = 3 × 8 = 24।
- A −7
- B 8
- C 7
- D 5
Show answer
Why:
चाहिए (k − 1)/2 = (k + 2)/3: 3k − 3 = 2k + 4, इसलिए k = 7। जाँच: प्रत्येक अनुपात 3 है और 3k/7 = 3।
- A 4
- B 2
- C −3
- D 3
Show answer
Why:
चाहिए (k − 1)/1 = (k + 1)/2: 2k − 2 = k + 1, इसलिए k = 3। जाँच: प्रत्येक अनुपात 2 है और 2k/3 = 2।
- A (0, 6)
- B (8, 0)
- C (6, 0)
- D (0, 8)
Show answer
Why:
y-अक्ष पर x = 0, इसलिए 4y = 24 और y = 6। बिंदु (0, 6) है।
- A (0, −10)
- B (4, 0)
- C (0, 4)
- D (−10, 0)
Show answer
Why:
x-अक्ष पर y = 0, इसलिए 5x = 20 और x = 4। बिंदु (4, 0) है।
- A 40
- B 6
- C 14
- D 20
Show answer
Why:
x-अंतःखंड = 20/2 = 10, y-अंतःखंड = 20/5 = 4; योग = 14।
- A (−8, 0)
- B (0, 6)
- C (6, 0)
- D (0, −8)
Show answer
Why:
y-अक्ष पर x = 0, इसलिए −3y = 24 और y = −8। बिंदु (0, −8) है।
- A 24 वर्ग इकाई
- B 14 वर्ग इकाई
- C 288/7 वर्ग इकाई
- D 48 वर्ग इकाई
Show answer
Why:
अंतःखंड 8 और 6। क्षेत्रफल = ½ × 8 × 6 = 24 वर्ग इकाई (या c²/(2|ab|) = 576/24)।
- A 14 वर्ग इकाई
- B 20 वर्ग इकाई
- C 200/7 वर्ग इकाई
- D 40 वर्ग इकाई
Show answer
Why:
अंतःखंड 4 और 10। क्षेत्रफल = ½ × 4 × 10 = 20 वर्ग इकाई (या c²/(2|ab|) = 400/20)।
- A 800/9 वर्ग इकाई
- B 80 वर्ग इकाई
- C 40 वर्ग इकाई
- D 18 वर्ग इकाई
Show answer
Why:
अंतःखंड 10 और −8। क्षेत्रफल = ½ × 10 × 8 = 40 वर्ग इकाई (या c²/(2|ab|) = 1600/40)।
- A 18 वर्ग इकाई
- B 2.5 वर्ग इकाई
- C 6 वर्ग इकाई
- D 9 वर्ग इकाई
Show answer
Why:
रेखाएँ y-अक्ष को (0, 5) और (0, −1) पर काटती हैं, यानी आधार 6। वे (3, 2) पर मिलती हैं, इसलिए ऊँचाई 3। क्षेत्रफल = ½ × 6 × 3 = 9 वर्ग इकाई।
- A 13.5 वर्ग इकाई
- B 27 वर्ग इकाई
- C 4 वर्ग इकाई
- D 9 वर्ग इकाई
Show answer
Why:
रेखाएँ y-अक्ष को (0, 8) और (0, −1) पर काटती हैं, यानी आधार 9। वे (3, 2) पर मिलती हैं, इसलिए ऊँचाई 3। क्षेत्रफल = ½ × 9 × 3 = 13.5 वर्ग इकाई।
- A 36 वर्ष
- B 12 वर्ष
- C 13 वर्ष
- D 48 वर्ष
Show answer
Why:
पुत्र की आयु x लो। तब 4x + 24 = 2(x + 24), इसलिए 2x = 24 और x = 12। पुत्र 12 वर्ष, पिता 48 वर्ष।
- A 20 वर्ष
- B 10 वर्ष
- C 15 वर्ष
- D 45 वर्ष
Show answer
Why:
बेटी की आयु x लो। तब 3x − 5 = 4(x − 5), इसलिए x = 15। बेटी 15 वर्ष, माँ 45 वर्ष।
- A 12 वर्ष
- B 4 वर्ष
- C 32 वर्ष
- D 8 वर्ष
Show answer
Why:
पोते की आयु x लो। तब 4x + 4 = 3(x + 4), इसलिए x = 8। पोते 8 वर्ष, दादा 32 वर्ष।
- A 40 वर्ष
- B 20 वर्ष
- C 50 वर्ष
- D 30 वर्ष
Show answer
Why:
पुत्र की आयु x लो। तब 2x − 10 = 3(x − 10), इसलिए x = 20। पुत्र 20 वर्ष, पिता 40 वर्ष।
- A 9 वर्ष
- B 15 वर्ष
- C 21 वर्ष
- D 3 वर्ष
Show answer
Why:
आयु 5t और 3t। (5t + 6) : (3t + 6) = 7 : 5 से 5(5t + 6) = 7(3t + 6), इसलिए t = 3। अनिल की आयु 5 × 3 = 15 वर्ष।
- A 20 वर्ष
- B 35 वर्ष
- C 30 वर्ष
- D 10 वर्ष
Show answer
Why:
आयु 3t और 2t। (3t − 5) : (2t − 5) = 5 : 3 से 3(3t − 5) = 5(2t − 5), इसलिए t = 10। रवि की आयु 3 × 10 = 30 वर्ष।
- A 32 वर्ष
- B 4 वर्ष
- C 36 वर्ष
- D 28 वर्ष
Show answer
Why:
आयु 7t और 9t। (7t + 4) : (9t + 4) = 4 : 5 से 5(7t + 4) = 4(9t + 4), इसलिए t = 4। मीरा की आयु 7 × 4 = 28 वर्ष।
- A 35
- B 26
- C 53
- D 44
Show answer
Why:
संख्या 10t + u लो। t + u = 8; उलटने पर बदलाव 9(u − t) = 18, इसलिए u − t = 2। तब t = 3, u = 5 और संख्या 35 है।
- A 18
- B 27
- C 72
- D 36
Show answer
Why:
संख्या 10t + u लो। t + u = 9; उलटने पर बदलाव 9(u − t) = 45, इसलिए u − t = 5। तब t = 2, u = 7 और संख्या 27 है।
- A 38
- B 92
- C 83
- D 74
Show answer
Why:
संख्या 10t + u लो। t + u = 11; उलटने पर बदलाव 9(u − t) = −45, इसलिए u − t = −5। तब t = 8, u = 3 और संख्या 83 है।
- A 25
- B 16
- C 14
- D 15
Show answer
Why:
सभी 40 ₹1 के होते तो ₹40। अतिरिक्त ₹15 महँगे वालों से आता है, हर एक से ₹1, इसलिए 15 ÷ 1 = 15।
- A 18
- B 32
- C 19
- D 17
Show answer
Why:
सभी 50 ₹2 के होते तो ₹100। अतिरिक्त ₹54 महँगे वालों से आता है, हर एक से ₹3, इसलिए 54 ÷ 3 = 18।
- A 180
- B 100
- C 101
- D 200
Show answer
Why:
सभी 300 ₹20 के होते तो ₹6000। अतिरिक्त ₹3000 महँगे वालों से आता है, हर एक से ₹30, इसलिए 3000 ÷ 30 = 100।
- A 75
- B 90
- C 45
- D 46
Show answer
Why:
सभी 120 ₹30 के होते तो ₹3600। अतिरिक्त ₹900 महँगे वालों से आता है, हर एक से ₹20, इसलिए 900 ÷ 20 = 45।
- A ₹35
- B ₹16
- C ₹10
- D ₹25
Show answer
Why:
मूल्य x और y लो: 3x + 2y = 80 और 2x + 5y = 145। विलोपन से x = ₹10 और y = ₹25।
- A ₹500
- B ₹1300
- C ₹680
- D ₹800
Show answer
Why:
मूल्य x और y लो: 2x + 3y = 3400 और 4x + y = 2800। विलोपन से x = ₹500 और y = ₹800।
- A ₹100
- B ₹90
- C ₹40
- D ₹130
Show answer
Why:
मूल्य x और y लो: 5x + 2y = 380 और 3x + 4y = 480। विलोपन से x = ₹40 और y = ₹90।
- A 15
- B 13
- C 17
- D 19
Show answer
Why:
सबसे छोटी x लो: 3x + 6 = 45, इसलिए x = 13। संख्याएँ 13, 15, 17 हैं; सबसे बड़ी 17।
- A 18
- B 14
- C 10
- D 16
Show answer
Why:
सबसे छोटी x लो: 4x + 12 = 52, इसलिए x = 10। संख्याएँ 10, 12, 14, 16 हैं; सबसे बड़ी 16।
- A 25
- B 24
- C 21
- D 26
Show answer
Why:
सबसे छोटी x लो: 5x + 10 = 115, इसलिए x = 21। संख्याएँ 21, 22, 23, 24, 25 हैं; सबसे बड़ी 25।
- A 5/3
- B 3/5
- C 4/5
- D 3/4
Show answer
Why:
भिन्न x/y लो। (x + 1)/y = 4/5 और x/(y − 1) = 3/4। युग्म हल करने पर x = 3, y = 5। जाँच: 4/5 = 4/5 और 3/4 = 3/4।
- A 5/4
- B 8/5
- C 5/8
- D 5/12
Show answer
Why:
भिन्न x/y लो। (x + 3)/y = 1 और x/(y − 4) = 5/4। युग्म हल करने पर x = 5, y = 8। जाँच: 8/8 = 1 और 5/4 = 5/4।
- A 9/4
- B 6/9
- C 4/8
- D 4/9
Show answer
Why:
भिन्न x/y लो। (x + 2)/y = 2/3 और x/(y − 1) = 1/2। युग्म हल करने पर x = 4, y = 9। जाँच: 6/9 = 2/3 और 4/8 = 1/2।
- A ठीक एक
- B दो
- C कोई नहीं
- D अनंत
Show answer
Why:
a ≠ 0 के साथ ax + b = 0 का एक ही मूल x = −b/a है।
- A एक वृत्त
- B एक सीधी रेखा
- C एक बिंदु
- D एक परवलय
Show answer
Why:
ax + by = c के सभी हल एक सीधी रेखा पर होते हैं।
- A x-अक्ष के समांतर है
- B मूलबिंदु से होकर जाती है
- C y-अक्ष के समांतर है
- D x-अक्ष पर ही है
Show answer
Why:
x सदा 4 रहता है और y हर मान लेता है, इसलिए रेखा खड़ी है।
- A (0, 6)
- B (2, 3)
- C (4, 2)
- D (3, 2)
Show answer
Why:
2(3) + 3(2) = 12। बाक़ी 13, 14 और 18 देते हैं।
- A समांतर हैं, कोई हल नहीं
- B संपाती हैं, अनंत हल
- C लंब हैं, एक हल
- D प्रतिच्छेदी हैं, एक हल
Show answer
Why:
ढाल एक पर अंतःखंड अलग: रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं।
- A 7 बढ़ जाएगा
- B वही रहेगा
- C 14 बढ़ जाएगा
- D दोगुना हो जाएगा
Show answer
Why:
दोनों आयु 7 बढ़ती हैं, इसलिए (A + 7) − (B + 7) = A − B।
- A k = 1
- B k ≠ 3
- C k ≠ 1
- D k = 3
Show answer
Why:
अद्वितीय हल के लिए k/3 ≠ 2/6, यानी k ≠ 1। (k = 1 पर रेखाएँ एक ही हैं, क्योंकि 3/9 भी 1/3 है।)
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
दोनों एक ही रेखा हैं, इसलिए उस पर हर बिंदु हल है। R ही A का कारण है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
अंतःखंड 4 और 3 हैं, इसलिए क्षेत्रफल ½ × 4 × 3 = 6 है, 12 नहीं। A असत्य, R सत्य।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
तीनों अनुपात 1/2 हैं, इसलिए रेखाएँ एक ही हैं: 1 सत्य है, और हल अनंत हैं, इसलिए 2 असत्य है।
- A 3x + 4y = 7
- B 4x + 3y = 12
- C 3x − 4y = 12
- D 3x + 4y = 12
Show answer
Why:
अंतःखंड रूप x/4 + y/3 = 1। 12 से गुणा करो: 3x + 4y = 12।
- A 13/3
- B 5
- C 8/3
- D 3
Show answer
Why:
समीकरण जोड़ो: 3x = 8, इसलिए x = 8/3 और y = x − 1 = 5/3। इसलिए x + y = 13/3।
- A 24 वर्ग इकाई
- B 12 वर्ग इकाई
- C 10 वर्ग इकाई
- D 6 वर्ग इकाई
Show answer
Why:
½ × 4 × 6 = 12 वर्ग इकाई।
- A ठीक दो
- B अनंत
- C कोई नहीं
- D ठीक एक
Show answer
Why:
1/1 = (−2)/(−2) पर −2/4 अलग है, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कभी नहीं मिलतीं।
- A 8 वर्ग इकाई
- B 32 वर्ग इकाई
- C 12 वर्ग इकाई
- D 16 वर्ग इकाई
Show answer
Why:
y-अंतःखंड 6 और −2 से आधार 8। रेखाएँ (4, 2) पर मिलती हैं, ऊँचाई 4। क्षेत्रफल = ½ × 8 × 4 = 16।
Important short questions (4)
10 से गुणा करो: 5x − 2x = 90, इसलिए 3x = 90 और x = 30।
दूसरे से y = 3x − 3। तब 2x + 9x − 9 = 13, इसलिए x = 2 और y = 3।
3/6 = k/10 ≠ 7/11 से k = 5।
(10u + t) − (10t + u) = 9u − 9t = 9(u − t)।
Long answer questions (1)
(a) सेब ₹x और अंगूर ₹y प्रति किग्रा लो: 3x + 2y = 540 और 2x + 3y = 560।
(b) जोड़ो: 5(x + y) = 1100, इसलिए x + y = 220। घटाओ: y − x = 20। इसलिए y = 120 और x = 100।
(c) 3(100) + 2(120) = 540 और 2(100) + 3(120) = 560। दोनों मेल खाते हैं।
Flashcards (14)
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- रेखा जाँच
द्विघात समीकरण
मध्य पद विभाजन और सूत्र से द्विघात समीकरण हल करो, विविक्तकर से मूलों की प्रकृति पहचानो, बराबर मूलों के लिए k निकालो, मूलों के योग और गुणनफल से α² + β², 1/α + 1/β जैसे व्यंजकों का मान निकालो, दिए मूलों से समीकरण बनाओ, और अधिकतम व न्यूनतम मान ज्ञात करो।
What you will be able to do
- आप द्विघात समीकरण को मध्य पद विभाजन या सूत्र से हल कर सकेंगे।
- आप विविक्तकर से मूलों की प्रकृति बता सकेंगे और बराबर मूलों के लिए k निकाल सकेंगे।
- आप मूलों का योग और गुणनफल निकालकर α² + β² जैसे व्यंजकों में लगा सकेंगे।
- आप मूलों से समीकरण बना सकेंगे।
- आप द्विघात व्यंजक का अधिकतम या न्यूनतम मान निकाल सकेंगे।
Key points
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 है जहाँ a ≠ 0; इसके अधिकतम दो मूल होते हैं।
मध्य पद विभाजन: ऐसी दो संख्याएँ खोजो जिनका गुणनफल ac और योग b हो।
मूल x = (−b ± √D)/2a हैं, जहाँ D = b² − 4ac विविक्तकर है।
D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल; D = 0: दो बराबर मूल; D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं।
मूलों का योग α + β = −b/a; गुणनफल αβ = c/a।
α² + β² = (α + β)² − 2αβ, और (α − β)² = (α + β)² − 4αβ।
α और β मूलों वाला समीकरण x² − (α + β)x + αβ = 0 है।
ax² + bx + c का सबसे कम (a > 0) या सबसे अधिक (a < 0) मान x = −b/2a पर है; वह मान c − b²/4a है।
Full explanation
बगीचे की पहेली
एक आयताकार बगीचा चौड़ाई से 2 मी लंबा है और उसका क्षेत्रफल 24 मी² है। उसकी चौड़ाई कितनी है?
