Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 16: त्रिकोणमिति

त्रिकोणमिति is Unit 16 of Veda Skills Quantitative Aptitude (Hindi medium). This page has the complete chapter notes across 2 topics, 125 practice MCQs with answers and explanations, 9 important short and long questions and 28 flashcards, written for SSC, Bank, Railway and placement exams and free to read.

2 topics
125 MCQs
7 short answers
2 long answers
28 flashcards
2 games
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Hindi

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त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ

समकोण त्रिभुज में छह त्रिकोणमितीय अनुपात, 0°, 30°, 45°, 60° और 90° के मानक मान, तीन पाइथागोरियन सर्वसमिकाएँ, कोटिपूरक कोण, और कठिन परीक्षाओं के अधिकतम व न्यूनतम वाले सवाल।

What you will be able to do

आप समकोण त्रिभुज की भुजाओं से छहों त्रिकोणमितीय अनुपात लिख सकेंगे।
एक अनुपात दिया हो तो आप बाकी सभी अनुपात निकाल सकेंगे।
आप 0°, 30°, 45°, 60° और 90° के मानों से व्यंजकों का मान निकाल सकेंगे।
आप तीन सर्वसमिकाओं और कोटिपूरक कोणों से सरल कर सकेंगे।
आप सरल त्रिकोणमितीय व्यंजकों का अधिकतम और न्यूनतम मान निकाल सकेंगे।

Key points

$\sin\theta$ = लंब/कर्ण, $\cos\theta$ = आधार/कर्ण, $\tan\theta$ = लंब/आधार।
$\operatorname{cosec}\theta$, $\sec\theta$, $\cot\theta$ क्रमशः $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ के व्युत्क्रम हैं।
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$।
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$; कोज्या के मान उल्टे क्रम में।
$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$।
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$, $\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1$।
$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$, $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta$, $\sec(90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec}\theta$।
यदि $\sec\theta + \tan\theta = k$, तो $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{k}$।
$a\sin\theta + b\cos\theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ और न्यूनतम $-\sqrt{a^2 + b^2}$ है।

Full explanation

मीना का रैंप

अध्याय का आरंभिक चित्र: त्रिकोणमिति

मीना 13 मी लंबा रैंप बना रही है जो 5 मी ऊपर उठता है। बढ़ई पूछता है: "कोण क्या है, और ज़मीन पर यह कितना दूर तक जाएगा?" दोनों उत्तर समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात से आते हैं। यही अनुपात त्रिकोणमिति है।

भुजाओं के नाम

चित्र: त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ

कोण $\theta$ चिह्नित करो। उसके सामने की भुजा लंब, उसके साथ की भुजा (कर्ण नहीं) आधार, और समकोण के सामने की सबसे लंबी भुजा कर्ण है।

$$\sin\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$$

समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर और θ, C पर; AB लंब, BC आधार और AC कर्ण है।

बाकी तीन अनुपात

$\displaystyle \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

यानी केवल तीन निकालने होते हैं; बाकी के लिए उन्हें उलट दो।

एक अनुपात से सब

यदि $\tan\theta = \frac{5}{12}$, तो लंब 5 और आधार 12 वाला त्रिभुज बनाओ। पाइथागोरस से कर्ण 13, और अब हर अनुपात पढ़ लो: $\sin\theta = \frac{5}{13}$, $\cos\theta = \frac{12}{13}$। त्रिक 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 याद रखो।

5, 12 और 13 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज, कोण θ, C पर; sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12।

मानक कोण

2 भुजा वाले समबाहु त्रिभुज को आधा करो तो $1, \sqrt{3}, 2$ भुजाओं वाला 30-60-90 त्रिभुज मिलता है। इकाई वर्ग को विकर्ण से आधा करो तो $1, 1, \sqrt{2}$ भुजाओं वाला 45-45-90 त्रिभुज। हर मानक मान इन्हीं भुजाओं का अनुपात है।

दो सेट-स्क्वेयर: 1, √3 और 2 भुजाओं वाला 30-60-90 त्रिभुज, और 1, 1 और √2 भुजाओं वाला 45-45-90 त्रिभुज।

0°, 30°, 45°, 60° और 90° पर sin, cos और tan की तालिका।

तीन सर्वसमिकाएँ

$\text{लंब}^2 + \text{आधार}^2 = \text{कर्ण}^2$ को $\text{कर्ण}^2$, $\text{आधार}^2$ और $\text{लंब}^2$ से भाग दो:

