Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 14: ज्यामिति

Q: एक कोण अपने पूरक का 4 गुना है। कोण और उसका संपूरक ज्ञात करो।

x = 4(90 − x) से 5x = 360, x = 72°। इसका संपूरक 108° है।

Q: त्रिभुज ABC में ∠A = 2∠B और ∠C = 3∠B। तीनों कोण ज्ञात करो।

2B + B + 3B = 180°, इसलिए B = 30°, A = 60°, C = 90°।

Q: क्या 9, 12 और 15 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है? समझाओ।

81 + 144 = 225 = 15², इसलिए हाँ; समकोण 15 वाली भुजा के सामने है।

Q: 16 सेमी लंबी जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है। त्रिज्या और व्यास ज्ञात करो।

r = √(8² + 6²) = 10 सेमी, इसलिए व्यास 20 सेमी है।

Q: $ABCD$ चक्रीय है और ∠A = 3∠C। ∠A और ∠C ज्ञात करो।

A + C = 180° और A = 3C, इसलिए 4C = 180°, C = 45°, A = 135°।

Q: P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB, ∠APB = 70° बनाती हैं। ∠AOB और ∠OAB ज्ञात करो, जहाँ O केंद्र है।

∠AOB = 180° − 70° = 110°। OA = OB, इसलिए ∠OAB = (180° − 110°) ÷ 2 = 35°।

Q: एक सम बहुभुज का हर अंतःकोण 150° है। भुजाओं और विकर्णों की संख्या ज्ञात करो।

बहिष्कोण 30°, इसलिए n = 12। विकर्ण = 12 × 9 ÷ 2 = 54।

Q: एक समचतुर्भुज के विकर्ण 18 सेमी और 24 सेमी हैं। उसकी भुजा और परिमाप ज्ञात करो।

भुजा = √(9² + 12²) = 15 सेमी; परिमाप = 60 सेमी।

ज्यामिति is Unit 14 of Veda Skills Quantitative Aptitude (Hindi medium). This page has the complete chapter notes across 3 topics, 201 practice MCQs with answers and explanations, 14 important short and long questions and 46 flashcards, written for SSC, Bank, Railway and placement exams and free to read.

3 topics
201 MCQs
11 short answers
3 long answers
46 flashcards
3 games
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Hindi

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रेखाएँ, कोण और त्रिभुज

कोण युग्म, समांतर रेखाओं के नियम, त्रिभुज का कोण योग और बहिष्कोण, पाइथागोरस, त्रिभुज असमिका, त्रिभुज के केंद्र और समरूप त्रिभुजों से कोई भी छूटा कोण या भुजा ज्ञात करो।

What you will be able to do

आप पूरक, संपूरक और समांतर रेखाओं पर तिर्यक रेखा से बने कोण ज्ञात कर सकेंगे।
आप त्रिभुज के कोण योग और बहिष्कोण गुण का उपयोग कर सकेंगे।
आप भुजाओं पर पाइथागोरस और त्रिभुज असमिका लगा सकेंगे।
आप अंतःकेंद्र, केन्द्रक और लंबकेंद्र के कोण वाले परिणाम लगा सकेंगे।
आप समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ और उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निकाल सकेंगे।

Key points

पूरक कोणों का योग 90° और संपूरक कोणों का योग 180° होता है।
शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं; रैखिक युग्म का योग 180° होता है।
समांतर रेखाओं में संगत और एकांतर कोण बराबर होते हैं, और सह-आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।
त्रिभुज के कोणों का योग 180° है; बहिष्कोण दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।
समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²।
त्रिभुज की कोई भी दो भुजाएँ मिलकर तीसरी से लंबी होती हैं।
यदि I अंतःकेंद्र है, तो ∠BIC = 90° + A/2; A के सामने वाले बहिःकेंद्र के लिए यह कोण 90° − A/2 है; लंबकेंद्र H के लिए ∠BHC = 180° − A।
केन्द्रक हर माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2 : 1 में बाँटता है।
समरूप त्रिभुजों में भुजाएँ एक अनुपात k में और क्षेत्रफल k² के अनुपात में होते हैं।

Full explanation

राजमिस्त्री की रस्सी

अध्याय का आरंभिक चित्र: ज्यामिति

रमेश अपने गाँव में एक कमरा बना रहा है। उसके पास गुनिया नहीं है, बस एक रस्सी है जिस पर 3, 4 और 5 मीटर पर गाँठें हैं। वह रस्सी को त्रिभुज के आकार में खूँटों से बाँधता है, और 3 मी और 4 मी वाले भागों के बीच का कोना ठीक 90° बनता है।

ऐसा क्यों होता है, और परीक्षा के सवाल यही विचार कैसे पूछते हैं? कोण, समांतर रेखाएँ और त्रिभुज दोनों का उत्तर देते हैं।

कोण युग्म

चित्र: रेखाएँ, कोण और त्रिभुज

पूरक: योग 90°। 35° का पूरक 55° है।
संपूरक: योग 180°। 35° का संपूरक 145° है।
रैखिक युग्म: एक सीधी रेखा पर बने दो कोण, योग 180°।
शीर्षाभिमुख: दो काटती रेखाओं से बने, सदा बराबर।

परीक्षा का रूप: "एक कोण अपने पूरक का 4 गुना है।" तब $x = 4(90 - x)$, इसलिए $x = 72°$।

समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा

जब कोई रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है तो आठ कोण बनते हैं, पर उनके केवल दो अलग माप होते हैं: एक न्यून कोण और उसका संपूरक।

दो समांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा से कटी हुई, आठ कोण 1 से 8 तक क्रमांकित; न्यून कोण 1, 3, 5, 7 बराबर हैं, और 2, 4, 6, 8 बराबर हैं।

कोण योग और बहिष्कोण

किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। यदि एक भुजा बढ़ाई जाए, तो बाहर बना कोण उसके दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।

$$\angle ACD = \angle A + \angle B$$

त्रिभुज ABC जिसके कोण 50°, 60° और 70° हैं; भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है और बहिष्कोण ACD = 110° है।

त्रिभुजों के प्रकार

भुजाओं से: समबाहु (सभी बराबर, हर कोण 60°), समद्विबाहु (दो भुजाएँ बराबर, आधार के कोण बराबर), विषमबाहु।
कोणों से: न्यूनकोण, समकोण (एक 90°), अधिककोण (एक कोण 90° से बड़ा; त्रिभुज में ऐसा केवल एक हो सकता है)।

सबसे बड़ी भुजा सदा सबसे बड़े कोण के सामने होती है।

पाइथागोरस: रस्सी पर वापस

रमेश की रस्सी इसलिए काम करती है क्योंकि $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$। जब भी भुजाएँ $a^2 + b^2 = c^2$ में बैठें, तो $c$ के सामने का कोण समकोण होता है।

आम त्रिक याद कर लो; परीक्षा की अधिकतर संख्याएँ इन्हीं या इनके गुणजों पर बनी होती हैं।

पाइथागोरस त्रिकों की तालिका: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 और 20-21-29, उनकी जाँच और गुणजों के साथ।

क्या इन भुजाओं से त्रिभुज बनेगा?

किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा होना चाहिए। 4, 5, 10 से नहीं बनेगा क्योंकि $4 + 5 < 10$।

यदि दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं, तो तीसरी भुजा $|a - b|$ और $a + b$ के बीच होती है। भुजाएँ 6 और 11 हों तो तीसरी 5 और 17 के बीच है, यानी 11 पूर्णांक मान (6 से 16)।

त्रिभुज के केंद्र

केंद्र	कौन-सी रेखाएँ मिलती हैं	कोण का परिणाम
केन्द्रक G	माध्यिकाएँ	माध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है
अंतःकेंद्र I	कोण समद्विभाजक	∠BIC = 90° + A/2
परिकेंद्र O	लंब समद्विभाजक	∠BOC = 2A
लंबकेंद्र H	शीर्षलंब	∠BHC = 180° − A

समकोण त्रिभुज में परिकेंद्र कर्ण का मध्य-बिंदु होता है और लंबकेंद्र समकोण वाला शीर्ष।

दो त्रिभुज: पहले में तीनों माध्यिकाएँ केन्द्रक G पर मिलती हैं; दूसरे में तीनों कोण समद्विभाजक अंतःकेंद्र I पर मिलते हैं और अंतःवृत्त बना है।

समरूप त्रिभुज

यदि त्रिभुज $ABC$ में $DE \parallel BC$, तो त्रिभुज $ADE$ त्रिभुज $ABC$ के समरूप है और

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$

यदि भुजाओं का अनुपात $k$ है, तो क्षेत्रफलों का अनुपात $k^2$: भुजाएँ 2 : 3 हों तो क्षेत्रफल 4 : 9।

त्रिभुज ABC जिसमें DE, BC के समांतर है; AD = 3, DB = 6, DE = 5 और BC = 15।

भुजाओं के दो और नियम

कोण समद्विभाजक प्रमेय: यदि AD, ∠A को समद्विभाजित करे, तो $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$।
माध्यिका की लंबाई (अपोलोनियस): जब D, BC का मध्य-बिंदु हो, $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$।
समकोण त्रिभुज: कर्ण पर शीर्षलंब $= \frac{ab}{c}$ और कर्ण पर माध्यिका $= \frac{c}{2}$।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

दो कोण ज्ञात: तीसरा $= 180° - (A + B)$।
बहिष्कोण = दूर वाले दो अंतःकोणों का योग।
समांतर रेखाएँ: हर कोण या तो $x$ है या $180° - x$।
समकोण त्रिभुज: वर्ग करने से पहले त्रिक ढूँढो।
B और C के समद्विभाजक $90° + \frac{A}{2}$ पर मिलते हैं।
समरूप आकृतियाँ: लंबाई $k$, क्षेत्रफल $k^2$।

रमेश का कमरा सीधा बना

एक ही रस्सी से रमेश ने कमरे के चारों कोने जाँच लिए: 3, 4 और 5 हर बार 90° बनाते हैं। अब तुम्हारे पास भी SSC से लेकर प्लेसमेंट टेस्ट तक, किसी भी कोण या भुजा वाले सवाल के लिए यही औज़ार हैं।

माइंड मैप: बीच में रेखाएँ और त्रिभुज, चारों ओर कोण युग्म, समांतर रेखाएँ, कोण योग, पाइथागोरस, केंद्र और समरूपता।

Concepts and terms

कोण युग्म

जिन दो कोणों का योग 90° हो वे पूरक, और 180° हो वे संपूरक हैं। काटती रेखाएँ बराबर शीर्षाभिमुख कोण बनाती हैं।

बहिष्कोण गुण

त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाओ। बाहर बना कोण उन दो अंदर के कोणों के योग के बराबर है जो उसके पास नहीं हैं।

पाइथागोरस प्रमेय

समकोण त्रिभुज में भुजाएँ a, b और कर्ण c हो तो a² + b² = c²। 3, 4, 5 जैसे पूर्णांक समूह त्रिक कहलाते हैं।

त्रिभुज के केंद्र

माध्यिकाएँ केन्द्रक पर, कोण समद्विभाजक अंतःकेंद्र पर, लंब समद्विभाजक परिकेंद्र पर और शीर्षलंब लंबकेंद्र पर मिलते हैं।

समरूप त्रिभुज

एक जैसे कोणों वाले त्रिभुज। इनकी भुजाएँ समानुपाती होती हैं, इसलिए एक भुजा के समांतर रेखा बाक़ी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में काटती है।

Did you know

भारतीय निर्माता वेदियों में समकोण बनाने के लिए 3-4-5 गाँठों वाली रस्सी लगाते थे; बौधायन शुल्बसूत्र में पाइथागोरस से सदियों पहले यही विचार लिखा है।

हर त्रिभुज में केन्द्रक, परिकेंद्र और लंबकेंद्र एक ही सीधी रेखा पर होते हैं, जिसे ऑयलर रेखा कहते हैं।

Memory tricks

पूरक या संपूरक — पूरक छोटा, संपूरक बड़ा — पूरक का योग छोटा 90° और संपूरक का योग बड़ा 180° है।

समद्विभाजक कोण — अंतः जोड़, बहिः घटा, लंब 180 — अंतःकेंद्र: 90° + A/2। बहिःकेंद्र: 90° − A/2। लंबकेंद्र: 180° − A।

Practice MCQs with answers (87)

Q1 34° का पूरक कोण क्या है? beginner

A 326°
B 66°
C 146°
D 56°

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Answer: 56°
Why:

पूरक कोणों का योग 90° होता है: 90° − 34° = 56°।

Q2 67° का पूरक कोण क्या है? beginner

A 23°
B 33°
C 113°
D 293°

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Answer: 23°
Why:

पूरक कोणों का योग 90° होता है: 90° − 67° = 23°।

Q3 47° का संपूरक कोण क्या है? beginner

A 313°
B 133°
C 143°
D 43°

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Answer: 133°
Why:

संपूरक कोणों का योग 180° होता है: 180° − 47° = 133°।

Q4 112° का संपूरक कोण क्या है? beginner

A 58°
B 248°
C 68°
D 78°

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Answer: 68°
Why:

संपूरक कोणों का योग 180° होता है: 180° − 112° = 68°।

Q5 एक कोण अपने संपूरक का 2 गुना है। कोण ज्ञात करो। beginner

A 60°
B 130°
C 105°
D 120°

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Answer: 120°
Why:

$x = 2(180° - x)$, इसलिए $3x = 360°$ और $x = 120°$।

Q6 एक कोण अपने संपूरक का 5 गुना है। कोण ज्ञात करो। intermediate

A 150°
B 30°
C 160°
D 75°

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Answer: 150°
Why:

$x = 5(180° - x)$, इसलिए $6x = 900°$ और $x = 150°$।

Q7 किसी कोण का संपूरक उसके पूरक का 4 गुना है। कोण ज्ञात करो। intermediate

A 75°
B 60°
C 30°
D 120°

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Answer: 60°
Why:

$180 - x = 4(90 - x)$ से $3x = 180$, इसलिए $x = 60°$।

Q8 किसी कोण का संपूरक उसके पूरक का 7 गुना है। कोण ज्ञात करो। advanced

A 105°
B 90°
C 75°
D 15°

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Answer: 75°
Why:

$180 - x = 7(90 - x)$ से $6x = 450$, इसलिए $x = 75°$।

Q9 दो पूरक कोण 2 : 3 के अनुपात में हैं। बड़ा कोण क्या है? beginner

A 64°
B 36°
C 108°
D 54°

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Answer: 54°
Why:

एक भाग = 90° ÷ 5 = 18°, इसलिए बड़ा कोण = 3 × 18° = 54°।

Q10 दो संपूरक कोण 4 : 5 के अनुपात में हैं। बड़ा कोण क्या है? beginner

A 100°
B 110°
C 80°
D 50°

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Answer: 100°
Why:

एक भाग = 180° ÷ 9 = 20°, इसलिए बड़ा कोण = 5 × 20° = 100°।

Q11 एक कोण अपने पूरक से 24° अधिक है। कोण ज्ञात करो। intermediate

A 66°
B 57°
C 102°
D 33°

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Answer: 57°
Why:

$x + (x - 24) = 90$, इसलिए $2x = 114$ और $x = 57°$।

Q12 त्रिभुज PQR में ∠P = 48° और ∠Q = 67°। ∠R ज्ञात करो। beginner

A 245°
B 75°
C 65°
D 115°

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Answer: 65°
Why:

∠R = 180° − (48° + 67°) = 65°।

Q13 त्रिभुज XYZ में ∠X = 105° और ∠Y = 38°। ∠Z ज्ञात करो। beginner

A 217°
B 47°
C 143°
D 37°

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Answer: 37°
Why:

∠Z = 180° − (105° + 38°) = 37°।

Q14 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 50°, ∠B = 60° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-tri-1.svg) beginner

A 70°
B 130°
C 20°
D 110°

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Answer: 70°
Why:

x = 180° − (50° + 60°) = 70°।

Q15 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 38°, ∠B = 77° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-tri-2.svg) beginner

A 115°
B 65°
C 142°
D 25°

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Answer: 65°
Why:

x = 180° − (38° + 77°) = 65°।

Q16 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 105°, ∠B = 35° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-tri-3.svg) intermediate

A 50°
B 140°
C 40°
D 75°

Show answer

Answer: 40°
Why:

x = 180° − (105° + 35°) = 40°।

Q17 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 62°, ∠B = 54° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-tri-4.svg) intermediate

A 116°
B 118°
C 26°
D 64°

Show answer

Answer: 64°
Why:

x = 180° − (62° + 54°) = 64°।

Q18 त्रिभुज के कोण x के रूप में दिए हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसके कोण 2x, 3x, 4x लिखे हैं।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-tri-ratio-1.svg) intermediate

A 80°
B 90°
C 70°
D 20°

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Answer: 80°
Why:

2x + 3x + 4x = 9x = 180°, इसलिए x = 20° और सबसे बड़ा कोण 80° है।

Q19 त्रिभुज के कोण x के रूप में दिए हैं। सबसे छोटा कोण ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसके कोण x, 2x, 3x लिखे हैं।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-tri-ratio-2.svg) beginner

A 20°
B 30°
C 150°
D 40°

Show answer

Answer: 30°
Why:

x + 2x + 3x = 6x = 180°, इसलिए x = 30° और सबसे छोटा कोण 30° है।

Q20 एक त्रिभुज के कोण 3 : 4 : 5 के अनुपात में हैं। सबसे बड़ा कोण क्या है? beginner

A 90°
B 150°
C 75°
D 60°

Show answer

Answer: 75°
Why:

एक भाग = 180° ÷ 12 = 15°, इसलिए कोण = 75°।

Q21 एक त्रिभुज के कोण 5 : 6 : 7 के अनुपात में हैं। सबसे छोटा कोण क्या है? beginner

A 65°
B 140°
C 60°
D 50°

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Answer: 50°
Why:

एक भाग = 180° ÷ 18 = 10°, इसलिए कोण = 50°।

Q22 BC को D तक बढ़ाया गया है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 45° और ∠B = 65°; BC को D तक बढ़ाया गया है और बहिष्कोण ACD को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-ext-1.svg) beginner

A 110°
B 115°
C 70°
D 135°

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Answer: 110°
Why:

बहिष्कोण दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर है: x = 45° + 65° = 110°।

Q23 BC को D तक बढ़ाया गया है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 52° और ∠B = 74°; BC को D तक बढ़ाया गया है और बहिष्कोण ACD को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-ext-2.svg) intermediate

A 128°
B 126°
C 106°
D 54°

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Answer: 126°
Why:

बहिष्कोण दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर है: x = 52° + 74° = 126°।

Q24 BC को D तक बढ़ाया गया है और बहिष्कोण दिया है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 40° और ∠B को x लिखा है; बहिष्कोण ACD = 115°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-ext-3.svg) intermediate

A 65°
B 85°
C 75°
D 105°

Show answer

Answer: 75°
Why:

बहिष्कोण = ∠A + ∠B, इसलिए 115° = 40° + x और x = 75°।

Q25 BC को D तक बढ़ाया गया है और बहिष्कोण दिया है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 58° और ∠B को x लिखा है; बहिष्कोण ACD = 130°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-ext-4.svg) intermediate

A 98°
B 82°
C 50°
D 72°

Show answer

Answer: 72°
Why:

बहिष्कोण = ∠A + ∠B, इसलिए 130° = 58° + x और x = 72°।

Q26 किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण 120° और उसका एक अंतःसम्मुख कोण 45° है। दूसरा अंतःसम्मुख कोण ज्ञात करो। beginner

A 75°
B 60°
C 15°
D 135°

Show answer

Answer: 75°
Why:

120° = 45° + x, इसलिए x = 75°।

Q27 रेखाएँ l और m समांतर हैं। x का मान ज्ञात करो। ![दो समांतर रेखाएँ l और m एक तिर्यक रेखा से कटी हैं; एक कोण 65° है और दूसरा कोण x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-par-1.svg) beginner

A 115°
B 65°
C 25°
D 230°

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Answer: 65°
Why:

चिह्नित कोण संगत कोण हैं, इसलिए x = दिया गया कोण = 65°।

Q28 रेखाएँ l और m समांतर हैं। x का मान ज्ञात करो। ![दो समांतर रेखाएँ l और m एक तिर्यक रेखा से कटी हैं; एक कोण 58° है और दूसरा कोण x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-par-2.svg) beginner

A 244°
B 122°
C 58°
D 32°

Show answer

Answer: 58°
Why:

चिह्नित कोण एकांतर अंतः कोण हैं, इसलिए x = दिया गया कोण = 58°।

Q29 रेखाएँ l और m समांतर हैं। x का मान ज्ञात करो। ![दो समांतर रेखाएँ l और m एक तिर्यक रेखा से कटी हैं; एक कोण 110° है और दूसरा कोण x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-par-3.svg) intermediate

A 110°
B 20°
C 180°
D 70°

Show answer

Answer: 70°
Why:

चिह्नित कोण सह-आंतरिक कोण हैं, इसलिए x = 180° घटा दिया गया कोण = 70°।

Q30 रेखाएँ l और m समांतर हैं। x का मान ज्ञात करो। ![दो समांतर रेखाएँ l और m एक तिर्यक रेखा से कटी हैं; एक कोण 132° है और दूसरा कोण x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-par-4.svg) intermediate

A 48°
B 132°
C 42°
D 180°

Show answer

Answer: 48°
Why:

चिह्नित कोण एक ही ओर के बाह्य कोण हैं, इसलिए x = 180° घटा दिया गया कोण = 48°।

Q31 रेखाएँ l और m समांतर हैं। x का मान ज्ञात करो। ![दो समांतर रेखाएँ l और m एक तिर्यक रेखा से कटी हैं; एक कोण 75° है और दूसरा कोण x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-par-5.svg) advanced

A 15°
B 105°
C 180°
D 75°

Show answer

Answer: 105°
Why:

चिह्नित कोण एक ही ओर के बाह्य कोण हैं, इसलिए x = 180° घटा दिया गया कोण = 105°।

Q32 दो सीधी रेखाएँ O पर काटती हैं। x का मान ज्ञात करो। ![O पर काटती दो रेखाएँ; एक कोण (3x + 5)° है और सामने वाला कोण (2x + 20)° है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cross-1.svg) intermediate

A 20
B 10
C 15
D 30

Show answer

Answer: 15
Why:

शीर्षाभिमुख कोण बराबर हैं: 3x + 5 = 2x + 20, इसलिए x = 15।

Q33 दो सीधी रेखाएँ O पर काटती हैं। x का मान ज्ञात करो। ![O पर काटती दो रेखाएँ; एक कोण (4x − 10)° है और सामने वाला कोण (2x + 30)° है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cross-2.svg) intermediate

A 25
B 15
C 40
D 20

Show answer

Answer: 20
Why:

शीर्षाभिमुख कोण बराबर हैं: 4x − 10 = 2x + 30, इसलिए x = 20।

Q34 दो सीधी रेखाएँ O पर काटती हैं। x का मान ज्ञात करो। ![O पर काटती दो रेखाएँ; एक कोण (2x + 10)° है और पास वाला कोण (3x + 20)° है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cross-3.svg) advanced

A 30
B 35
C 25
D 60

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Answer: 30
Why:

रैखिक युग्म का योग 180° है: 2x + 10 + 3x + 20 = 180, इसलिए x = 30।

Q35 एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 9 सेमी और 12 सेमी हैं। कर्ण (सेमी में) ज्ञात करो। beginner

A 16
B 15
C 14
D 21

Show answer

Answer: 15
Why:

√(9² + 12²) = √225 = 15।

Q36 एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 20 सेमी और 21 सेमी हैं। कर्ण (सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 30
B 28
C 29
D 41

Show answer

Answer: 29
Why:

√(20² + 21²) = √841 = 29।

Q37 एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 17 सेमी और एक भुजा 8 सेमी है। तीसरी भुजा (सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 16
B 14
C 9
D 15

Show answer

Answer: 15
Why:

x² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, इसलिए x = 15।

Q38 एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 41 सेमी और एक भुजा 9 सेमी है। तीसरी भुजा (सेमी में) ज्ञात करो। advanced

A 40
B 41
C 39
D 32

Show answer

Answer: 40
Why:

x² = 41² − 9² = 1681 − 81 = 1600, इसलिए x = 40।

Q39 समकोण त्रिभुज में x ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, B पर समकोण, AB = 6, BC = 8 और कर्ण AC = x।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rt-1.svg) beginner

A 8
B 10
C 14
D 11

Show answer

Answer: 10
Why:

x² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, इसलिए x = 10।

Q40 समकोण त्रिभुज में x ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, B पर समकोण, AB = 5, BC = 12 और कर्ण AC = x।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rt-2.svg) beginner

A 11
B 17
C 13
D 14

Show answer

Answer: 13
Why:

x² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, इसलिए x = 13।

Q41 समकोण त्रिभुज में x ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, B पर समकोण, AB = 15, BC = 8 और कर्ण AC = x।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rt-3.svg) intermediate

A 23
B 18
C 15
D 17

Show answer

Answer: 17
Why:

x² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289, इसलिए x = 17।

Q42 समकोण त्रिभुज में x ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, B पर समकोण, BC = 7, कर्ण AC = 25 और AB = x।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rt-4.svg) intermediate

A 24
B 23
C 18
D 25

Show answer

Answer: 24
Why:

x² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576, इसलिए x = 24।

Q43 समकोण त्रिभुज में x ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, B पर समकोण, BC = 10, कर्ण AC = 26 और AB = x।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rt-5.svg) intermediate

A 23
B 24
C 16
D 25

Show answer

Answer: 24
Why:

x² = 26² − 10² = 676 − 100 = 576, इसलिए x = 24।

Q44 25 मी लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और उसका पैर दीवार से 7 मी दूर है। सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई (मी में) तक पहुँचती है? intermediate

A 18
B 26
C 24
D 32

Show answer

Answer: 24
Why:

√(25² − 7²) = √(625 − 49) = √576 = 24।

Q45 समतल ज़मीन पर 6 मी और 11 मी ऊँचे दो खंभे 12 मी की दूरी पर खड़े हैं। उनके सिरों के बीच की दूरी (मी में) ज्ञात करो। advanced

A 15
B 17
C 12
D 13

Show answer

Answer: 13
Why:

ऊँचाई का अंतर 5 मी, दूरी 12 मी: √(5² + 12²) = 13।

Q46 रवि 8 किमी पूर्व और फिर 6 किमी उत्तर चलता है। वह अपने शुरुआती स्थान से कितनी दूर (किमी में) है? beginner