चौड़ाई $x$ लो। तब $x(x + 2) = 24$, यानी $x^2 + 2x - 24 = 0$। $x^2$ इसे द्विघात समीकरण बनाता है।
द्विघात क्या है
$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$$
द्विघात के अधिकतम दो मूल होते हैं। वे $x$ के वे मान हैं जहाँ ग्राफ़ $y = ax^2 + bx + c$ x-अक्ष से मिलता है।
गुणनखंड से मूल
$x^2 - 5x + 6 = 0$ के लिए गुणनफल 6 और योग −5 वाली दो संख्याएँ खोजो: −2 और −3।
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$
इसलिए $x = 2$ या $x = 3$।
जब a, 1 न हो
$2x^2 - 7x + 3 = 0$: $ac = 6$। गुणनफल 6 और योग −7 वाली संख्याएँ: −6 और −1।
$2x^2 - 6x - x + 3 = 2x(x - 3) - 1(x - 3) = (2x - 1)(x - 3)$, इसलिए $x = \frac{1}{2}$ या $x = 3$।
द्विघात सूत्र
जब गुणनखंड आसानी से न दिखें:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
$x^2 - 4x + 1 = 0$ के लिए: $x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$।
विविक्तकर
$D = b^2 - 4ac$ हल करने से पहले ही सब बता देता है। यदि $D$ पूर्ण वर्ग हो, तो मूल परिमेय भी होते हैं।
बराबर मूल: k निकालो
$x^2 - 6x + k = 0$ के मूल बराबर तब हैं जब $D = 0$: $36 - 4k = 0$, इसलिए $k = 9$, और समीकरण $(x - 3)^2 = 0$ है।
$x^2 + kx + 16 = 0$ के लिए: $k^2 = 64$, इसलिए $k = \pm 8$।
मूलों का योग और गुणनफल
यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हों:
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$
α और β के व्यंजक
$S = \alpha + \beta$ और $P = \alpha\beta$ के साथ:
- $\alpha^2 + \beta^2 = S^2 - 2P$
- $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{S}{P}$
- $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{S^2 - 2P}{P}$
- $(\alpha - \beta)^2 = S^2 - 4P$
- $\alpha^3 + \beta^3 = S^3 - 3SP$
$x^2 - 5x + 6 = 0$ के लिए: $S = 5$, $P = 6$, इसलिए $\alpha^2 + \beta^2 = 25 - 12 = 13$ (जाँच: $4 + 9$)।
समीकरण बनाना
मूल 3 और −5: योग −2, गुणनफल −15, इसलिए $x^2 + 2x - 15 = 0$।
$ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के व्युत्क्रम मूल: $a$ और $c$ की अदला-बदली करो, $cx^2 + bx + a = 0$ मिलेगा।
अधिकतम और न्यूनतम
$ax^2 + bx + c$ बिंदु $x = -\frac{b}{2a}$ पर मुड़ता है। $a > 0$ हो तो वह सबसे कम मान $c - \frac{b^2}{4a}$ है।
$x^2 - 6x + 5$ के लिए: $x = 3$ पर मान $-4$ है।
SSC का पसंदीदा: अंतहीन मूल
$x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdots}}}$। पहले मूल के अंदर का भाग फिर से $x$ है, इसलिए $x^2 = 6 + x$।
$x^2 - x - 6 = 0$ से $(x - 3)(x + 2) = 0$, और $x > 0$ है, इसलिए $x = 3$।
बगीचे पर वापस
$x^2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4) = 0$। चौड़ाई −6 नहीं हो सकती, इसलिए बगीचा 4 मी चौड़ा और 6 मी लंबा है। जाँच: $4 \times 6 = 24$।
Concepts and terms
यदि (x − 2)(x − 3) = 0 हो, तो कोई एक कोष्ठक 0 होगा, इसलिए x = 2 या x = 3। इसीलिए गुणनखंड करते हैं।
D = b² − 4ac सूत्र में वर्गमूल के अंदर है। ऋणात्मक D का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं।
α² + β² जैसे व्यंजक α और β बदलने पर नहीं बदलते, इसलिए उन्हें केवल α + β और αβ से लिखा जा सकता है।
y = ax² + bx + c एक U आकार का वक्र है। यह x-अक्ष को जहाँ काटता है, वे मूल हैं, और उसका मोड़ बिंदु शीर्ष है।
Did you know
श्रीधराचार्य ने एक हज़ार वर्ष से भी पहले द्विघात समीकरण हल करने का जो नियम दिया, वह आज के सूत्र जैसा ही है।
हवा में फेंकी गेंद परवलय पथ पर चलती है; शीर्ष उसका सबसे ऊँचा बिंदु है।
Memory tricks
योग और गुणनफल — योग में b उलटा, गुणनफल में c वैसा — α + β = −b/a में ऋण चिह्न है; αβ = c/a में नहीं।
विविक्तकर की स्थितियाँ — धन दो, शून्य एक, ऋण कोई नहीं — D धनात्मक: दो कटान; D शून्य: एक स्पर्श; D ऋणात्मक: कोई कटान नहीं।
Practice MCQs with answers (76)
- A −3 और −2
- B 2 और 3
- C −2 और 3
- D −3 और 2
Show answer
Why:
गुणनफल 6 और योग −5 वाली दो संख्याएँ: −2 और −3। इसलिए (x − 2)(x − 3) = 0 और x = 2 या 3।
- A −5 और −2
- B −5 और 2
- C −2 और 5
- D 2 और 5
Show answer
Why:
गुणनफल −10 और योग −3 वाली दो संख्याएँ: 2 और −5। इसलिए (x + 2)(x − 5) = 0 और x = −2 या 5।
- A −3 और 4
- B −4 और 3
- C 3 और 4
- D −4 और −3
Show answer
Why:
गुणनफल 12 और योग 7 वाली दो संख्याएँ: 4 और 3। इसलिए (x + 4)(x + 3) = 0 और x = −4 या −3।
- A −1 और 6
- B 1 और 6
- C −6 और 1
- D −6 और −1
Show answer
Why:
गुणनफल −6 और योग −5 वाली दो संख्याएँ: −6 और 1। इसलिए (x − 6)(x + 1) = 0 और x = 6 या −1।
- A −7 और 8
- B 7 और 8
- C −8 और 7
- D −8 और −7
Show answer
Why:
गुणनफल 56 और योग −15 वाली दो संख्याएँ: −7 और −8। इसलिए (x − 7)(x − 8) = 0 और x = 7 या 8।
- A −9 और −4
- B −4 और 9
- C −9 और 4
- D 4 और 9
Show answer
Why:
गुणनफल −36 और योग 5 वाली दो संख्याएँ: 9 और −4। इसलिए (x + 9)(x − 4) = 0 और x = −9 या 4।
- A 1 और 3
- B −3 और −1/2
- C 1/3 और 2
- D 1/2 और 3
Show answer
Why:
ac = 6; −7x को ऐसे तोड़ो कि गुणनखंड बने: (2x − 1)(x − 3) = 0, इसलिए x = 1/2 या x = 3।
- A −1 और 2/3
- B −1 और 2
- C −2/3 और 1
- D −1 और 3/2
Show answer
Why:
ac = −6; x को ऐसे तोड़ो कि गुणनखंड बने: (3x − 2)(x + 1) = 0, इसलिए x = 2/3 या x = −1।
- A −3 और 2/3
- B −1/3 और 3/2
- C −1 और 3
- D −3/2 और 1/3
Show answer
Why:
ac = −18; −7x को ऐसे तोड़ो कि गुणनखंड बने: (2x − 3)(3x + 1) = 0, इसलिए x = 3/2 या x = −1/3।