$\displaystyle \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta, \quad 1 + \cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta$

एक उपयोगी परिणाम: $(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$।

कोटिपूरक कोण

समकोण त्रिभुज में दोनों न्यून कोणों का योग 90° है, और एक का लंब दूसरे का आधार है। इसलिए

$\displaystyle \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \quad \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta, \quad \sec(90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec}\theta$

इसीलिए $\frac{\sin 37^\circ}{\cos 53^\circ} = 1$ और $\tan 10^\circ \tan 80^\circ = 1$।

तीन सर्वसमिकाएँ, व्युत्क्रम अनुपात और कोटिपूरक कोण के नियम दिखाते कार्ड।

अधिकतम और न्यूनतम मान

$a\sin\theta + b\cos\theta$ का मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ और $\sqrt{a^2 + b^2}$ के बीच रहता है। इसलिए $3\sin\theta + 4\cos\theta$ अधिकतम 5 है। $9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta$ जैसे योग में समांतर माध्य ≥ गुणोत्तर माध्य से न्यूनतम मान $2\sqrt{9 \times 4} = 12$।

मीना के उत्तर

लंब 5, कर्ण 13: $\sin\theta = \frac{5}{13}$। ज़मीन की दूरी आधार है, $\sqrt{169 - 25} = 12$ मी, और $\tan\theta = \frac{5}{12}$। एक त्रिभुज और पाइथागोरस पर बना पूरा टॉपिक।

माइंड मैप: बीच में त्रिकोणमिति, चारों ओर अनुपात, मानक मान, सर्वसमिकाएँ, कोटिपूरक, अधिकतम-न्यूनतम और त्रिक।

Concepts and terms

त्रिकोणमितीय अनुपात

समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं का अनुपात, जो केवल कोण से तय होता है, त्रिभुज के आकार से नहीं।

सर्वसमिका

हर कोण के लिए सत्य समीकरण, जैसे sin²θ + cos²θ = 1, जो कर्ण के वर्ग से भाग दिया पाइथागोरस है।

कोटिपूरक कोण

दो कोण जिनका योग 90° है। समकोण त्रिभुज के दोनों न्यून कोण कोटिपूरक हैं, इसलिए एक की ज्या दूसरे की कोज्या है।

मानों का परिसर

sin θ और cos θ, −1 और 1 के बीच रहते हैं; sec θ और $\operatorname{cosec}$ θ कभी −1 और 1 के बीच नहीं; tan θ कोई भी संख्या हो सकता है।

Did you know

"साइन" शब्द आर्यभट के "ज्या" (धनुष की डोरी) से आया, जो अरबी "जीब" से होकर लैटिन में "साइनस" पढ़ लिया गया।

Memory tricks

तीन मूल अनुपात — लंब-कर्ण, आधार-कर्ण, लंब-आधार — ज्या = लंब/कर्ण, कोज्या = आधार/कर्ण, स्पर्शज्या = लंब/आधार।

ज्या के मान — √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 — 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के लिए। कोज्या के लिए यही सूची उल्टी पढ़ो।

Practice MCQs with answers (68)

Q1 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\sin\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; AB = 5, BC = 12।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-1.svg) beginner

A 5/12
B 5/13
C 13/5
D 12/13

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Answer: 5/13
Why:

AC = √(5² + 12²) = 13। $\sin\theta$ = AB/AC = 5/13।

Q2 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\cos\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; AB = 3, AC = 5।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-2.svg) beginner

A 3/4
B 5/3
C 4/5
D 3/5

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Answer: 4/5
Why:

BC = √(5² − 3²) = 4। $\cos\theta$ = BC/AC = 4/5।

Q3 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\tan\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; BC = 15, AC = 17।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-3.svg) intermediate

A 8/17
B 15/17
C 17/8
D 8/15

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Answer: 8/15
Why:

AB = √(17² − 15²) = 8। $\tan\theta$ = AB/BC = 8/15।

Q4 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\sec\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; AB = 24, BC = 7।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-4.svg) intermediate

A 25/7
B 24/7
C 24/25
D 7/25

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Answer: 25/7
Why:

AC = √(24² + 7²) = 25। $\sec\theta$ = AC/BC = 25/7।

Q5 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\cot\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; AB = 20, AC = 29।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-5.svg) intermediate