A 10
B 2
C 12
D 14

Show answer

Answer: 10
Why:

पूर्व और उत्तर 90° पर हैं: √(8² + 6²) = 10।

Q47 लंबाइयों का कौन-सा समूह किसी त्रिभुज की भुजाएँ हो सकता है? beginner

A 3, 4, 8
B 5, 7, 10
C 2, 6, 9
D 4, 5, 9

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Answer: 5, 7, 10
Why:

5, 7, 10 सही है: 5 + 7 = 12 > 10। बाक़ी में दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी से अधिक नहीं है।

Q48 किन तीन डंडियों (लंबाई सेमी में) से त्रिभुज बनाया जा सकता है? intermediate

A 3, 7, 10
B 4, 4, 9
C 6, 9, 14
D 5, 6, 12

Show answer

Answer: 6, 9, 14
Why:

6, 9, 14 सही है: 6 + 9 = 15 > 14। बाक़ी में दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी से अधिक नहीं है।

Q49 एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 6 सेमी और 11 सेमी हैं। तीसरी भुजा कितने पूर्णांक मान ले सकती है? intermediate

A 10
B 17
C 13
D 11

Show answer

Answer: 11
Why:

तीसरी भुजा 5 और 17 के बीच है, यानी 6 से 16: 11 मान।

Q50 एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 4 सेमी और 9 सेमी हैं। तीसरी भुजा कितने पूर्णांक मान ले सकती है? advanced

A 7
B 6
C 13
D 9

Show answer

Answer: 7
Why:

तीसरी भुजा 5 और 13 के बीच है, यानी 6 से 12: 7 मान।

Q51 AB = AC है। x का मान ज्ञात करो। ![समद्विबाहु त्रिभुज ABC, AB = AC बराबर चिह्नित, ∠A = 40° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-iso-1.svg) beginner

A 80°
B 70°
C 140°
D 40°

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Answer: 70°
Why:

बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर: x = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°।

Q52 AB = AC है। x का मान ज्ञात करो। ![समद्विबाहु त्रिभुज ABC, AB = AC बराबर चिह्नित, ∠A = 106° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-iso-2.svg) intermediate

A 47°
B 74°
C 37°
D 106°

Show answer

Answer: 37°
Why:

बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर: x = (180° − 106°) ÷ 2 = 37°।

Q53 एक समद्विबाहु त्रिभुज का हर आधार कोण 65° है। शीर्ष कोण ज्ञात करो। beginner

A 115°
B 25°
C 65°
D 50°

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Answer: 50°
Why:

180° − 2 × 65° = 50°।

Q54 ∠B और ∠C के समद्विभाजक O पर मिलते हैं। ∠BOC = x ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 70°; B और C से रेखाएँ O पर मिलती हैं और ∠BOC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-centre-1.svg) intermediate

A 125°
B 110°
C 140°
D 55°

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Answer: 125°
Why:

O अंतःकेंद्र है, इसलिए ∠BOC = 90° + A/2 = 90° + 35° = 125°।

Q55 ∠B और ∠C के समद्विभाजक O पर मिलते हैं। ∠BOC = x ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 48°; B और C से रेखाएँ O पर मिलती हैं और ∠BOC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-centre-2.svg) advanced

A 96°
B 114°
C 66°
D 132°

Show answer

Answer: 114°
Why:

O अंतःकेंद्र है, इसलिए ∠BOC = 90° + A/2 = 90° + 24° = 114°।

Q56 B और C पर बने बहिष्कोणों के समद्विभाजक O पर मिलते हैं। ∠BOC = x ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 70°; B और C से रेखाएँ O पर मिलती हैं और ∠BOC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-centre-3.svg) advanced

A 140°
B 125°
C 55°
D 110°

Show answer

Answer: 55°
Why:

O, A के सामने वाला बहिःकेंद्र है, इसलिए ∠BOC = 90° − A/2 = 90° − 35° = 55°।

Q57 BO और CO क्रमशः AC और AB पर लंब हैं, इसलिए O लंबकेंद्र है। ∠BOC = x ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें ∠A = 64°; B और C से रेखाएँ O पर मिलती हैं और ∠BOC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-centre-4.svg) advanced

A 58°
B 128°
C 122°
D 116°

Show answer

Answer: 116°
Why:

O लंबकेंद्र है, इसलिए ∠BOC = 180° − A = 180° − 64° = 116°।

Q58 त्रिभुज ABC में ∠A = 80°। ∠B और ∠C के समद्विभाजक I पर मिलते हैं। ∠BIC ज्ञात करो। intermediate

A 130°
B 50°
C 100°
D 140°

Show answer

Answer: 130°
Why:

∠BIC = 90° + 80°/2 = 130°।

Q59 AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है और G केन्द्रक है। यदि AD = 18 सेमी, तो AG (सेमी में) ज्ञात करो। beginner

A 13.5
B 12
C 9
D 6

Show answer

Answer: 12
Why:

G, AD को A से 2 : 1 में बाँटता है, इसलिए AG = 2/3 × 18 = 12।

Q60 AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है और G केन्द्रक है। यदि AD = 27 सेमी, तो GD (सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 13.5
B 18
C 9
D 20.25

Show answer

Answer: 9
Why:

G, AD को A से 2 : 1 में बाँटता है, इसलिए GD = 1/3 × 27 = 9।

Q61 D, BC का मध्य-बिंदु है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें AB = 6, AC = 8, BD = DC = 5, और माध्यिका AD को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-median-1.svg) intermediate

Show answer

Answer: 5
Why:

अपोलोनियस: 6² + 8² = 2(x² + 5²), इसलिए 100 = 2x² + 50 और x = 5।

Q62 D, BC का मध्य-बिंदु है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें AB = 7, AC = 11, BD = DC = 6, और माध्यिका AD को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-median-2.svg) advanced

Show answer

Answer: 7
Why:

अपोलोनियस: 7² + 11² = 2(x² + 6²), इसलिए 170 = 2x² + 72 और x = 7।

Q63 DE, BC के समांतर है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें DE ∥ BC, AD = 4, DB = 6, DE = 8, और BC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-sim-1.svg) intermediate

A 14
B 20
C 22
D 12

Show answer

Answer: 20
Why:

AD/AB = DE/BC: 4/10 = 8/x, इसलिए x = 8 × 10 ÷ 4 = 20।

Q64 DE, BC के समांतर है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें DE ∥ BC, AD = 3, DB = 5, DE = 9, और BC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-sim-2.svg) intermediate

A 14
B 26
C 24
D 15

Show answer

Answer: 24
Why:

AD/AB = DE/BC: 3/8 = 9/x, इसलिए x = 9 × 8 ÷ 3 = 24।

Q65 DE, BC के समांतर है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें DE ∥ BC, AD = 6, DB = 3, DE = 10, और BC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-sim-3.svg) advanced

A 13
B 17
C 5
D 15

Show answer

Answer: 15
Why:

AD/AB = DE/BC: 6/9 = 10/x, इसलिए x = 10 × 9 ÷ 6 = 15।

Q66 DE, BC के समांतर है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC जिसमें DE ∥ BC, AD = 3, DB = 4, AE = 6 और EC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-sim-4.svg) intermediate

A 8
B 4.5
C 7
D 9

Show answer

Answer: 8
Why:

AD/DB = AE/EC: 3/4 = 6/x, इसलिए x = 8।

Q67 दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 3 सेमी और 5 सेमी हैं। छोटे का क्षेत्रफल 27 वर्ग सेमी है। बड़े का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 45
B 75
C 102
D 125

Show answer

Answer: 75
Why:

क्षेत्रफल भुजाओं के वर्ग के अनुपात में: 27 × (5/3)² = 75।

Q68 दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 4 सेमी और 7 सेमी हैं। छोटे का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है। बड़े का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। advanced

A 195
B 257.25
C 147
D 84

Show answer

Answer: 147
Why:

क्षेत्रफल भुजाओं के वर्ग के अनुपात में: 48 × (7/4)² = 147।

Q69 दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 81 वर्ग सेमी और 49 वर्ग सेमी हैं। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात क्या है? intermediate

A 7 : 9
B 81 : 49
C 3 : 7
D 9 : 7

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Answer: 9 : 7
Why:

भुजाओं का अनुपात = √(81/49) = 9/7।

Q70 AD, ∠BAC को समद्विभाजित करती है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC, AD कोण A को समद्विभाजित करती है; AB = 6, AC = 9, BD = 4 और DC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-bis-1.svg) intermediate

A 6
B 8/3
C 7
D 8

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Answer: 6
Why:

BD/DC = AB/AC: 4/x = 6/9, इसलिए x = 4 × 9 ÷ 6 = 6।

Q71 AD, ∠BAC को समद्विभाजित करती है। x का मान ज्ञात करो। ![त्रिभुज ABC, AD कोण A को समद्विभाजित करती है; AB = 8, AC = 12, BD = 6 और DC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-bis-2.svg) advanced

A 4
B 9
C 10
D 11

Show answer

Answer: 9
Why:

BD/DC = AB/AC: 6/x = 8/12, इसलिए x = 6 × 12 ÷ 8 = 9।

Q72 एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 15 सेमी और 20 सेमी हैं। कर्ण पर डाले गए शीर्षलंब की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। advanced

A 10
B 17.5
C 12
D 25

Show answer

Answer: 12
Why:

कर्ण = 25। शीर्षलंब = (15 × 20) ÷ 25 = 12।

Q73 एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी और 24 सेमी हैं। इसके परिवृत्त की त्रिज्या (सेमी में) क्या है? intermediate

A 25
B 12
C 15.5
D 12.5

Show answer

Answer: 12.5
Why:

कर्ण 25 परिवृत्त का व्यास है, इसलिए R = 12.5।

Q74 एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 6√3 सेमी है। इसके परिवृत्त की त्रिज्या (सेमी में) क्या है? advanced

A 6
B 9
C 3√3
D 3

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Answer: 6
Why:

R = a/√3 = 6√3/√3 = 6। (अंतःत्रिज्या इसका आधा, 3 है।)

Q75 10 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई क्या है? intermediate

A 10√3 cm
B 5√3 cm
C 5 cm
D 5√2 cm

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Answer: 5√3 cm
Why:

h = (√3/2) × 10 = 5√3 सेमी।

Q76 त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ जिस बिंदु पर मिलती हैं, वह है beginner

A लंबकेंद्र
B परिकेंद्र
C केन्द्रक
D अंतःकेंद्र

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Answer: केन्द्रक
Why:

माध्यिकाएँ केन्द्रक पर मिलती हैं।

Q77 त्रिभुज के अंदर का वह बिंदु जो तीनों भुजाओं से बराबर दूरी पर है beginner

A केन्द्रक
B परिकेंद्र
C लंबकेंद्र
D अंतःकेंद्र

Show answer

Answer: अंतःकेंद्र
Why:

अंतःकेंद्र तीनों भुजाओं को छूने वाले वृत्त का केंद्र है।

Q78 समकोण त्रिभुज में लंबकेंद्र स्थित होता है intermediate

A समकोण वाले शीर्ष पर
B केन्द्रक पर
C कर्ण के मध्य-बिंदु पर
D त्रिभुज के बाहर

Show answer

Answer: समकोण वाले शीर्ष पर
Why:

दोनों भुजाएँ स्वयं शीर्षलंब हैं, और वे समकोण पर मिलती हैं।

Q79 त्रिभुज के बहिष्कोणों का योग (हर शीर्ष पर एक) क्या है? beginner

A 540°
B 360°
C 180°
D 270°

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Answer: 360°
Why:

हर बहिष्कोण + अंतःकोण = 180°, इसलिए तीनों बहिष्कोण = 540° − 180° = 360°।

Q80 किसी त्रिभुज में अधिक से अधिक कितने अधिक कोण हो सकते हैं? beginner

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Answer: 1
Why:

दो अधिक कोणों का योग ही 180° से ज़्यादा हो जाएगा।

Q81 त्रिभुज ABC में AB = 7, BC = 9, CA = 5। सबसे बड़ा कोण कौन-सा है? intermediate

A ∠B
B ∠C
C सभी बराबर
D ∠A

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Answer: ∠A
Why:

सबसे बड़ी भुजा BC = 9, ∠A के सामने है।

Q82 इनमें से कौन-सा पाइथागोरस त्रिक है? intermediate

A 9, 40, 41
B 12, 15, 20
C 8, 14, 17
D 6, 9, 11

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Answer: 9, 40, 41
Why:

9, 40, 41 सही है: 81 + 1600 = 1681 = 41²। बाक़ी जाँच में असफल हैं।

Q83 एक त्रिभुज की भुजाएँ 7, 8 और 12 हैं। यह किस प्रकार का त्रिभुज है? advanced

A त्रिभुज नहीं
B अधिककोण
C समकोण
D न्यूनकोण

Show answer

Answer: अधिककोण
Why:

7² + 8² = 113 < 12² = 144, इसलिए 12 के सामने का कोण अधिक कोण है।

Q84 अभिकथन (A): त्रिभुज का बहिष्कोण अपने हर अंतःसम्मुख कोण से सदा बड़ा होता है। कारण (R): बहिष्कोण दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। intermediate

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

Show answer

Answer: A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Why:

दोनों सत्य हैं, और हर अंतःकोण धनात्मक होने से योग हर भाग से बड़ा है। R, A की व्याख्या करता है।

Q85 अभिकथन (A): भुजाएँ 5, 12 और 13 समकोण त्रिभुज बनाती हैं। कारण (R): किसी भी त्रिभुज में दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा होता है। intermediate

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

Show answer

Answer: A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
Why:

A सत्य है क्योंकि 25 + 144 = 169। R भी सत्य है, पर असमिका समकोण नहीं दिखाती; पाइथागोरस दिखाता है।

Q86 कथनों पर विचार करो: 1. केन्द्रक सदा त्रिभुज के अंदर होता है। 2. लंबकेंद्र सदा त्रिभुज के अंदर होता है। advanced

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

Show answer

Answer: केवल 1
Why:

माध्यिकाएँ अंदर रहती हैं, इसलिए 1 सत्य है। अधिककोण त्रिभुज में लंबकेंद्र बाहर होता है, इसलिए 2 असत्य है।

Q87 इनमें से कौन-सा सत्य है? 1. समांतर रेखाओं के बीच सह-आंतरिक कोण बराबर होते हैं। 2. समांतर रेखाओं के बीच एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं। beginner

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

Show answer

Answer: केवल 2
Why:

सह-आंतरिक कोणों का योग 180° है; एकांतर अंतः कोण बराबर हैं।

Important short questions (4)

एक कोण अपने पूरक का 4 गुना है। कोण और उसका संपूरक ज्ञात करो।

x = 4(90 − x) से 5x = 360, x = 72°। इसका संपूरक 108° है।

त्रिभुज ABC में ∠A = 2∠B और ∠C = 3∠B। तीनों कोण ज्ञात करो।

2B + B + 3B = 180°, इसलिए B = 30°, A = 60°, C = 90°।

क्या 9, 12 और 15 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है? समझाओ।

81 + 144 = 225 = 15², इसलिए हाँ; समकोण 15 वाली भुजा के सामने है।

त्रिभुज ABC में ∠A = 64°। ∠B और ∠C के समद्विभाजक I पर मिलते हैं। ∠BIC ज्ञात करो।

∠B + ∠C = 116°, आधा 58°, इसलिए ∠BIC = 180° − 58° = 122° (= 90° + 32°)।

Long answer questions (1)

त्रिभुज ABC में DE ∥ BC, D भुजा AB पर और E भुजा AC पर। AD = 4 सेमी, DB = 6 सेमी और DE = 6 सेमी। (a) BC ज्ञात करो। (b) त्रिभुज ADE और त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करो। (c) त्रिभुज ADE और समलंब $DBCE$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करो।

(a) AD/AB = DE/BC से 4/10 = 6/BC, इसलिए BC = 15 सेमी।

(b) भुजा अनुपात 2 : 5, इसलिए क्षेत्रफल 4 : 25।

Flashcards (16)

28° का पूरक?

62°

28° का संपूरक?

152°

शीर्षाभिमुख कोण होते हैं…?

बराबर

सह-आंतरिक कोणों का योग?

180°

त्रिभुज का कोण योग?

180°

बहिष्कोण बराबर है?

दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के

त्रिभुज के बहिष्कोणों का योग?

360°

भुजाएँ 5 और 12 हों तो कर्ण?

क्या 2, 3, 6 से त्रिभुज बनेगा?

नहीं, 2 + 3 < 6

केन्द्रक माध्यिका को किस अनुपात में बाँटता है?

शीर्ष से 2 : 1

A = 80° हो तो ∠BIC (I अंतःकेंद्र)?

130°

A = 70° हो तो ∠BHC (H लंबकेंद्र)?

110°

समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र?

कर्ण का मध्य-बिंदु

समरूप त्रिभुज, भुजाएँ 2 : 5, क्षेत्रफल?

4 : 25

समबाहु त्रिभुज का हर कोण?

60°

कोण समद्विभाजक AD: BD/DC बराबर?

AB/AC

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कोणों के तथ्य

वृत्त

जीवा और त्रिज्या के नियम, केंद्र और परिधि पर बने कोण, चक्रीय चतुर्भुज, स्पर्श रेखाएँ, एकांतर वृत्तखंड प्रमेय, काटती जीवाएँ और दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ।

What you will be able to do

आप वृत्त के अंदर बने समकोण त्रिभुज से जीवा, त्रिज्या या केंद्र से दूरी निकाल सकेंगे।
आप केंद्र पर कोण, अर्धवृत्त में कोण और एक ही वृत्तखंड के कोणों का उपयोग कर सकेंगे।
आप चक्रीय चतुर्भुज के कोण वाले सवाल हल कर सकेंगे।
आप स्पर्श रेखाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण निकाल सकेंगे।
आप दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई निकाल सकेंगे।

Key points

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है, इसलिए r² = d² + (आधी जीवा)²।
बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं; व्यास सबसे लंबी जीवा है।
कोई चाप केंद्र पर जो कोण बनाता है, वह शेष वृत्त के किसी भी बिंदु पर बने कोण का दुगुना होता है।
अर्धवृत्त में कोण 90° होता है, और एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° है; उसका बहिष्कोण अंतःसम्मुख कोण के बराबर होता है।
स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है; बाहर के बिंदु से खींची दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
यदि स्पर्श रेखाएँ PA और PB, A और B पर छूती हैं, तो ∠APB + ∠AOB = 180°।
P पर काटती जीवाएँ: PA × PB = PC × PD। P से स्पर्श रेखा और छेदक: PT² = PA × PB।
अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = √(d² − (r₁ − r₂)²); अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = √(d² − (r₁ + r₂)²)।

Full explanation

आशा का गोल तालाब

चित्र: वृत्त

आशा के गाँव में एक गोल तालाब है जिस पर एक सीधा पुल बना है। पुल 24 मी लंबा है और उसका बीच का भाग केंद्र वाले खंभे से 5 मी दूर है। पंचायत तालाब पर बाड़ लगाना चाहती है और आशा से उसकी त्रिज्या पूछती है।

उसे जीवा के बारे में बस एक विचार चाहिए। यह टॉपिक वह विचार और वृत्त के बाक़ी नियम देता है।

वृत्त के भाग

त्रिज्या: केंद्र से वृत्त तक। व्यास = 2 × त्रिज्या, सबसे लंबी जीवा।
जीवा: वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड।
चाप: वृत्त का एक टुकड़ा। स्पर्श रेखा: एक बिंदु पर छूती है। छेदक: दो बिंदुओं पर काटती है।

केंद्र O वाला वृत्त जिसमें त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप, एक बिंदु पर छूती स्पर्श रेखा (समकोण चिह्न के साथ) और छेदक दिखाए गए हैं।

जीवा और केंद्र

केंद्र O से जीवा AB पर डाला गया लंब उसे मध्य-बिंदु M पर मिलता है। इसलिए त्रिभुज OMB समकोण है:

$$r^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$$

बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं, और केंद्र के पास वाली जीवा लंबी होती है।

केंद्र O और त्रिज्या 13 वाला वृत्त; जीवा AB, O से 5 की दूरी पर, लंब का पाद M, और MB = 12।

एक ही चाप पर कोण

चाप AB केंद्र पर $\angle AOB$ और शेष वृत्त के बिंदु C पर $\angle ACB$ बनाता है। सदा

$$\angle AOB = 2,\angle ACB$$

एक ही ओर के सभी बिंदु C, AB को एक ही कोण पर देखते हैं (एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर)।

नीचे जीवा AB वाला वृत्त; केंद्र पर कोण AOB = 100° और ऊपर के चाप पर C पर कोण ACB = 50°।

अर्धवृत्त में कोण

यदि AB व्यास है, तो $\angle AOB = 180°$, इसलिए वृत्त के किसी भी बिंदु C पर कोण $90°$ है।

उदाहरण: AB व्यास है और $\angle CAB = 35°$। तब $\angle ACB = 90°$ और $\angle CBA = 55°$।

चक्रीय चतुर्भुज

जब $ABCD$ के चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों, तो $\angle A + \angle C = 180°$ और $\angle B + \angle D = 180°$। यदि भुजा DC को E तक बढ़ाएँ, तो बहिष्कोण $\angle BCE = \angle A$।

वृत्त में चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ जिसके कोण A = 80°, B = 95°, C = 100°, D = 85° हैं।

स्पर्श रेखाएँ

स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है।
बाहर के बिंदु P से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं, और वे बराबर होती हैं।
स्पर्श रेखा की लंबाई: $PT = \sqrt{OP^2 - r^2}$।
स्पर्श रेखाओं PA और PB के लिए: $\angle APB + \angle AOB = 180°$।

केंद्र O और त्रिज्या 5 वाला वृत्त; P, O से 13 दूर है और स्पर्श रेखा PT = 12, T पर समकोण।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय

जिस बिंदु A पर स्पर्श रेखा छूती है, वहाँ जीवा AB खींचो। स्पर्श रेखा और AB के बीच का कोण, दूसरे वृत्तखंड के किसी बिंदु C पर AB द्वारा बने कोण ACB के बराबर होता है।

बिंदु की घात

P पर काटती दो जीवाएँ AB और CD: $PA \times PB = PC \times PD$।
बाहर के बिंदु से स्पर्श रेखा PT और छेदक PAB: $PT^2 = PA \times PB$।

उदाहरण: PA = 6, PB = 4, PC = 3 हो तो $PD = 24 \div 3 = 8$।

दो वृत्त

केंद्रों के बीच दूरी $d$, त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$:

अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $= \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}$
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $= \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$

स्थिति	उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ
दूर-दूर, $d > r_1 + r_2$	4
बाहर से छूते	3
काटते	2
अंदर से छूते	1
एक दूसरे के अंदर	0

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

जीवा वाले सवाल: एक सिरे तक त्रिज्या खींचो और त्रिक लगाओ।
केंद्र का कोण = 2 × परिधि का कोण; अर्धवृत्त = 90°।
चक्रीय चतुर्भुज: सम्मुख कोणों का योग 180°।
दो स्पर्श रेखाएँ: P पर कोण = 180° − O पर कोण।
बिंदु की घात: दोनों टुकड़ों के गुणनफल बराबर।

आशा का उत्तर

आधा पुल 12 मी है और दूरी 5 मी, इसलिए $r^2 = 5^2 + 12^2 = 169$ और $r = 13$ मी। बाड़ 13 मी त्रिज्या वाले वृत्त के चारों ओर लगेगी। वृत्त के अंदर एक समकोण त्रिभुज ने पूरा सवाल हल कर दिया।

वृत्त के नियमों का माइंड मैप: जीवाएँ, कोण, चक्रीय चतुर्भुज, स्पर्श रेखाएँ, बिंदु की घात और दो वृत्त।

Concepts and terms

जीवा और केंद्र

त्रिज्या, जीवा तक की दूरी और आधी जीवा एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसका कर्ण त्रिज्या है।

परिधि कोण

वह कोण जिसका शीर्ष वृत्त पर हो। यह उसी चाप पर केंद्रीय कोण का आधा होता है।

चक्रीय चतुर्भुज

वह चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों। इसके सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।

स्पर्श रेखा

वह रेखा जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है और वहाँ त्रिज्या पर लंब होती है।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय

स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, जीवा द्वारा दूसरे वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है।

Did you know

दो गियरों पर चढ़ी साइकिल की चेन दो वृत्तों की अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के साथ चलती है।

बढ़ई गोल मेज़ का केंद्र दो जीवाएँ और उनके लंब समद्विभाजक खींचकर ढूँढता है; वे केंद्र पर काटते हैं।

Memory tricks

केंद्र का कोण — केंद्र मालिक है, उसे दुगुना — एक ही चाप: केंद्र का कोण = 2 × परिधि का कोण।

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ — अनुस्पर्श में अंतर — अनुस्पर्श: r₁ − r₂। अनुप्रस्थ (बीच से काटती): r₁ + r₂।

Practice MCQs with answers (58)

Q1 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![केंद्र O वाला वृत्त; जीवा AB केंद्र पर ∠AOB = 110° और वृत्त पर C पर ∠ACB = x बनाती है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-insc-1.svg) beginner

A 110°
B 125°
C 35°
D 55°

Show answer

Answer: 55°
Why:

परिधि का कोण केंद्र के कोण का आधा: x = 110° ÷ 2 = 55°।

Q2 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![केंद्र O वाला वृत्त; जीवा AB केंद्र पर ∠AOB = 140° और वृत्त पर C पर ∠ACB = x बनाती है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-insc-2.svg) intermediate

A 70°
B 20°
C 140°
D 110°

Show answer

Answer: 70°
Why:

परिधि का कोण केंद्र के कोण का आधा: x = 140° ÷ 2 = 70°।

Q3 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![केंद्र O वाला वृत्त; वृत्त पर C पर ∠ACB = 40° और केंद्र पर ∠AOB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-insc-3.svg) beginner

A 40°
B 80°
C 100°
D 10°

Show answer

Answer: 80°
Why:

केंद्र का कोण परिधि कोण का दुगुना: x = 2 × 40° = 80°।

Q4 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![केंद्र O वाला वृत्त; वृत्त पर C पर ∠ACB = 64° और केंद्र पर ∠AOB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-insc-4.svg) intermediate

A 98°
B 64°
C 128°
D 52°

Show answer

Answer: 128°
Why:

केंद्र का कोण परिधि कोण का दुगुना: x = 2 × 64° = 128°।

Q5 एक चाप केंद्र पर 140° का कोण बनाता है। लघु चाप (स्वयं उसी चाप) पर स्थित बिंदु पर वह कितना कोण बनाएगा? advanced

A 140°
B 40°
C 70°
D 110°

Show answer

Answer: 110°
Why:

दीर्घ चाप पर कोण 70° है; लघु चाप का बिंदु उसका संपूरक देखता है, 180° − 70° = 110°।

Q6 O उस वृत्त का केंद्र है जो A, B, C से होकर जाता है, और C दीर्घ चाप पर है। यदि ∠OAB = 25°, तो ∠ACB ज्ञात करो। advanced

A 65°
B 50°
C 115°
D 130°

Show answer

Answer: 65°
Why:

OA = OB, इसलिए ∠OBA = 25° और ∠AOB = 180° − 50° = 130°। तब ∠ACB = 130° ÷ 2 = 65°।

Q7 O उस वृत्त का केंद्र है जो A, B, C से होकर जाता है, और C दीर्घ चाप पर है। यदि ∠OAB = 34°, तो ∠ACB ज्ञात करो। advanced

A 124°
B 56°
C 112°
D 68°

Show answer

Answer: 56°
Why:

OA = OB, इसलिए ∠OBA = 34° और ∠AOB = 180° − 68° = 112°। तब ∠ACB = 112° ÷ 2 = 56°।

Q8 AB, केंद्र O वाले वृत्त का व्यास है। x का मान ज्ञात करो। ![व्यास AB और केंद्र O वाला वृत्त; C वृत्त पर है, ∠CAB = 35° और B पर कोण को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-semi-1.svg) beginner

A 35°
B 145°
C 55°
D 70°

Show answer

Answer: 55°
Why:

∠ACB = 90° (अर्धवृत्त में कोण), इसलिए x = 90° − 35° = 55°।

Q9 AB, केंद्र O वाले वृत्त का व्यास है। x का मान ज्ञात करो। ![व्यास AB और केंद्र O वाला वृत्त; C वृत्त पर है, ∠CAB = 28° और B पर कोण को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-semi-2.svg) intermediate

A 152°
B 56°
C 28°
D 62°

Show answer

Answer: 62°
Why:

∠ACB = 90° (अर्धवृत्त में कोण), इसलिए x = 90° − 28° = 62°।

Q10 AB, केंद्र O वाले वृत्त का व्यास है। x का मान ज्ञात करो। ![व्यास AB और केंद्र O वाला वृत्त; C वृत्त पर है, ∠CAB = 52° और C पर कोण को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-semi-3.svg) beginner

A 90°
B 52°
C 128°
D 104°

Show answer

Answer: 90°
Why:

AB व्यास है, इसलिए C पर कोण अर्धवृत्त में कोण है: 90°।

Q11 A, B, C और D एक वृत्त पर हैं, और C, D जीवा AB के एक ही ओर हैं। यदि ∠ACB = 48°, तो ∠ADB क्या है? beginner

A 132°
B 48°
C 24°
D 96°

Show answer

Answer: 48°
Why:

एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ADB = 48°।

Q12 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![वृत्त में चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$, ∠A = 85° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cyc-1.svg) beginner

A 75°
B 85°
C 95°
D 265°

Show answer

Answer: 95°
Why:

चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180°: x = 180° − 85° = 95°।

Q13 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![वृत्त में चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$, ∠A = 72° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cyc-2.svg) beginner

A 72°
B 252°
C 88°
D 108°

Show answer

Answer: 108°
Why:

चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180°: x = 180° − 72° = 108°।

Q14 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$, ∠A = 78°, ∠B = 104° और ∠D को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cyc-3.svg) intermediate

A 76°
B 104°
C 206°
D 152°

Show answer

Answer: 76°
Why:

∠D, ∠B के सामने है, इसलिए x = 180° − 104° = 76°। (∠A की ज़रूरत नहीं।)

Q15 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$, ∠A = 96°; भुजा DC को E तक बढ़ाया गया है और बहिष्कोण BCE को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cyc-4.svg) intermediate

A 168°
B 96°
C 76°
D 84°

Show answer

Answer: 96°
Why:

चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण अंतःसम्मुख कोण के बराबर: x = ∠A = 96°।

Q16 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$, ∠A = 68°; भुजा DC को E तक बढ़ाया गया है और बहिष्कोण BCE को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cyc-5.svg) advanced

A 136°
B 112°
C 68°
D 224°

Show answer

Answer: 68°
Why:

चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण अंतःसम्मुख कोण के बराबर: x = ∠A = 68°।

Q17 चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में ∠A = (2x + 10)° और ∠C = (3x + 20)°। x ज्ञात करो। intermediate

A 66
B 36
C 26
D 30

Show answer

Answer: 30
Why:

∠A + ∠C = 180°: 5x + 30 = 180, इसलिए x = 30।

Q18 चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में ∠A = (4x − 6)° और ∠C = (3x + 4)°। x ज्ञात करो। intermediate

A 26
B 32
C 22
D 10

Show answer

Answer: 26
Why:

∠A + ∠C = 180°: 7x − 2 = 180, इसलिए x = 26।

Q19 O केंद्र है और OM ⟂ AB। लंबाई AB = x ज्ञात करो। ![केंद्र O और त्रिज्या OB = 13 वाला वृत्त; OM ⟂ AB, OM = 5; जीवा AB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-chord-1.svg) beginner

A 12
B 24
C 26
D 16

Show answer

Answer: 24
Why:

आधी जीवा = √(13² − 5²) = √144 = 12, इसलिए जीवा = 24।

Q20 O केंद्र है और OM ⟂ AB। लंबाई AB = x ज्ञात करो। ![केंद्र O और त्रिज्या OB = 10 वाला वृत्त; OM ⟂ AB, OM = 6; जीवा AB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-chord-2.svg) intermediate

A 14
B 8
C 16
D 18

Show answer

Answer: 16
Why:

आधी जीवा = √(10² − 6²) = √64 = 8, इसलिए जीवा = 16।

Q21 25 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में केंद्र से 7 सेमी दूरी पर एक जीवा है। जीवा की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 50
B 36
C 24
D 48

Show answer

Answer: 48
Why:

आधी जीवा = √(25² − 7²) = √576 = 24, इसलिए जीवा = 48।

Q22 17 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में केंद्र से 8 सेमी दूरी पर एक जीवा है। जीवा की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 30
B 15
C 32
D 18

Show answer

Answer: 30
Why:

आधी जीवा = √(17² − 8²) = √225 = 15, इसलिए जीवा = 30।

Q23 O केंद्र है, त्रिज्या 10 है और जीवा AB = 16। केंद्र से जीवा की दूरी OM = x ज्ञात करो। ![केंद्र O और त्रिज्या 10 वाला वृत्त; 16 लंबाई की जीवा AB, OM ⟂ AB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-chord-3.svg) intermediate

Show answer

Answer: 6
Why:

x = √(10² − 8²) = √36 = 6। आधी जीवा 8 लो।

Q24 O केंद्र है, त्रिज्या 17 है और जीवा AB = 30। केंद्र से जीवा की दूरी OM = x ज्ञात करो। ![केंद्र O और त्रिज्या 17 वाला वृत्त; 30 लंबाई की जीवा AB, OM ⟂ AB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-chord-4.svg) advanced

A 10
B 2
C 8
D 11

Show answer

Answer: 8
Why:

x = √(17² − 15²) = √64 = 8। आधी जीवा 15 लो।

Q25 एक वृत्त में 30 सेमी लंबी जीवा केंद्र से 8 सेमी दूर है। त्रिज्या (सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 23
B 15
C 31
D 17

Show answer

Answer: 17
Why:

r = √(15² + 8²) = √289 = 17।

Q26 13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की दो समांतर जीवाएँ 10 सेमी और 24 सेमी लंबी हैं और केंद्र के विपरीत ओर हैं। उनके बीच की दूरी (सेमी में) कितनी है? advanced

A 17
B 12
C 14
D 7

Show answer

Answer: 17
Why:

O से दूरियाँ: √(169 − 25) = 12 और √(169 − 144) = 5। विपरीत ओर, इसलिए 12 + 5 = 17।

Q27 PT, केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है। PT = x ज्ञात करो। ![केंद्र O और त्रिज्या OT = 5 वाला वृत्त; P, O से 13 दूर है और स्पर्श रेखा PT को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-tan-1.svg) beginner

A 13
B 12
C 8
D 18

Show answer

Answer: 12
Why:

∠OTP = 90°, इसलिए x = √(13² − 5²) = √144 = 12।

Q28 PT, केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है। PT = x ज्ञात करो। ![केंद्र O और त्रिज्या OT = 8 वाला वृत्त; P, O से 17 दूर है और स्पर्श रेखा PT को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-tan-2.svg) intermediate

A 9
B 25
C 15
D 16

Show answer

Answer: 15
Why:

∠OTP = 90°, इसलिए x = √(17² − 8²) = √225 = 15।

Q29 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 25 सेमी दूर स्थित बिंदु से एक स्पर्श रेखा खींची गई। उसकी लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। beginner

A 26
B 18
C 32
D 24

Show answer

Answer: 24
Why:

√(25² − 7²) = √576 = 24।

Q30 बिंदु P से वृत्त की स्पर्श रेखा 24 सेमी है और P केंद्र से 26 सेमी दूर है। त्रिज्या (सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 10
B 50
C 2
D 12

Show answer

Answer: 10
Why:

r = √(26² − 24²) = √100 = 10।

Q31 PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। x का मान ज्ञात करो। ![P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB, केंद्र O वाले वृत्त को A और B पर छूती हैं; ∠AOB = 120° और ∠APB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-twotan-1.svg) intermediate

A 210°
B 60°
C 70°
D 120°

Show answer

Answer: 60°
Why:

OA ⟂ PA और OB ⟂ PB, इसलिए $OAPB$ में ∠P + ∠O = 360° − 180° = 180°। x = 60°।

Q32 PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। x का मान ज्ञात करो। ![P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB, केंद्र O वाले वृत्त को A और B पर छूती हैं; ∠AOB = 110° और ∠APB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-twotan-2.svg) beginner

A 110°
B 55°
C 70°
D 200°

Show answer

Answer: 70°
Why:

OA ⟂ PA और OB ⟂ PB, इसलिए $OAPB$ में ∠P + ∠O = 360° − 180° = 180°। x = 70°।

Q33 PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। x का मान ज्ञात करो। ![P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB, केंद्र O वाले वृत्त को A और B पर छूती हैं; ∠APB = 50° और ∠AOB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-twotan-3.svg) intermediate

A 50°
B 25°
C 140°
D 130°

Show answer

Answer: 130°
Why:

OA ⟂ PA और OB ⟂ PB, इसलिए $OAPB$ में ∠P + ∠O = 360° − 180° = 180°। x = 130°।

Q34 बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं, और ∠APB = 50°। ∠PAB ज्ञात करो। advanced

A 65°
B 130°
C 25°
D 50°

Show answer

Answer: 65°
Why:

PA = PB, इसलिए त्रिभुज PAB समद्विबाहु है: ∠PAB = (180° − 50°) ÷ 2 = 65°।

Q35 AT, वृत्त की A पर स्पर्श रेखा है। x का मान ज्ञात करो। ![A पर स्पर्श रेखा AT और जीवा AB वाला वृत्त; C दीर्घ चाप पर है। ∠BAT = 55° और ∠ACB को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-alt-1.svg) intermediate

A 125°
B 55°
C 110°
D 35°

Show answer

Answer: 55°
Why:

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय: स्पर्श रेखा और जीवा का कोण दूसरे वृत्तखंड के कोण के बराबर है, इसलिए x = 55°।

Q36 AT, वृत्त की A पर स्पर्श रेखा है। x का मान ज्ञात करो। ![A पर स्पर्श रेखा AT और जीवा AB वाला वृत्त; C दीर्घ चाप पर है। ∠ACB = 48° और ∠BAT को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-alt-2.svg) advanced

A 132°
B 96°
C 48°
D 42°

Show answer

Answer: 48°
Why:

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय: स्पर्श रेखा और जीवा का कोण दूसरे वृत्तखंड के कोण के बराबर है, इसलिए x = 48°।

Q37 वृत्तों के केंद्र A और B हैं। दिखाई गई अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई x ज्ञात करो। ![त्रिज्या 8 और 3 वाले दो वृत्त जिनके केंद्रों में 13 दूरी है, और अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-ct-1.svg) intermediate

A 8
B 13
C 14
D 12

Show answer

Answer: 12
Why:

अनुस्पर्श स्पर्श रेखा = √(d² − (r₁ − r₂)²) = √(169 − 25) = 12।

Q38 वृत्तों के केंद्र A और B हैं। दिखाई गई अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई x ज्ञात करो। ![त्रिज्या 5 और 3 वाले दो वृत्त जिनके केंद्रों में 17 दूरी है, और अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-ct-2.svg) advanced

A 15
B 18
C 17
D 9

Show answer

Answer: 15
Why:

अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा = √(d² − (r₁ + r₂)²) = √(289 − 64) = 15।

Q39 10 सेमी और 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्रों के बीच 25 सेमी दूरी है। अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। advanced

A 25
B 24
C 26
D 18

Show answer

Answer: 24
Why:

अनुस्पर्श स्पर्श रेखा = √(d² − (r₁ − r₂)²) = √(625 − 49) = 24।

Q40 6 सेमी और 2 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्रों के बीच 10 सेमी दूरी है। अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। advanced

A 10
B 8
C 6
D 2

Show answer

Answer: 6
Why:

अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा = √(d² − (r₁ + r₂)²) = √(100 − 64) = 6।

Q41 दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं और केंद्रों के बीच 10 सेमी दूरी है। कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं? intermediate

Show answer

Answer: 4
Why:

d > r₁ + r₂, वृत्त अलग-अलग हैं, इसलिए 4।

Q42 दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 6 सेमी और 4 सेमी हैं और केंद्रों के बीच 10 सेमी दूरी है। कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं? intermediate

Show answer

Answer: 3
Why:

d = r₁ + r₂, वे बाहर से छूते हैं, इसलिए 3।

Q43 दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 7 सेमी और 5 सेमी हैं और केंद्रों के बीच 6 सेमी दूरी है। कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं? advanced

Show answer

Answer: 2
Why:

|r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂, वे काटते हैं, इसलिए 2।

Q44 दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 9 सेमी और 4 सेमी हैं और केंद्रों के बीच 5 सेमी दूरी है। कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं? advanced

Show answer

Answer: 1
Why:

d = r₁ − r₂, वे अंदर से छूते हैं, इसलिए 1।

Q45 वृत्त की जीवाएँ AB और CD, P पर काटती हैं। PD = x ज्ञात करो। ![वृत्त के अंदर P पर काटती दो जीवाएँ AB और CD, PA = 6, PB = 4, PC = 3 और PD को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cross-ch-1.svg) intermediate

A 4.5
B 7
C 9
D 8

Show answer

Answer: 8
Why:

PA × PB = PC × PD: 6 × 4 = 3 × x, इसलिए x = 8।

Q46 वृत्त की जीवाएँ AB और CD, P पर काटती हैं। PD = x ज्ञात करो। ![वृत्त के अंदर P पर काटती दो जीवाएँ AB और CD, PA = 8, PB = 3, PC = 6 और PD को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-cross-ch-2.svg) beginner

A 4
B 16
C 5
D 2.25

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Answer: 4
Why:

PA × PB = PC × PD: 8 × 3 = 6 × x, इसलिए x = 4।

Q47 वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD, P पर काटती हैं। यदि PA = 5 सेमी, PB = 12 सेमी और PC = 6 सेमी, तो PD (सेमी में) ज्ञात करो। intermediate

A 2.5
B 10
C 11
D 14.4

Show answer

Answer: 10
Why:

PA × PB = PC × PD: 5 × 12 = 6 × x, इसलिए x = 10।

Q48 PT वृत्त की स्पर्श रेखा और PAB छेदक है। PT = x ज्ञात करो। ![वृत्त के बाहर बिंदु P से स्पर्श रेखा PT और छेदक PAB, PA = 4 और AB = 5; PT को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-sec-1.svg) advanced

A 6.5
B 5
C 6
D 8

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Answer: 6
Why:

PT² = PA × PB = 4 × 9 = 36, इसलिए x = 6।

Q49 वृत्त के बाहर बिंदु P से एक छेदक वृत्त को A और B पर मिलता है, PA = 4 सेमी और AB = 12 सेमी। P से स्पर्श रेखा की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। advanced

A 6.93
B 10
C 12
D 8

Show answer

Answer: 8
Why:

PT² = PA × PB = 4 × 16 = 64, इसलिए x = 8।

Q50 वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब beginner

A जीवा को समद्विभाजित करता है
B त्रिज्या के बराबर होता है
C स्पर्श रेखा होता है
D जीवा को तीन भागों में बाँटता है

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Answer: जीवा को समद्विभाजित करता है
Why:

OA = OB, इसलिए लंब का पाद मध्य-बिंदु है।

Q51 वृत्त पर स्थित बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं? beginner

A 2
B 1
C अनगिनत
D 0

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Answer: 1
Why:

ठीक 1: उस बिंदु पर त्रिज्या के लंब वाली रेखा।

Q52 एक समांतर चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक वृत्त पर हैं। वह अवश्य होगा advanced

A समलंब जो समांतर चतुर्भुज नहीं
B पतंग
C आयत
D समचतुर्भुज जो वर्ग नहीं

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Answer: आयत
Why:

सम्मुख कोण बराबर (समांतर चतुर्भुज) और योग 180° (चक्रीय), इसलिए हर कोण 90°।

Q53 वृत्त की दो बराबर जीवाओं के बारे में कौन-सा कथन सदा सत्य है? intermediate

A वे केंद्र पर काटती हैं
B वे व्यास हैं
C वे समांतर हैं
D वे केंद्र से बराबर दूरी पर हैं

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Answer: वे केंद्र से बराबर दूरी पर हैं
Why:

एक ही त्रिज्या और एक ही आधी जीवा से एक ही दूरी।

Q54 स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण है beginner

A 90°
B 45°
C 180°
D 60°

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Answer: 90°
Why:

स्पर्श रेखा वहाँ सदा त्रिज्या पर लंब होती है, इसलिए कोण 90° है।

Q55 अभिकथन (A): अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। कारण (R): केंद्र का कोण परिधि कोण का दुगुना होता है, और व्यास केंद्र पर 180° बनाता है। intermediate

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

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Answer: A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Why:

दोनों सत्य; 180° का आधा 90° है, इसलिए R, A की व्याख्या करता है।

Q56 अभिकथन (A): हर समचतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज होता है। कारण (R): समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। advanced

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

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Answer: A असत्य है पर R सत्य है
Why:

A असत्य है: 60° और 120° कोणों वाले समचतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 120° या 240° है, 180° नहीं। R सत्य है।

Q57 कथनों पर विचार करो: 1. बाहर के बिंदु से वृत्त पर खींची स्पर्श रेखाएँ बराबर लंबी होती हैं। 2. दो वृत्तों की अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा, अनुस्पर्श से लंबी होती है। intermediate

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

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Answer: केवल 1
Why:

1 सत्य है। 2 में अनुप्रस्थ में बड़ा (r₁ + r₂)² घटता है, इसलिए वह छोटी होती है।

Q58 इनमें से कौन-सा सत्य है? 1. केंद्र के पास वाली जीवा छोटी होती है। 2. चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण अंतःसम्मुख कोण के बराबर होता है। beginner

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

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Answer: केवल 2
Why:

केंद्र के पास वाली जीवा लंबी होती है, इसलिए 1 असत्य है। 2 सत्य है।

Important short questions (4)

16 सेमी लंबी जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है। त्रिज्या और व्यास ज्ञात करो।

r = √(8² + 6²) = 10 सेमी, इसलिए व्यास 20 सेमी है।

$ABCD$ चक्रीय है और ∠A = 3∠C। ∠A और ∠C ज्ञात करो।

A + C = 180° और A = 3C, इसलिए 4C = 180°, C = 45°, A = 135°।

P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB, ∠APB = 70° बनाती हैं। ∠AOB और ∠OAB ज्ञात करो, जहाँ O केंद्र है।

∠AOB = 180° − 70° = 110°। OA = OB, इसलिए ∠OAB = (180° − 110°) ÷ 2 = 35°।

9 सेमी और 4 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त बाहर से छूते हैं। उनकी अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करो।

d = 9 + 4 = 13, इसलिए स्पर्श रेखा = √(169 − 25) = 12 सेमी। (शॉर्टकट: 2√(r₁r₂) = 2 × 6 = 12।)

Long answer questions (1)

केंद्र O और 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में दो समांतर जीवाएँ AB = 16 सेमी और CD = 12 सेमी हैं। (a) हर जीवा की O से दूरी ज्ञात करो। (b) यदि वे O के एक ही ओर हों तो उनके बीच की दूरी ज्ञात करो। (c) यदि वे विपरीत ओर हों तो दूरी ज्ञात करो।

(a) AB: √(100 − 64) = 6 सेमी। CD: √(100 − 36) = 8 सेमी।

(b) एक ही ओर: 8 − 6 = 2 सेमी।

Flashcards (15)

वृत्त की सबसे लंबी जीवा?

व्यास

r = 10, जीवा तक दूरी 6। जीवा?

अर्धवृत्त में कोण?

90°

परिधि कोण 42° हो तो केंद्र पर कोण?

84°

चक्रीय चतुर्भुज: ∠B = 110°, ∠D = ?

70°

स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कोण?

90°

P से स्पर्श रेखाएँ, ∠AOB = 130°। ∠APB?

50°

OP = 25, r = 7। स्पर्श रेखा की लंबाई?

वृत्त के अंदर के बिंदु से स्पर्श रेखाएँ?

कोई नहीं

जीवाएँ काटती हैं: PA·PB बराबर?

PC·PD

छेदक PAB और स्पर्श रेखा PT: PT² = ?

PA × PB

बाहर से छूते दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ?

अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का सूत्र?

√(d² − (r₁ − r₂)²)

चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण बराबर?

अंतःसम्मुख कोण

बराबर जीवाएँ…

केंद्र से बराबर दूरी पर

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वृत्त के तथ्य

चतुर्भुज और बहुभुज

बहुभुजों का कोण योग, सम बहुभुजों के अंतःकोण और बहिष्कोण, विकर्णों की संख्या, और समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग तथा समलंब के गुण।

What you will be able to do

आप किसी भी बहुभुज का कोण योग और उसमें छूटा कोण निकाल सकेंगे।
आप सम बहुभुज का हर अंतःकोण और बहिष्कोण, और कोण से भुजाओं की संख्या निकाल सकेंगे।
आप किसी बहुभुज के विकर्ण गिन सकेंगे।
आप विशेष चतुर्भुजों के कोण और विकर्ण वाले गुणों का उपयोग कर सकेंगे।

Key points

n भुजाओं वाले बहुभुज के अंतःकोणों का योग (n − 2) × 180° होता है।
किसी भी उत्तल बहुभुज के बहिष्कोणों का योग 360° होता है।
सम बहुभुज का हर बहिष्कोण 360°/n और हर अंतःकोण 180° − 360°/n होता है।
n भुजाओं वाले बहुभुज में n(n − 3)/2 विकर्ण होते हैं।
समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर, आसन्न कोणों का योग 180° होता है, और विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
आयत के विकर्ण बराबर होते हैं; समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं; वर्ग में दोनों गुण होते हैं।
समचतुर्भुज की भुजा = √((d₁/2)² + (d₂/2)²); आयत का विकर्ण = √(l² + b²); वर्ग का विकर्ण = a√2।
समलंब में हर तिरछी भुजा पर बने दो कोणों का योग 180° होता है, और मध्य रेखाखंड समांतर भुजाओं के योग का आधा होता है।

Full explanation

षट्भुज की पहेली

चित्र: चतुर्भुज और बहुभुज

मीरा फ़र्श की टाइलें डिज़ाइन करती है। उसका ग्राहक ऐसी सम बहुभुज टाइल चाहता है जिसका हर कोण 150° हो। टाइल की कितनी भुजाएँ होंगी, और क्या वह अकेली फ़र्श ढक पाएगी?

दो सूत्र इसका उत्तर सेकंडों में देते हैं: बहुभुज का कोण योग और बहिष्कोण।

बहुभुज का कोण योग

एक कोने से सारे विकर्ण खींचो। n भुजाओं वाला बहुभुज $n - 2$ त्रिभुजों में बँट जाता है, इसलिए

$$\text{अंतःकोणों का योग} = (n - 2) \times 180°$$

चतुर्भुज: 360°। पंचभुज: 540°। षट्भुज: 720°।

बहिष्कोण

किसी भी उत्तल बहुभुज के बहिष्कोणों का योग 360° होता है। सम बहुभुज में वे बराबर होते हैं, इसलिए

$$\text{हर बहिष्कोण} = \frac{360°}{n}, \quad \text{हर अंतःकोण} = 180° - \frac{360°}{n}$$

बराबर भुजाओं वाला सम षट्भुज; एक भुजा बढ़ाई गई है और 60° का बहिष्कोण दिखाया गया है।

उल्टा चलना

हर अंतःकोण दिया हो तो पहले बहिष्कोण निकालो, फिर $n = \frac{360°}{\text{बहिष्कोण}}$।

उदाहरण: अंतःकोण 156° हो तो बहिष्कोण 24°, इसलिए $n = 360 \div 24 = 15$ भुजाएँ।

3, 4, 5, 6, 8, 10 और 12 भुजाओं वाले सम बहुभुजों की तालिका: कोण योग, हर बहिष्कोण, हर अंतःकोण और विकर्णों की संख्या।

विकर्ण गिनना

$n$ कोनों में से हर एक $n - 3$ अन्य कोनों से जुड़ता है (स्वयं और दो पड़ोसियों को छोड़कर)। हर विकर्ण दो बार गिना जाता है:

$$\text{विकर्ण} = \frac{n(n - 3)}{2}$$

दशभुज में $10 \times 7 \div 2 = 35$ विकर्ण होते हैं।

चतुर्भुजों का परिवार

हर विशेष चतुर्भुज अपने ऊपर वाले के सारे गुण रखता है और एक नया गुण जोड़ता है।

छह कार्ड: समलंब, समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग और पतंग, हर एक का मुख्य गुण।