- A −4 और 1/2
- B −1 और 2
- C −1/4 और 2
- D −2 और 1/4
Show answer
Why:
ac = −8; −7x को ऐसे तोड़ो कि गुणनखंड बने: (4x + 1)(x − 2) = 0, इसलिए x = −1/4 या x = 2।
- A −3/2
- B −7/2
- C 3/2
- D 7/2
Show answer
Why:
योग = −b/a = 7/2।
- A −2/3
- B 2/3
- C −5/3
- D 5/3
Show answer
Why:
गुणनफल = c/a = −2/3।
- A −9/4
- B 9/4
- C 3
- D −3
Show answer
Why:
गुणनफल = c/a = 9/4।
- A −3
- B −5/2
- C 3
- D 5/2
Show answer
Why:
योग = −b/a = −6/(−2) = 3।
- A x² − 2x − 15 = 0
- B x² + 2x + 15 = 0
- C x² − 2x + 15 = 0
- D x² + 2x − 15 = 0
Show answer
Why:
योग = −2, गुणनफल = −15। समीकरण x² − (योग)x + गुणनफल = 0 है, यानी x² + 2x − 15 = 0।
- A x² − 9x + 14 = 0
- B x² + 9x + 14 = 0
- C x² − 9x − 14 = 0
- D x² + 9x − 14 = 0
Show answer
Why:
योग = 9, गुणनफल = 14। समीकरण x² − (योग)x + गुणनफल = 0 है, यानी x² − 9x + 14 = 0।
- A x² − 10x − 24 = 0
- B x² + 10x + 24 = 0
- C x² − 10x + 24 = 0
- D x² + 10x − 24 = 0
Show answer
Why:
योग = −10, गुणनफल = 24। समीकरण x² − (योग)x + गुणनफल = 0 है, यानी x² + 10x + 24 = 0।
- A x² + 5x − 24 = 0
- B x² − 5x + 24 = 0
- C x² − 5x − 24 = 0
- D x² + 5x + 24 = 0
Show answer
Why:
योग = 5, गुणनफल = −24। समीकरण x² − (योग)x + गुणनफल = 0 है, यानी x² − 5x − 24 = 0।
- A 6x² − x + 2 = 0
- B 6x² + x + 2 = 0
- C 6x² + x − 2 = 0
- D 6x² − x − 2 = 0
Show answer
Why:
x = 2/3 से गुणनखंड (3x − 2) और x = −1/2 से (2x + 1)। गुणा करो: 6x² − x − 2 = 0।
- A 4x² − 13x + 3 = 0
- B 4x² + 13x + 3 = 0
- C 4x² − 13x − 3 = 0
- D 4x² + 13x − 3 = 0
Show answer
Why:
x = 1/4 से गुणनखंड (4x − 1) और x = 3 से (x − 3)। गुणा करो: 4x² − 13x + 3 = 0।
- A 6x² + x + 15 = 0
- B 6x² − x − 15 = 0
- C 6x² + x − 15 = 0
- D 6x² − x + 15 = 0
Show answer
Why:
x = −3/2 से गुणनखंड (2x + 3) और x = 5/3 से (3x − 5)। गुणा करो: 6x² − x − 15 = 0।
- A 49
- B −1
- C 1
- D 13
Show answer
Why:
D = b² − 4ac = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1।
- A −41
- B 25
- C −23
- D 41
Show answer
Why:
D = b² − 4ac = 3² − 4 × 2 × (−4) = 9 − (−32) = 41।
- A −56
- B 56
- C −26
- D 64
Show answer
Why:
D = b² − 4ac = (−2)² − 4 × 3 × 5 = 4 − 60 = −56।
- A एक वास्तविक और एक अवास्तविक मूल
- B दो बराबर वास्तविक मूल
- C दो भिन्न वास्तविक मूल
- D कोई वास्तविक मूल नहीं
Show answer
Why:
D = 16 − 16 = 0, जो शून्य है।
- A दो भिन्न वास्तविक मूल
- B दो बराबर वास्तविक मूल
- C कोई वास्तविक मूल नहीं
- D एक वास्तविक और एक अवास्तविक मूल
Show answer
Why:
D = 9 − 40 = −31, जो ऋणात्मक है।
- A दो बराबर वास्तविक मूल
- B कोई वास्तविक मूल नहीं
- C एक वास्तविक और एक अवास्तविक मूल
- D दो भिन्न वास्तविक मूल
Show answer
Why:
D = 25 − (−24) = 49, जो धनात्मक है।
- A दो बराबर वास्तविक मूल
- B एक वास्तविक और एक अवास्तविक मूल
- C दो भिन्न वास्तविक मूल
- D कोई वास्तविक मूल नहीं
Show answer
Why:
D = 144 − 144 = 0, जो शून्य है।
- A 64
- B 8
- C 32
- D 4
Show answer
Why:
बराबर मूलों के लिए D = 0: k² − 4 × 1 × 16 = 0, इसलिए k² = 64 और k = 8।
- A −9
- B 18
- C 9
- D 3
Show answer
Why:
D = 0: 36 − 4k = 0, इसलिए k = 9।
- A 8
- B 1/4
- C 36
- D 4
Show answer
Why:
D = 0: 144 − 36k = 0, इसलिए k = 4।
- A 20
- B 10
- C 400
- D 200
Show answer
Why:
बराबर मूलों के लिए D = 0: k² − 4 × 4 × 25 = 0, इसलिए k² = 400 और k = 20।
- A 36
- B 12
- C 24
- D 6
Show answer
Why:
D = 0: 144 − 12k = 0, इसलिए k = 12।
- A 25
- B 19
- C 13
- D 37
Show answer
Why:
S = α + β = 5, P = αβ = 6। α² + β² = S² − 2P = 13।
- A −7/12
- B 1/7
- C 12/7
- D 7/12
Show answer
Why:
S = α + β = 7, P = αβ = 12। 1/α + 1/β = S/P = 7/12।
- A 13/6
- B 37/6
- C 13/4
- D 25/6
Show answer
Why:
S = α + β = 5/2, P = αβ = 3/2। α/β + β/α = (S² − 2P)/P = 13/6।
- A 5
- B 2
- C 4
- D 8
Show answer
Why:
S = α + β = 8, P = αβ = 15। α − β = √(S² − 4P) = 2।
- A 56
- B 64
- C 40
- D 88
Show answer
Why:
S = α + β = 4, P = αβ = 2। α³ + β³ = S³ − 3SP = 40।
- A 10/3
- B 16/3
- C 4
- D 8/3
Show answer
Why:
S = α + β = 2, P = αβ = 2/3। α² + β² = S² − 2P = 8/3।
- A 29/100
- B −29/10
- C 9/100
- D −11/100
Show answer
Why:
S = α + β = −3, P = αβ = −10। 1/α² + 1/β² = (S² − 2P)/P² = 29/100।
- A 11
- B 7
- C 28
- D 9
Show answer
Why:
S = α + β = 6, P = αβ = 4। α/β + β/α = (S² − 2P)/P = 7।
- A 23
- B 14
- C 5
- D 3
Show answer
Why:
सबसे कम मान x = −b/2a = 3 पर है: (3)² − 6(3) + 14 = 5। (या c − b²/4a = 14 − 9।)
- A −4
- B 26
- C 10
- D −6
Show answer
Why:
सबसे कम मान x = −b/2a = −4 पर है: (−4)² + 8(−4) + 10 = −6। (या c − b²/4a = 10 − 16।)
- A 9
- B 1
- C 5
- D 2
Show answer
Why:
सबसे अधिक मान x = −b/2a = 2 पर है: −(2)² + 4(2) + 5 = 9। (या c − b²/4a = 5 − (−4)।)
- A 11
- B −5
- C 3
- D 2
Show answer
Why:
सबसे कम मान x = −b/2a = 2 पर है: 2(2)² − 8(2) + 3 = −5। (या c − b²/4a = 3 − 8।)
- A −19
- B −7
- C 5
- D 2
Show answer
Why:
सबसे अधिक मान x = −b/2a = 2 पर है: −3(2)² + 12(2) − 7 = 5। (या c − b²/4a = −7 − (−12)।)
- A −2
- B 5
- C 2
- D −5
Show answer
Why:
मूलों का गुणनफल = −10, इसलिए दूसरा मूल = −10 ÷ 2 = −5। (तब k = −(2 + (−5)) = 3।)
- A 1
- B −4
- C −7
- D −1
Show answer
Why:
x = 3 रखो: 9 + 3k − 12 = 0, इसलिए 3k = 3 और k = 1।
- A −2
- B 6
- C 2
- D −6
Show answer
Why:
x = −4 रखो: 16 − 4k + 8 = 0, इसलिए −4k = −24 और k = 6।
- A −3
- B 5
- C 3
- D −5
Show answer
Why:
मूलों का गुणनफल = 15, इसलिए दूसरा मूल = 15 ÷ 5 = 3। (तब k = −(5 + 3) = −8।)
- A 11
- B 12
- C 14
- D 13
Show answer
Why:
x(x + 1) = 156 से x² + x − 156 = 0 = (x − 12)(x + 13), इसलिए x = 12 और बड़ा 13 है।
- A 4 मी
- B 6 मी
- C 3 मी
- D 5 मी
Show answer
Why:
x(x + 2) = 24 से x² + 2x − 24 = 0 = (x − 4)(x + 6)। चौड़ाई = 4 मी, लंबाई = 6 मी।
- A 10 मी
- B 9 मी
- C 14 मी
- D 8 मी
Show answer
Why:
x(x + 5) = 126 से x² + 5x − 126 = 0 = (x − 9)(x + 14)। चौड़ाई = 9 मी, लंबाई = 14 मी।
- A 7
- B 11
- C 9
- D 8
Show answer
Why:
x² + (x + 2)² = 130 से 2x² + 4x + 4 = 130, x² + 2x − 63 = 0 = (x − 7)(x + 9)। इसलिए x = 7 और बड़ी 9 है।
- A 9
- B 1/3
- C 4
- D 3
Show answer
Why:
x + 1/x = 10/3 से 3x² − 10x + 3 = 0 = (3x − 1)(x − 3), इसलिए x = 3 या 1/3। 1 से बड़ी संख्या 3 है।
- A 21
- B 20
- C 22
- D 19
Show answer
Why:
x(x + 1) = 420 से x² + x − 420 = 0 = (x − 20)(x + 21), इसलिए x = 20 और बड़ा 21 है।
- A 6
- B 3
- C 4
- D 2
Show answer
Why:
मान लो x = √(6 + √(6 + √(6 + …)))। तब x² = 6 + x, इसलिए x² − x − 6 = 0 = (x − 3)(x + 2)। x > 0 है, इसलिए x = 3।
- A 6
- B 4
- C 5
- D 20
Show answer
Why:
मान लो x = √(20 + √(20 + √(20 + …)))। तब x² = 20 + x, इसलिए x² − x − 20 = 0 = (x − 5)(x + 4)। x > 0 है, इसलिए x = 5।
- A 4
- B 12
- C 2
- D 3
Show answer
Why:
मान लो x = √(12 − √(12 − √(12 − …)))। तब x² = 12 − x, इसलिए x² + x − 12 = 0 = (x − 3)(x + 4)। x > 0 है, इसलिए x = 3।
- A 6x² − 5x + 1 = 0
- B x² + 5x + 6 = 0
- C 6x² + 5x + 1 = 0
- D x² − 10x + 24 = 0
Show answer
Why:
x की जगह 1/x रखो और भिन्न हटाओ: a और c बदल जाते हैं। उत्तर 6x² − 5x + 1 = 0 है।
- A 5x² + 3x − 2 = 0
- B 2x² + 6x − 20 = 0
- C 5x² − 3x − 2 = 0
- D 2x² − 3x − 5 = 0
Show answer
Why:
x की जगह x/2 रखो और 4 से गुणा करो: b दोगुना और c, 4c बन जाता है। उत्तर 2x² + 6x − 20 = 0 है।
- A 10x² + 7x + 1 = 0
- B 10x² − 7x + 1 = 0
- C x² + 7x + 10 = 0
- D x² − 14x + 40 = 0
Show answer
Why:
x की जगह −x रखो: b का चिह्न बदल जाता है। उत्तर x² + 7x + 10 = 0 है।
- A अनंत
- B एक
- C तीन
- D दो
Show answer
Why:
घात 2 वाले बहुपद के अधिकतम 2 मूल होते हैं।
- A वास्तविक और बराबर
- B अवास्तविक
- C दोनों शून्य
- D वास्तविक और असमान
Show answer
Why:
D = 0 पर दोनों मूल −b/2a हैं।
- A −c/a
- B −b/a
- C b/a
- D c/a
Show answer
Why:
α + β = −b/a और αβ = c/a।
- A बराबर
- B अवास्तविक
- C वास्तविक, एक धनात्मक और एक ऋणात्मक
- D दोनों धनात्मक
Show answer
Why:
ac < 0 से D = b² − 4ac > 0, और गुणनफल c/a ऋणात्मक है।
- A y-अक्ष से कभी नहीं मिलता
- B ऊपर की ओर खुलता है और उसका एक निम्नतम बिंदु है
- C एक सीधी रेखा है
- D नीचे की ओर खुलता है और उसका एक उच्चतम बिंदु है
Show answer
Why:
ऋणात्मक a, U को उलट देता है।
- A q = 0
- B q = 1
- C p = 0
- D p = q
Show answer
Why:
x = 0 रखो: 0 + 0 + q = 0, इसलिए q = 0।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
D = −4 < 0, और यही कारण है कि वास्तविक मूल नहीं हैं।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
(x − 3)(x − 4) = 0, इसलिए A सत्य है। योग −b/a है, b/a नहीं, इसलिए R असत्य है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
योग = 8/2 = 4, सत्य। गुणनफल = 6/2 = 3, −3 नहीं, इसलिए 2 असत्य।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
D = 36 − 36 = 0, और x² − 6x + 9 = (x − 3)², इसलिए दोनों सत्य हैं।
- A x² + 3x − 4 = 0
- B x² − 3x − 4 = 0
- C x² − 3x + 4 = 0
- D x² + 3x + 4 = 0
Show answer
Why:
मूल −1 और 4: योग 3, गुणनफल −4, इसलिए x² − 3x − 4 = 0।
- A 7.25
- B 5
- C 2.75
- D 1.5
Show answer
Why:
x = 1.5 पर: 2.25 − 4.5 + 5 = 2.75। (या c − b²/4a = 5 − 2.25 = 2.75।)
- A D = 0
- B D > 0
- C D पूर्ण वर्ग है
- D D < 0
Show answer
Why:
वक्र x-अक्ष से कभी नहीं मिलता, इसलिए वास्तविक मूल नहीं: D = 4 − 12 = −8 < 0।
- A 9
- B 36
- C 6
- D 3
Show answer
Why:
छूने का अर्थ बराबर मूल: D = 36 − 4k = 0, इसलिए k = 9। सचमुच x² − 6x + 9 = (x − 3)²।
Important short questions (4)
(x − 4)(x + 3) = 0, इसलिए x = 4 या x = −3।
k² − 64 = 0, इसलिए k = 8 या k = −8।
S = 6, P = 7; α² + β² = 36 − 14 = 22।
तब −4ac धनात्मक है, इसलिए D = b² − 4ac कम से कम b² है और 0 से बड़ा है।
Long answer questions (1)
(a) α + β = 5/2, αβ = 1।
(b) α² + β² = 25/4 − 2 = 17/4; 1/α + 1/β = (5/2) ÷ 1 = 5/2।
(c) योग 5/2, गुणनफल 1: x² − (5/2)x + 1 = 0, यानी 2x² − 5x + 2 = 0। यह वही समीकरण है, क्योंकि मूल 2 और 1/2 एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।
Flashcards (14)
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- मूल जाँच
बीजीय सर्वसमिकाएँ
चरों का मान निकाले बिना वर्ग और घन की सर्वसमिकाओं से व्यंजकों का मान निकालो: x + 1/x और x − 1/x की शृंखलाएँ, a + b और ab दिए हों, तीन चरों के योग, a + b + c = 0, 2 + √3 जैसी करणियाँ, शून्य के बराबर वर्गों का योग, और 987² − 13² जैसी तेज़ गणनाएँ।