A 20/21
B 21/20
C 20/29
D 21/29

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Answer: 21/20
Why:

BC = √(29² − 20²) = 21। $\cot\theta$ = BC/AB = 21/20।

Q6 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\operatorname{cosec}\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; BC = 40, AC = 41।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-6.svg) advanced

A 9/40
B 9/41
C 41/9
D 40/41

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Answer: 41/9
Why:

AB = √(41² − 40²) = 9। $\operatorname{cosec}\theta$ = AC/AB = 41/9।

Q7 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\cos\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; AB = 12, BC = 5।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-7.svg) beginner

A 13/12
B 12/13
C 12/5
D 5/13

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Answer: 5/13
Why:

AC = √(12² + 5²) = 13। $\cos\theta$ = BC/AC = 5/13।

Q8 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\tan\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; AB = 15, AC = 17।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-8.svg) intermediate

A 15/8
B 15/17
C 8/17
D 17/15

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Answer: 15/8
Why:

BC = √(17² − 15²) = 8। $\tan\theta$ = AB/BC = 15/8।

Q9 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\sin\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; BC = 24, AC = 25।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-9.svg) intermediate

A 25/7
B 7/25
C 24/25
D 7/24

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Answer: 7/25
Why:

AB = √(25² − 24²) = 7। $\sin\theta$ = AB/AC = 7/25।

Q10 दिखाए गए समकोण त्रिभुज ABC में $\operatorname{cosec}\theta$ ज्ञात करो। ![समकोण त्रिभुज ABC, समकोण B पर, कोण θ, C पर; AB = 4, BC = 3।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-rt-10.svg) beginner

A 4/3
B 4/5
C 5/4
D 3/5

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Answer: 5/4
Why:

AC = √(4² + 3²) = 5। $\operatorname{cosec}\theta$ = AC/AB = 5/4।

Q11 यदि $\tan\theta = \frac{5}{12}$ और θ न्यून कोण है, तो $\sin\theta$ ज्ञात करो। intermediate

A 13/5
B 13/12
C 12/13
D 5/13

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Answer: 5/13
Why:

भुजाएँ 5, 12, 13 (लंब, आधार, कर्ण)। $\sin\theta$ = 5/13।

Q12 यदि $\sin\theta = \frac{3}{5}$ और θ न्यून कोण है, तो $\tan\theta$ ज्ञात करो। beginner

A 3/4
B 5/3
C 5/4
D 4/5

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Answer: 3/4
Why:

भुजाएँ 3, 4, 5 (लंब, आधार, कर्ण)। $\tan\theta$ = 3/4।

Q13 यदि $\cos\theta = \frac{8}{17}$ और θ न्यून कोण है, तो $\operatorname{cosec}\theta$ ज्ञात करो। intermediate

A 17/8
B 17/15
C 15/17
D 15/8

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Answer: 17/15
Why:

भुजाएँ 15, 8, 17 (लंब, आधार, कर्ण)। $\operatorname{cosec}\theta$ = 17/15।

Q14 यदि $\sec\theta = \frac{25}{24}$ और θ न्यून कोण है, तो $\cot\theta$ ज्ञात करो। advanced

A 7/24
B 7/25
C 24/7
D 24/25

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Answer: 24/7
Why:

भुजाएँ 7, 24, 25 (लंब, आधार, कर्ण)। $\cot\theta$ = 24/7।

Q15 यदि $\cot\theta = \frac{21}{20}$ और θ न्यून कोण है, तो $\sin\theta$ ज्ञात करो। intermediate

A 20/21
B 29/20
C 21/29
D 20/29

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Answer: 20/29
Why:

भुजाएँ 20, 21, 29 (लंब, आधार, कर्ण)। $\sin\theta$ = 20/29।

Q16 यदि $\tan\theta = \frac{3}{4}$, तो $\frac{2\sin\theta + \cos\theta}{2\sin\theta - \cos\theta}$ का मान ज्ञात करो। intermediate

A 5
B 1/5
C 3
D -5

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Answer: 5
Why:

अंश और हर को $\cos\theta$ से भाग दो: (2 × 3/4 + 1) ÷ (2 × 3/4 − 1) = 10/2 = 5।

Q17 यदि $\tan\theta = \frac{5}{12}$, तो $\frac{3\sin\theta + 2\cos\theta}{4\sin\theta - \cos\theta}$ का मान ज्ञात करो। advanced