समांतर चतुर्भुज और आयत

सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर; सम्मुख कोण बराबर।
आसन्न कोणों का योग 180°: यदि $\angle A = 70°$ तो $\angle B = 110°$।
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। आयत में वे बराबर भी होते हैं: $d = \sqrt{l^2 + b^2}$।

समचतुर्भुज और वर्ग

समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को 90° पर आधा करते हैं, इसलिए हर भुजा एक छोटे समकोण त्रिभुज का कर्ण है:

$$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$$

$a$ भुजा वाले वर्ग का विकर्ण $a\sqrt{2}$ है।

समचतुर्भुज $ABCD$ जिसके विकर्ण 16 और 12, O पर समकोण पर काटते हैं; हर भुजा 10 है।

समलंब

भुजाओं का एक जोड़ा समांतर होता है। हर तिरछी भुजा पर बने दो कोण सह-आंतरिक हैं, इसलिए उनका योग 180° है। तिरछी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड आधारों के समांतर होता है और $\frac{a + b}{2}$ के बराबर होता है।

समलंब $ABCD$ जिसमें AB = 14 और DC = 8 समांतर हैं, कोण A = 65° और कोण D = 115°, और 11 लंबाई का मध्य रेखाखंड बिंदुदार बना है।

मीरा की टाइल

हर कोण 150° का अर्थ है हर बहिष्कोण 30°, इसलिए टाइल की $360 \div 30 = 12$ भुजाएँ हैं। पर 150° से 360° पूरा नहीं बँटता, इसलिए अकेले 12-भुज बीच में जगह छोड़ते हैं। मीरा यह जगह छोटे समबाहु त्रिभुजों से भरती है: हर कोने पर दो 12-भुज और एक त्रिभुज मिलते हैं, क्योंकि 150° + 150° + 60° = 360°।

बहुभुजों का माइंड मैप: कोण योग, बहिष्कोण, विकर्ण, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब।

Concepts and terms

बहुभुज का कोण योग

एक शीर्ष से विकर्ण n-भुज को n − 2 त्रिभुजों में बाँटते हैं, हर एक 180° का।

सम बहुभुज का बहिष्कोण

किसी भी बहुभुज के चारों ओर एक बार घूमने पर 360° मुड़ते हो, जो बराबर बँटता है: 360°/n।

विकर्ण

हर शीर्ष विकर्णों से n − 3 अन्य शीर्षों से जुड़ता है; हर विकर्ण दो बार गिना जाता है, इसलिए n(n − 3)/2।

विशेष चतुर्भुज

हर वर्ग आयत भी है और समचतुर्भुज भी, और हर आयत या समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है। नीचे के हर कदम पर एक गुण जुड़ता है।

Did you know

मधुमक्खियाँ सम षट्भुज बनाती हैं क्योंकि तीन षट्भुज (3 × 120° = 360°) एक बिंदु के चारों ओर बिना जगह छोड़े बैठते हैं, और मोम सबसे कम लगता है।

Memory tricks

पहले बहिष्कोण — 360 बाँटो, फिर 180 घटाओ — हर बहिष्कोण 360/n निकालो, फिर अंतःकोण = 180 − बहिष्कोण। कोण योग से तेज़।

विकर्ण — n गुणा (n − 3), आधा — अष्टभुज: 8 × 5 ÷ 2 = 20 विकर्ण।

Practice MCQs with answers (56)

Q1 सप्तभुज के अंतःकोणों का योग क्या है? beginner

A 1080°
B 720°
C 1260°
D 900°

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Answer: 900°
Why:

(7 − 2) × 180° = 900°।

Q2 नवभुज के अंतःकोणों का योग क्या है? beginner

A 1260°
B 1620°
C 1440°
D 1080°

Show answer

Answer: 1260°
Why:

(9 − 2) × 180° = 1260°।

Q3 12 भुजाओं वाले बहुभुज के अंतःकोणों का योग क्या है? intermediate

A 2160°
B 1800°
C 1980°
D 1620°

Show answer

Answer: 1800°
Why:

(12 − 2) × 180° = 1800°।

Q4 सम अष्टभुज का हर अंतःकोण क्या है? beginner

A 144°
B 45°
C 135°
D 145°

Show answer

Answer: 135°
Why:

हर बहिष्कोण = 360° ÷ 8 = 45°, इसलिए हर अंतःकोण = 180° − 45° = 135°।

Q5 15 भुजाओं वाले सम बहुभुज का हर अंतःकोण क्या है? intermediate

A 141°
B 24°
C 166°
D 156°

Show answer

Answer: 156°
Why:

हर बहिष्कोण = 360° ÷ 15 = 24°, इसलिए हर अंतःकोण = 180° − 24° = 156°।

Q6 चित्र एक सम षट्भुज है। अंतःकोण x ज्ञात करो। ![6 बराबर भुजाओं वाला सम बहुभुज; एक अंतःकोण को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-reg-1.svg) beginner

A 120°
B 135°
C 60°
D 130°

Show answer

Answer: 120°
Why:

हर बहिष्कोण = 360° ÷ 6 = 60°, इसलिए हर अंतःकोण = 180° − 60° = 120°।

Q7 चित्र एक सम दशभुज है। अंतःकोण x ज्ञात करो। ![10 बराबर भुजाओं वाला सम बहुभुज; एक अंतःकोण को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-reg-2.svg) intermediate

A 154°
B 144°
C 150°
D 36°

Show answer

Answer: 144°
Why:

हर बहिष्कोण = 360° ÷ 10 = 36°, इसलिए हर अंतःकोण = 180° − 36° = 144°।

Q8 सम नवभुज का हर बहिष्कोण क्या है? beginner

A 140°
B 20°
C 40°
D 60°

Show answer

Answer: 40°
Why:

बहिष्कोणों का योग 360°, इसलिए हर एक = 360° ÷ 9 = 40°।

Q9 20 भुजाओं वाले सम बहुभुज का हर बहिष्कोण क्या है? beginner

A 162°
B 9°
C 27°
D 18°

Show answer

Answer: 18°
Why:

बहिष्कोणों का योग 360°, इसलिए हर एक = 360° ÷ 20 = 18°।

Q10 चित्र एक सम अष्टभुज है जिसकी एक भुजा बढ़ाई गई है। बहिष्कोण x ज्ञात करो। ![8 बराबर भुजाओं वाला सम बहुभुज; एक भुजा बढ़ाई गई है और बहिष्कोण को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-reg-3.svg) beginner

A 45°
B 67.5°
C 135°
D 22.5°

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Answer: 45°
Why:

बहिष्कोणों का योग 360°, इसलिए हर एक = 360° ÷ 8 = 45°।

Q11 चित्र एक सम पंचभुज है जिसकी एक भुजा बढ़ाई गई है। बहिष्कोण x ज्ञात करो। ![5 बराबर भुजाओं वाला सम बहुभुज; एक भुजा बढ़ाई गई है और बहिष्कोण को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-reg-4.svg) beginner

A 82°
B 72°
C 108°
D 36°

Show answer

Answer: 72°
Why:

बहिष्कोणों का योग 360°, इसलिए हर एक = 360° ÷ 5 = 72°।

Q12 एक सम बहुभुज का हर बहिष्कोण 24° है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? intermediate

A 14
B 17
C 15
D 16

Show answer

Answer: 15
Why:

n = 360° ÷ 24° = 15।

Q13 एक सम बहुभुज का हर बहिष्कोण 36° है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? beginner

A 12
B 11
C 9
D 10

Show answer

Answer: 10
Why:

n = 360° ÷ 36° = 10।

Q14 एक सम बहुभुज का हर अंतःकोण 140° है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? intermediate

A 9
B 10
C 8
D 11

Show answer

Answer: 9
Why:

बहिष्कोण = 180° − 140° = 40°, इसलिए n = 360 ÷ 40 = 9।

Q15 एक सम बहुभुज का हर अंतःकोण 165° है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? advanced

A 25
B 24
C 23
D 26

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Answer: 24
Why:

बहिष्कोण = 180° − 165° = 15°, इसलिए n = 360 ÷ 15 = 24।

Q16 एक सम बहुभुज में हर अंतःकोण हर बहिष्कोण का 3 गुना है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? advanced

A 10
B 6
C 8
D 12

Show answer

Answer: 8
Why:

अंतः + बहिः = 180° और अंतः = 3 × बहिः, इसलिए बहिष्कोण = 180° ÷ 4 = 45° और n = 360 ÷ 45 = 8।

Q17 एक सम बहुभुज में हर अंतःकोण हर बहिष्कोण का 5 गुना है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? advanced

A 16
B 14
C 10
D 12

Show answer

Answer: 12
Why:

अंतः + बहिः = 180° और अंतः = 5 × बहिः, इसलिए बहिष्कोण = 180° ÷ 6 = 30° और n = 360 ÷ 30 = 12।

Q18 अष्टभुज के कितने विकर्ण होते हैं? beginner

A 20
B 40
C 18
D 28

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Answer: 20
Why:

8(8 − 3) ÷ 2 = 8 × 5 ÷ 2 = 20।

Q19 12 भुजाओं वाले बहुभुज के कितने विकर्ण होते हैं? intermediate

A 66
B 54
C 108
D 52

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Answer: 54
Why:

12(12 − 3) ÷ 2 = 12 × 9 ÷ 2 = 54।

Q20 15 भुजाओं वाले बहुभुज के कितने विकर्ण होते हैं? intermediate

A 180
B 88
C 90
D 105

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Answer: 90
Why:

15(15 − 3) ÷ 2 = 15 × 12 ÷ 2 = 90।

Q21 एक बहुभुज के 35 विकर्ण हैं। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? intermediate

A 9
B 12
C 11
D 10

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Answer: 10
Why:

n(n − 3)/2 = 35 से n(n − 3) = 70 = 10 × 7, इसलिए n = 10।

Q22 एक बहुभुज के 44 विकर्ण हैं। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? advanced

A 11
B 13
C 12
D 10

Show answer

Answer: 11
Why:

n(n − 3)/2 = 44 से n(n − 3) = 88 = 11 × 8, इसलिए n = 11।

Q23 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![एक चतुर्भुज जिसके कोण 80°, 100°, 75°, x हैं।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-poly-1.svg) beginner

A 95°
B 105°
C 75°
D 115°

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Answer: 105°
Why:

चतुर्भुज के कोणों का योग 360° है: x = 360° − (80° + 100° + 75°) = 105°।

Q24 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![एक चतुर्भुज जिसके कोण 95°, 70°, x, 75° हैं।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-poly-2.svg) beginner

A 60°
B 130°
C 120°
D 110°

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Answer: 120°
Why:

चतुर्भुज के कोणों का योग 360° है: x = 360° − (95° + 70° + 75°) = 120°।

Q25 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![एक चतुर्भुज जिसके कोण x, 118°, 96°, 84° हैं।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-poly-3.svg) intermediate

A 52°
B 118°
C 72°
D 62°

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Answer: 62°
Why:

चतुर्भुज के कोणों का योग 360° है: x = 360° − (118° + 96° + 84°) = 62°।

Q26 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![एक पंचभुज जिसके कोण 100°, 120°, 110°, 95°, x हैं।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-poly-4.svg) intermediate

A 115°
B 65°
C 125°
D 105°

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Answer: 115°
Why:

पंचभुज के कोणों का योग 540° है: x = 540° − (100° + 120° + 110° + 95°) = 115°।

Q27 चित्र में x का मान ज्ञात करो। ![एक पंचभुज जिसके कोण 125°, x, 112°, 90°, 115° हैं।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-poly-5.svg) advanced

A 88°
B 98°
C 82°
D 108°

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Answer: 98°
Why:

पंचभुज के कोणों का योग 540° है: x = 540° − (125° + 112° + 90° + 115°) = 98°।

Q28 चतुर्भुज के कोण x के रूप में दिए हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात करो। ![एक चतुर्भुज जिसके कोण 2x, 3x, 4x, 6x लिखे हैं।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-poly-6.svg) intermediate

A 24°
B 120°
C 144°
D 72°

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Answer: 144°
Why:

2x + 3x + 4x + 6x = 15x = 360°, इसलिए x = 24° और सबसे बड़ा कोण = 6 × 24° = 144°।

Q29 एक चतुर्भुज के कोण 1 : 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। सबसे छोटा कोण क्या है? beginner

A 30°
B 18°
C 72°
D 36°

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Answer: 36°
Why:

10 भाग = 360°, इसलिए एक भाग = 36°।

Q30 $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। x का मान ज्ञात करो। ![समांतर चतुर्भुज $ABCD$, ∠A = 65° और ∠C को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-pg-1.svg) beginner

A 65°
B 25°
C 230°
D 115°

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Answer: 65°
Why:

समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए x = 65°।

Q31 $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। x का मान ज्ञात करो। ![समांतर चतुर्भुज $ABCD$, ∠A = 58° और ∠B को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-pg-2.svg) beginner

A 244°
B 122°
C 58°
D 32°

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Answer: 122°
Why:

समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है, इसलिए x = 122°।

Q32 $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। x का मान ज्ञात करो। ![समांतर चतुर्भुज $ABCD$, ∠A = 72° और ∠D को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-pg-3.svg) intermediate

A 216°
B 72°
C 108°
D 18°

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Answer: 108°
Why:

समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है, इसलिए x = 108°।

Q33 एक समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोण 2 : 3 के अनुपात में हैं। बड़ा कोण ज्ञात करो। beginner

A 144°
B 216°
C 72°
D 108°

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Answer: 108°
Why:

आसन्न कोणों का योग 180°: 3/5 × 180° = 108°।

Q34 समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में ∠A = (3x + 10)° और ∠B = (2x + 20)°। ∠C ज्ञात करो। intermediate

A 100°
B 110°
C 30°
D 80°

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Answer: 100°
Why:

A + B = 180°: 5x + 30 = 180, x = 30। ∠C = ∠A = 100°।

Q35 $ABCD$ एक समचतुर्भुज है। भुजा x ज्ञात करो। ![समचतुर्भुज $ABCD$, विकर्ण AC = 16 और BD = 12, O पर समकोण पर काटते हैं; भुजा CD को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rh-1.svg) intermediate

A 12
B 10
C 20
D 14

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Answer: 10
Why:

आधे विकर्ण 8 और 6, 90° पर मिलते हैं: भुजा = √(8² + 6²) = 10।

Q36 $ABCD$ एक समचतुर्भुज है। भुजा x ज्ञात करो। ![समचतुर्भुज $ABCD$, विकर्ण AC = 24 और BD = 10, O पर समकोण पर काटते हैं; भुजा CD को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rh-2.svg) intermediate

A 17
B 15
C 13
D 26

Show answer

Answer: 13
Why:

आधे विकर्ण 12 और 5, 90° पर मिलते हैं: भुजा = √(12² + 5²) = 13।

Q37 एक समचतुर्भुज के विकर्ण 30 सेमी और 16 सेमी हैं। उसका परिमाप (सेमी में) ज्ञात करो। advanced

A 17
B 92
C 72
D 68

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Answer: 68
Why:

भुजा = √(15² + 8²) = 17, इसलिए परिमाप = 4 × 17 = 68।

Q38 एक समचतुर्भुज की हर भुजा 13 सेमी और एक विकर्ण 24 सेमी है। दूसरा विकर्ण (सेमी में) ज्ञात करो। advanced

A 10
B 11
C 26
D 5

Show answer

Answer: 10
Why:

दूसरे विकर्ण का आधा = √(13² − 12²) = 5, इसलिए वह 10 है।

Q39 $ABCD$ एक आयत है। विकर्ण AC = x ज्ञात करो। ![आयत $ABCD$, AB = 12, BC = 5 और विकर्ण AC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rect-1.svg) beginner

A 14
B 13
C 11
D 17

Show answer

Answer: 13
Why:

x = √(12² + 5²) = √169 = 13।

Q40 $ABCD$ एक आयत है। विकर्ण AC = x ज्ञात करो। ![आयत $ABCD$, AB = 15, BC = 8 और विकर्ण AC को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-rect-2.svg) intermediate

A 18
B 15
C 17
D 23

Show answer

Answer: 17
Why:

x = √(15² + 8²) = √289 = 17।

Q41 एक आयत की लंबाई 24 मी और विकर्ण 25 मी है। उसकी चौड़ाई (मी में) ज्ञात करो। beginner

A 1
B 49
C 12
D 7

Show answer

Answer: 7
Why:

√(25² − 24²) = √49 = 7।

Q42 7 सेमी भुजा वाले वर्ग का विकर्ण क्या है? beginner

A 7√2 cm
B 7√3 cm
C 49 cm
D 14 cm

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Answer: 7√2 cm
Why:

d = a√2 = 7√2 सेमी।

Q43 एक वर्ग का विकर्ण 10√2 सेमी है। उसका परिमाप (सेमी में) क्या है? intermediate

A 10
B 40
C 20
D 56.4

Show answer

Answer: 40
Why:

भुजा = 10√2 ÷ √2 = 10, परिमाप = 40।

Q44 समलंब में AB ∥ DC है। x का मान ज्ञात करो। ![समलंब $ABCD$, AB ∥ DC, ∠A = 70° और ∠D को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-trap-1.svg) beginner

A 70°
B 160°
C 110°
D 220°

Show answer

Answer: 110°
Why:

∠A और ∠D तिरछी भुजा AD पर सह-आंतरिक कोण हैं, इसलिए x = 180° − 70° = 110°।

Q45 समलंब में AB ∥ DC है। x का मान ज्ञात करो। ![समलंब $ABCD$, AB ∥ DC, ∠A = 58° और ∠D को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-trap-2.svg) intermediate

A 148°
B 244°
C 58°
D 122°

Show answer

Answer: 122°
Why:

∠A और ∠D तिरछी भुजा AD पर सह-आंतरिक कोण हैं, इसलिए x = 180° − 58° = 122°।

Q46 समलंब में AB ∥ DC है। AD और BC के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले बिंदुदार रेखाखंड की लंबाई x ज्ञात करो। ![समलंब $ABCD$, AB = 16 और DC = 10 समांतर; बिंदुदार मध्य रेखाखंड को x लिखा है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch14/q-trap-mid.svg) intermediate

A 13
B 26
C 6
D 3

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Answer: 13
Why:

मध्य रेखाखंड = (16 + 10) ÷ 2 = 13।

Q47 किस चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं? beginner

A आयत
B वर्ग
C समचतुर्भुज
D पतंग

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Answer: वर्ग
Why:

बराबर विकर्णों के लिए आयत, लंब के लिए समचतुर्भुज; दोनों मिलकर वर्ग।

Q48 हर समांतर चतुर्भुज के विकर्ण intermediate

A कोणों को समद्विभाजित करते हैं
B बराबर होते हैं
C एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
D परस्पर लंब होते हैं

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Answer: एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
Why:

केवल एक-दूसरे को समद्विभाजित करना सब पर लागू है; बाक़ी के लिए आयत या समचतुर्भुज चाहिए।

Q49 किस बहुभुज में अंतःकोणों का योग बहिष्कोणों के योग के बराबर है? intermediate

A पंचभुज
B षट्भुज
C त्रिभुज
D चतुर्भुज

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Answer: चतुर्भुज
Why:

(n − 2) × 180° = 360° से n = 4।

Q50 कौन-सा सम बहुभुज अकेले फ़र्श नहीं ढक सकता? advanced

A सम पंचभुज
B सम षट्भुज
C समबाहु त्रिभुज
D वर्ग

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Answer: सम पंचभुज
Why:

108° से 360° नहीं बँटता; 60°, 90° और 120° से बँटता है।

Q51 क्या ऐसा सम बहुभुज संभव है जिसका हर बहिष्कोण 50° हो? advanced

A हाँ, 8 भुजाओं वाला
B नहीं, 360, 50 का गुणज नहीं है
C हाँ, 5 भुजाओं वाला
D हाँ, 7 भुजाओं वाला

Show answer

Answer: नहीं, 360, 50 का गुणज नहीं है
Why:

n = 360 ÷ 50 = 7.2 पूर्णांक नहीं है।

Q52 एक सम षट्भुज की भुजा 6 सेमी है। उसके सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई क्या है? intermediate

A 18 cm
B 6√3 cm
C 12 cm
D 6 cm

Show answer

Answer: 12 cm
Why:

सम षट्भुज छह समबाहु त्रिभुजों से बना है; सबसे लंबा विकर्ण दो भुजाओं के बराबर, 12 सेमी।

Q53 अभिकथन (A): सम षट्भुज का हर अंतःकोण 120° होता है। कारण (R): सम षट्भुज का हर बहिष्कोण 360° ÷ 6 = 60° है। beginner

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

Show answer

Answer: A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Why:

दोनों सत्य और R से A मिलता है: 180° − 60° = 120°।

Q54 अभिकथन (A): हर वर्ग एक समचतुर्भुज है। कारण (R): हर समचतुर्भुज में चार समकोण होते हैं। intermediate

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

Show answer

Answer: A सत्य है पर R असत्य है
Why:

A सत्य है: वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर हैं। R असत्य है: समचतुर्भुज में समकोण ज़रूरी नहीं।

Q55 कथनों पर विचार करो: 1. अष्टभुज के 20 विकर्ण होते हैं। 2. सप्तभुज के अंतःकोणों का योग 1260° है। intermediate

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

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Answer: केवल 1
Why:

8 × 5 ÷ 2 = 20, इसलिए 1 सत्य है। सप्तभुज का योग 5 × 180° = 900°, इसलिए 2 असत्य है।

Q56 इनमें से कौन-सा सत्य है? 1. समचतुर्भुज के विकर्ण सदा बराबर होते हैं। 2. समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं। beginner

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

Show answer

Answer: केवल 2
Why:

समचतुर्भुज के विकर्ण लंब होते हैं, बराबर नहीं (जब तक वह वर्ग न हो)। कथन 2 सत्य है।

Important short questions (3)

एक सम बहुभुज का हर अंतःकोण 150° है। भुजाओं और विकर्णों की संख्या ज्ञात करो।

बहिष्कोण 30°, इसलिए n = 12। विकर्ण = 12 × 9 ÷ 2 = 54।

एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°, 90° और 115° हैं। चौथा ज्ञात करो।

360° − 280° = 80°।

एक समचतुर्भुज के विकर्ण 18 सेमी और 24 सेमी हैं। उसकी भुजा और परिमाप ज्ञात करो।

भुजा = √(9² + 12²) = 15 सेमी; परिमाप = 60 सेमी।

Long answer questions (1)

एक पंचभुज के अंतःकोण x°, (x + 10)°, (x + 20)°, (x + 30)° और (x + 40)° हैं। (a) x ज्ञात करो। (b) सबसे बड़ा कोण ज्ञात करो। (c) क्या यह पंचभुज सम हो सकता है? कारण दो।

(a) योग = 540°: 5x + 100 = 540, इसलिए x = 88।

(b) सबसे बड़ा = 88 + 40 = 128°।

Flashcards (15)

षट्भुज का कोण योग?

720°

किसी भी बहुभुज के बहिष्कोणों का योग?

360°

सम दशभुज का हर बहिष्कोण?

36°

सम अष्टभुज का हर अंतःकोण?

135°

बहिष्कोण 20°: कितनी भुजाएँ?

पंचभुज के विकर्ण?

षट्भुज के विकर्ण?

समांतर चतुर्भुज: ∠A = 75°, ∠B = ?

105°

समचतुर्भुज के विकर्ण 10 और 24: भुजा?

5 भुजा वाले वर्ग का विकर्ण?

5√2

आयत 8 × 6: विकर्ण?

बराबर, परस्पर लंब और समद्विभाजित करने वाले विकर्णों वाला चतुर्भुज?

वर्ग

समलंब के आधार 12 और 8: मध्य रेखाखंड?

वह बहुभुज जिसका कोण योग बहिष्कोण योग के बराबर?

चतुर्भुज

हर अंतःकोण 108°: बहुभुज?

पंचभुज

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बहुभुज जाँच

Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 14 — frequently asked questions

एक कोण अपने पूरक का 4 गुना है। कोण और उसका संपूरक ज्ञात करो।

x = 4(90 − x) से 5x = 360, x = 72°। इसका संपूरक 108° है।

त्रिभुज ABC में ∠A = 2∠B और ∠C = 3∠B। तीनों कोण ज्ञात करो।

2B + B + 3B = 180°, इसलिए B = 30°, A = 60°, C = 90°।

क्या 9, 12 और 15 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है? समझाओ।

81 + 144 = 225 = 15², इसलिए हाँ; समकोण 15 वाली भुजा के सामने है।

16 सेमी लंबी जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है। त्रिज्या और व्यास ज्ञात करो।

r = √(8² + 6²) = 10 सेमी, इसलिए व्यास 20 सेमी है।

$ABCD$ चक्रीय है और ∠A = 3∠C। ∠A और ∠C ज्ञात करो।

A + C = 180° और A = 3C, इसलिए 4C = 180°, C = 45°, A = 135°।

P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB, ∠APB = 70° बनाती हैं। ∠AOB और ∠OAB ज्ञात करो, जहाँ O केंद्र है।

∠AOB = 180° − 70° = 110°। OA = OB, इसलिए ∠OAB = (180° − 110°) ÷ 2 = 35°।

एक सम बहुभुज का हर अंतःकोण 150° है। भुजाओं और विकर्णों की संख्या ज्ञात करो।

बहिष्कोण 30°, इसलिए n = 12। विकर्ण = 12 × 9 ÷ 2 = 54।

एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°, 90° और 115° हैं। चौथा ज्ञात करो।

360° − 280° = 80°।

एक समचतुर्भुज के विकर्ण 18 सेमी और 24 सेमी हैं। उसकी भुजा और परिमाप ज्ञात करो।

भुजा = √(9² + 12²) = 15 सेमी; परिमाप = 60 सेमी।

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1 संख्या पद्धति 2 सरलीकरण और सन्निकटन 3 प्रतिशत 4 अनुपात और समानुपात 5 औसत 6 लाभ, हानि और बट्टा 7 साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज 8 समय और कार्य 9 पाइप और टंकी 10 चाल, समय और दूरी 11 नाव और धारा 12 मिश्रण और एलीगेशन 13 बीजगणित 14 ज्यामिति You are here 15 क्षेत्रमिति 16 त्रिकोणमिति 17 आँकड़ों की व्याख्या 18 क्रमचय और संचय 19 प्रायिकता 20 अभ्यास प्रश्नपत्र और मॉक टेस्ट

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