What you will be able to do
- आप (a ± b)², (a ± b)³ का विस्तार और a² − b², a³ ± b³ का गुणनखंड कर सकेंगे।
- आप x + 1/x या x − 1/x से ऊँची घातों तक जा सकेंगे।
- आप a + b और ab से a² + b² या a³ + b³ निकाल सकेंगे।
- आप a + b + c = 0 और तीन चरों की सर्वसमिकाएँ लगा सकेंगे।
- आप सर्वसमिकाओं से संख्यात्मक व्यंजक सरल कर सकेंगे।
Key points
(a + b)² = a² + 2ab + b² और (a − b)² = a² − 2ab + b²।
a² − b² = (a + b)(a − b): 987² − 13² = 1000 × 974।
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) और a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b)।
यदि x + 1/x = k: x² + 1/x² = k² − 2 और x³ + 1/x³ = k³ − 3k।
यदि x − 1/x = k: x² + 1/x² = k² + 2 और x³ − 1/x³ = k³ + 3k।
x² − kx + 1 = 0 का अर्थ x + 1/x = k (x से भाग दो)।
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)।
यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।
यदि वर्गों का योग 0 हो, तो हर वर्ग 0 है।
Full explanation
मन में एक वर्ग
$103^2$ कितना है? 103 को 103 से गुणा करने में समय लगता है। पर $103 = 100 + 3$, और योग के वर्ग एक तय पैटर्न पर चलते हैं।
सर्वसमिकाएँ ऐसे ही पैटर्न हैं। वे हर मान के लिए सत्य हैं, इसलिए लंबी गणना को छोटा कर देती हैं।
चित्र में (a + b)²
$a + b$ भुजा वाला वर्ग एक वर्ग $a^2$, एक वर्ग $b^2$ और $ab$ क्षेत्रफल की दो पट्टियों में बँटता है:
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
(a − b)² और वर्गों का अंतर
$a$ भुजा वाले वर्ग के अंदर $a - b$ भुजा का वर्ग है। दोनों पट्टियाँ हटाकर कोना वापस जोड़ने पर
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
तेज़ संख्याएँ
$987^2 - 13^2 = (987 + 13)(987 - 13) = 1000 \times 974 = 974000$।
$48 \times 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 2500 - 4 = 2496$।
घन
$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$, इसलिए
$$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$$
यदि $a + b = 7$ और $ab = 12$: $a^2 + b^2 = 49 - 24 = 25$ और $a^3 + b^3 = 343 - 252 = 91$। (जाँच: $a = 3$, $b = 4$।)
x + 1/x का परिवार
यदि $x + \frac{1}{x} = k$ हो, तो वर्ग करने पर $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = k^2$, इसलिए
$$x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2, \qquad x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k$$
x − 1/x और छिपे रूप
यदि $x - \frac{1}{x} = k$: $x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 + 2$ और $x^3 - \frac{1}{x^3} = k^3 + 3k$।
प्रश्न $x + \frac{1}{x}$ को छिपा सकता है: $x^2 - 5x + 1 = 0$ को $x$ से भाग दो तो $x + \frac{1}{x} = 5$।
जोड़ी बनाती करणियाँ
$x = 2 + \sqrt{3}$। क्योंकि $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1$, इसलिए $\frac{1}{x} = 2 - \sqrt{3}$, अतः $x + \frac{1}{x} = 4$ और $x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 2 = 14$।
तीन अक्षर
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$, और
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$
इसलिए यदि $a + b + c = 0$, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$। उदाहरण: $13^3 - 7^3 - 6^3 = 3 \times 13 \times (-7) \times (-6) = 1638$।
शून्य के बराबर वर्गों का योग
$a^2 + b^2 - 2a + 4b + 5 = 0$ को $(a - 1)^2 + (b + 2)^2 = 0$ लिखा जा सकता है। वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए दोनों 0 हैं: $a = 1$, $b = -2$।
103² पर वापस
$(100 + 3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$। सर्वसमिकाओं से उत्तर एक पंक्ति में आ जाता है।
Concepts and terms
2x + 1 = 7 जैसा समीकरण एक x के लिए सत्य है। (x + 1)² = x² + 2x + 1 जैसी सर्वसमिका हर x के लिए सत्य है।
(x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² और x·(1/x) = 1, इसलिए मध्य पद केवल 2 है।
(2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1, इसलिए 1/(2 + √3) = 2 − √3 और x + 1/x = 4।
a³ + b³ + c³ − 3abc का एक गुणनखंड a + b + c है, इसलिए a + b + c = 0 होने पर घनों का योग 3abc है।
Did you know
यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व (a + b)² = a² + 2ab + b² को एक वर्ग के चित्र से सिद्ध किया, बीजगणित के किसी चिह्न के बिना।
वैदिक गणित 48 × 52 = 50² − 2² = 2496 जैसे गुणनफल के लिए (a − b)(a + b) का प्रयोग करता है।
Memory tricks
x + 1/x की घातें — वर्ग घटा 2, घन घटा 3k — वर्ग के लिए k² − 2, घन के लिए k³ − 3k; x − 1/x में ऋण धन बन जाते हैं।
a³ + b³ के गुणनखंड — वही, उलटा, सदा धन — a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²): पहला चिह्न वही, बीच का उलटा, अंतिम सदा धन।
Practice MCQs with answers (73)
- A 8
- B 7
- C 11
- D 9
Show answer
Why:
वर्ग करो: x² + 2 + 1/x² = 9, इसलिए x² + 1/x² = 9 − 2 = 7।
- A 15
- B 18
- C 14
- D 16
Show answer
Why:
वर्ग करो: x² + 2 + 1/x² = 16, इसलिए x² + 1/x² = 16 − 2 = 14।
- A 120
- B 140
- C 125
- D 110
Show answer
Why:
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = 125 − 15 = 110।
- A 18
- B 27
- C 24
- D 36
Show answer
Why:
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = 27 − 9 = 18।
- A 14
- B 2
- C 4
- D 6
Show answer
Why:
x² + 1/x² = 4 − 2 = 2; फिर वर्ग करो: x⁴ + 1/x⁴ = 2² − 2 = 2।
- A 254
- B 196
- C 194
- D 198
Show answer
Why:
x² + 1/x² = 16 − 2 = 14; फिर वर्ग करो: x⁴ + 1/x⁴ = 14² − 2 = 194।
- A 216
- B 210
- C 234
- D 198
Show answer
Why:
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = 216 − 18 = 198।
- A 3
- B 3√5
- C 7
- D 5
Show answer
Why:
वर्ग करो: x² + 1/x² = (√5)² − 2 = 5 − 2 = 3।
- A 7√7
- B 4√7
- C 10√7
- D 4
Show answer
Why:
k = √7 लेकर x³ + 1/x³ = k³ − 3k: 7√7 − 3√7 = 4√7।
- A 18
- B 16
- C 14
- D 34
Show answer
Why:
x² + 1/x² = 6 − 2 = 4; x⁴ + 1/x⁴ = 4² − 2 = 14।
- A 5
- B 2
- C 4
- D 6
Show answer
Why:
वर्ग करो: x² − 2 + 1/x² = 4, इसलिए x² + 1/x² = 4 + 2 = 6।
- A 36
- B 27
- C 30
- D 18
Show answer
Why:
x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x) = 27 + 9 = 36।
- A 16
- B 18
- C 17
- D 14
Show answer
Why:
वर्ग करो: x² − 2 + 1/x² = 16, इसलिए x² + 1/x² = 16 + 2 = 18।
- A −1
- B 9
- C 7
- D 11
Show answer
Why:
x² + 1/x² = 1 + 2 = 3; x⁴ + 1/x⁴ = 3² − 2 = 7।
- A 110
- B 125
- C 130
- D 140
Show answer
Why:
x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x) = 125 + 15 = 140।
- A 4
- B 16
- C 5
- D 12
Show answer
Why:
(x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 = 16, इसलिए x + 1/x = 4।
- A 4
- B 3
- C 5
- D 9
Show answer
Why:
(x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 = 9, इसलिए x + 1/x = 3।
- A 9
- B 13
- C 3
- D 4
Show answer
Why:
(x − 1/x)² = x² + 1/x² − 2 = 9, इसलिए x − 1/x = 3 (x > 1 है, इसलिए धनात्मक)।
- A 9
- B 7
- C 4
- D 3
Show answer
Why:
(x² + 1/x²)² = 47 + 2 = 49, इसलिए x² + 1/x² = 7। तब (x + 1/x)² = 7 + 2 = 9, इसलिए x + 1/x = 3।
- A 4
- B 16
- C 14
- D 5
Show answer
Why:
(x² + 1/x²)² = 194 + 2 = 196, इसलिए x² + 1/x² = 14। तब (x + 1/x)² = 14 + 2 = 16, इसलिए x + 1/x = 4।
- A 15
- B 14
- C 18
- D 16
Show answer
Why:
x से भाग दो: x + 1/x = 4। तब x² + 1/x² = 16 − 2 = 14।
- A 120
- B 140
- C 110
- D 125
Show answer
Why:
x से भाग दो: x + 1/x = 5। तब x³ + 1/x³ = 125 − 15 = 110।
- A 36
- B 27
- C 24
- D 18
Show answer
Why:
x से भाग दो: x + 1/x = 3। तब x³ + 1/x³ = 27 − 9 = 18।
- A 34
- B 35
- C 38
- D 36
Show answer
Why:
x से भाग दो: x + 1/x = 6। तब x² + 1/x² = 36 − 2 = 34।
- A 18
- B 14
- C 12
- D 16
Show answer
Why:
(2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1, इसलिए 1/x = 2 − √3 और x + 1/x = 4, इसलिए x² + 1/x² = 16 − 2 = 14।
- A 2√8
- B 3
- C 6
- D 16
Show answer
Why:
(3 + √8)(3 − √8) = 9 − 8 = 1, इसलिए 1/x = 3 − √8 और x + 1/x = 6।
- A 60
- B 64
- C 76
- D 52
Show answer
Why:
(2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1, इसलिए 1/x = 2 − √3 और x + 1/x = 4, इसलिए x³ + 1/x³ = 64 − 12 = 52।
- A 62
- B 64
- C 66
- D 60
Show answer
Why:
(4 + √15)(4 − √15) = 16 − 15 = 1, इसलिए 1/x = 4 − √15 और x + 1/x = 8, इसलिए x² + 1/x² = 64 − 2 = 62।
- A 990
- B 970
- C 1000
- D 1030
Show answer
Why:
(5 + √24)(5 − √24) = 25 − 24 = 1, इसलिए 1/x = 5 − √24 और x + 1/x = 10, इसलिए x³ + 1/x³ = 1000 − 30 = 970।
- A 5
- B 8
- C 10
- D 12
Show answer
Why:
(√3 + √2)(√3 − √2) = 3 − 2 = 1, इसलिए 1/x = √3 − √2। x + 1/x = 2√3, इसलिए x² + 1/x² = 4 × 3 − 2 = 10।
- A 24
- B 11
- C 20
- D 22
Show answer
Why:
(√6 + √5)(√6 − √5) = 6 − 5 = 1, इसलिए 1/x = √6 − √5। x + 1/x = 2√6, इसलिए x² + 1/x² = 4 × 6 − 2 = 22।
- A 25
- B 37
- C 49
- D 73
Show answer
Why:
a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 24 = 25।
- A 273
- B 133
- C 313
- D 553
Show answer
Why:
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 343 − 210 = 133।
- A 16
- B 58
- C 4
- D 6
Show answer
Why:
(a − b)² = (a + b)² − 4ab = 100 − 84 = 16, इसलिए a − b = 4।
- A 19
- B 9
- C −11
- D 29
Show answer
Why:
a² + b² = (a − b)² + 2ab = 9 + 20 = 29।
- A 63
- B −9
- C 39
- D 64
Show answer
Why:
a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b) = 27 + 36 = 63।
- A 40
- B 8
- C 10
- D 64
Show answer
Why:
(a + b)² = (a − b)² + 4ab = 16 + 48 = 64, इसलिए a + b = 8।
- A 928
- B 1720
- C 280
- D 760
Show answer
Why:
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 1000 − 720 = 280।
- A 49
- B 61
- C 43
- D 37
Show answer
Why:
a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 12 = 37।
- A 14
- B 25
- C 36
- D 58
Show answer
Why:
a² + b² + c² = (a + b + c)² − 2(ab + bc + ca) = 36 − 22 = 14।
- A 10
- B 26
- C 52
- D 55
Show answer
Why:
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² − (a² + b² + c²) = 81 − 29 = 52, इसलिए ab + bc + ca = 26।
- A 147
- B 245
- C 49
- D 7
Show answer
Why:
a² + b² + c² = 49 − 28 = 21। तब a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) = 7 × (21 − 14) = 49।
- A 144
- B 3
- C 14
- D 12
Show answer
Why:
(a + b + c)² = 50 + 2 × 47 = 144, इसलिए a + b + c = 12।
- A 65
- B 273
- C 117
- D 169
Show answer
Why:
a² + b² + c² = (a + b + c)² − 2(ab + bc + ca) = 169 − 104 = 65।
- A 0
- B 12
- C −12
- D 4
Show answer
Why:
a + b + c = 0 होने पर a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 4 = 12।
- A 546
- B 0
- C 1638
- D −1638
Show answer
Why:
13 + (−7) + (−6) = 0, इसलिए घनों का योग 3 × 13 × (−7) × (−6) = 1638।
- A 360
- B −120
- C 0
- D −360
Show answer
Why:
5 + 3 + (−8) = 0, इसलिए घनों का योग 3 × 5 × 3 × (−8) = −360।
- A −48
- B 48
- C −16
- D 0
Show answer
Why:
तीनों कोष्ठक 2, 2 और −4 का योग 0 है, इसलिए योग 3 × 2 × 2 × (−4) = −48।
- A 15
- B −15
- C −5
- D 0
Show answer
Why:
a + b + c = 0 होने पर a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × (−5) = −15।
- A 948676
- B 975000
- C 974000
- D 973000
Show answer
Why:
a² − b² = (a + b)(a − b) = 1000 × 974 = 974000।
- A 64
- B 900
- C 700
- D 800
Show answer
Why:
a² − b² = (a + b)(a − b) = 100 × 8 = 800।
- A 50
- B 60
- C 40
- D 25
Show answer
Why:
a² − b² = (a + b)(a − b) = 10 × 5 = 50।
- A 24.51
- B 10
- C 5
- D 1.4
Show answer
Why:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), इसलिए मान a + b = 5.7 + 4.3 = 10।
- A 0.24
- B 1
- C 0.5
- D 1.1
Show answer
Why:
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), इसलिए मान a − b = 0.8 − 0.3 = 0.5।
- A 5
- B 2
- C 1
- D 4
Show answer
Why:
(a + b)² − (a − b)² = 4ab, इसलिए मान 4ab ÷ ab = 4।
- A 1
- B 0.5476
- C 0.7738
- D 0.74
Show answer
Why:
यह (a + b)² = (0.87 + 0.13)² = 1² = 1 है।
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
Show answer
Why:
(a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²), इसलिए मान 2 है।
- A −2
- B −6
- C 2
- D 6
Show answer
Why:
फिर से समूह बनाओ: (a − 1)² + (b + 2)² + (c − 3)² = 0। वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होते, इसलिए हर एक 0 है: a = 1, b = −2, c = 3। इसलिए a + b + c = 2।
- A 4
- B −5
- C 6
- D 5
Show answer
Why:
फिर से समूह बनाओ: (a − 2)² + (b − 3)² = 0। वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होते, इसलिए हर एक 0 है: a = 2, b = 3। इसलिए a + b = 5।
- A 1
- B −1
- C 8
- D 7
Show answer
Why:
फिर से समूह बनाओ: (a + 1)² + (b − 4)² + (c + 2)² = 0। वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होते, इसलिए हर एक 0 है: a = −1, b = 4, c = −2। इसलिए a + b + c = 1।
- A 2ab
- B 4ab
- C 2(a² + b²)
- D 0
Show answer
Why:
(a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab।
- A x + 1 = 2x
- B x² + 1 = 2x
- C (x + 1)² = x² + 2x + 1
- D (x + 1)² = x² + 1
Show answer
Why:
केवल (x + 1)² = x² + 2x + 1 हर x के लिए सत्य है; बाक़ी हर एक केवल एक मान पर सत्य है (x = 1, x = 1 और x = 0)।
- A (a + b)(a² + ab + b²)
- B (a − b)(a² + ab + b²)
- C (a + b)³
- D (a + b)(a² − ab + b²)
Show answer
Why:
गुणा करके देखो: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³।
- A 3
- B 0
- C 1
- D −3
Show answer
Why:
a³ + b³ + c³ = 3abc, इसलिए अनुपात 3 है।
- A 1
- B 2
- C 4
- D 0
Show answer
Why:
x + 1/x − 2 = (√x − 1/√x)² ≥ 0, और x = 1 पर बराबर।
- A 0
- B √2
- C 1
- D 2
Show answer
Why:
(x − 1/x)² = 2 − 2 = 0, इसलिए x = 1/x और x = 1।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
(100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609; सर्वसमिका से ही A मिलता है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
R से x² + 1/x² = 9 − 2 = 7, 9 नहीं। A असत्य, R सत्य।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
25 − 12 = 13 और 125 − 90 = 35, इसलिए दोनों सत्य हैं (a = 2, b = 3)।
- A 10
- B 58
- C 21
- D 42
Show answer
Why:
हर पट्टी 7 × 3 = 21, इसलिए 2ab = 42। जाँच: 49 + 42 + 9 = 100 = 10²।
- A 64
- B 80
- C 55
- D 49
Show answer
Why:
a² = 25 से a = 5; ab = 15 से b = 3, इसलिए b² = 9। कुल = 25 + 30 + 9 = 64 = (5 + 3)²।
- A 81
- B 65
- C 77
- D 25
Show answer
Why:
आयत (9 + 4) × (9 − 4) = 13 × 5 = 65 है, जो 81 − 16 है।
- A 25
- B 27
- C 23
- D 24
Show answer
Why:
पूरा वर्ग 25 = x² + 1 + 1 + 1/x², इसलिए x² + 1/x² = 25 − 2 = 23।
Important short questions (4)
(998 + 2)(998 − 2) = 1000 × 996 = 996000।
36 − 2 = 34 और 216 − 18 = 198।
512 − 3 × 15 × 8 = 512 − 360 = 152।
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca); पहला गुणनखंड 0 है।
Long answer questions (1)
(a) (3 + √8)(3 − √8) = 9 − 8 = 1, इसलिए 1/x = 3 − √8।
(b) x + 1/x = 6।
(c) x² + 1/x² = 36 − 2 = 34; x³ + 1/x³ = 216 − 18 = 198।
Flashcards (14)
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Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 13 — frequently asked questions
10 से गुणा करो: 5x − 2x = 90, इसलिए 3x = 90 और x = 30।
दूसरे से y = 3x − 3। तब 2x + 9x − 9 = 13, इसलिए x = 2 और y = 3।
3/6 = k/10 ≠ 7/11 से k = 5।
(x − 4)(x + 3) = 0, इसलिए x = 4 या x = −3।
k² − 64 = 0, इसलिए k = 8 या k = −8।
S = 6, P = 7; α² + β² = 36 − 14 = 22।
(998 + 2)(998 − 2) = 1000 × 996 = 996000।
36 − 2 = 34 और 216 − 18 = 198।
512 − 3 × 15 × 8 = 512 − 360 = 152।
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