A 8/39
B 39/8
C 5/3
D -9/32

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Answer: 39/8
Why:

अंश और हर को $\cos\theta$ से भाग दो: (3 × 5/12 + 2) ÷ (4 × 5/12 − 1) = 39/8।

Q18 यदि $\tan\theta = \frac{4}{3}$, तो $\frac{\sin\theta + \cos\theta}{2\sin\theta - \cos\theta}$ का मान ज्ञात करो। intermediate

A 2
B 1/11
C 7/5
D 5/7

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Answer: 7/5
Why:

अंश और हर को $\cos\theta$ से भाग दो: (1 × 4/3 + 1) ÷ (2 × 4/3 − 1) = 7/5।

Q19 $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ का मान ज्ञात करो। beginner

A 2
B 1/2
C 3/2
D 1

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Answer: 1
Why:

मानक मान रखो: 1/2 + 1/2 = 1।

Q20 $\sin^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ$ का मान ज्ञात करो। beginner

A 1
B 3/2
C 2
D 1/2

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Answer: 1
Why:

मानक मान रखो: 3/4 + 1/4 = 1।

Q21 $\tan^2 60^\circ - 2\sin^2 45^\circ$ का मान ज्ञात करो। beginner

A 3
B 2
C 3/2
D 4

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Answer: 2
Why:

मानक मान रखो: 3 − 2 × 1/2 = 2।

Q22 $2\sin^2 30^\circ + 3\tan^2 30^\circ - \cos^2 45^\circ$ का मान ज्ञात करो। intermediate

A 2
B 1/2
C 1
D 3/2

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Answer: 1
Why:

मानक मान रखो: 2 × 1/4 + 3 × 1/3 − 1/2 = 1।

Q23 $4\cot^2 60^\circ + \sec^2 30^\circ - 2\sin^2 45^\circ$ का मान ज्ञात करो। intermediate

A 10/3
B 8/3
C 7/6
D 5/3

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Answer: 5/3
Why:

मानक मान रखो: 4 × 1/3 + 4/3 − 2 × 1/2 = 5/3।

Q24 $\operatorname{cosec}^2 30^\circ - \cot^2 30^\circ + \sec 60^\circ$ का मान ज्ञात करो। intermediate

A 3
B 4
C 5/2
D 6

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Answer: 3
Why:

मानक मान रखो: 4 − 3 + 2 = 3।

Q25 $3\tan^2 30^\circ + \sin^2 90^\circ - \cos^2 0^\circ$ का मान ज्ञात करो। beginner

A 2
B 1
C 1/2
D 3/2

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Answer: 1
Why:

मानक मान रखो: 3 × 1/3 + 1 − 1 = 1।

Q26 $2\cos^2 60^\circ + 3\sec^2 30^\circ - 2\tan^2 45^\circ$ का मान ज्ञात करो। advanced

A 7/2
B 2
C 5/2
D 5

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Answer: 5/2
Why:

मानक मान रखो: 2 × 1/4 + 3 × 4/3 − 2 × 1 = 5/2।

Q27 $\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ + \tan 45^\circ$ का मान ज्ञात करो। beginner

A 4
B 3
C 3/2
D 2

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Answer: 2
Why:

मानक मान रखो: 1/2 + 1/2 + 1 = 2।

Q28 $\sec^2 45^\circ - \tan^2 45^\circ + 2\cos 60^\circ$ का मान ज्ञात करो। intermediate

A 2
B 3/2
C 4
D 3

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Answer: 2
Why:

मानक मान रखो: 2 − 1 + 2 × 1/2 = 2।

Q29 $\frac{\tan 60^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 60^\circ \tan 30^\circ}$ का मान ज्ञात करो। advanced

A 1
B √3/3
C 0.5
D √3

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Answer: √3/3
Why:

(√3 − 1/√3) ÷ (1 + 1) = (2/√3) ÷ 2 = 1/√3 = √3/3। (यह tan 30° है।)

Q30 $\sin 60^\circ \cos 30^\circ + \cos 60^\circ \sin 30^\circ$ का मान ज्ञात करो। intermediate

A 0.75
B 0.5
C 1
D √3/2

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Answer: 1
Why:

(√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1। (यह sin 90° है।)

Q31 यदि $2\sin\theta = \sqrt{3}$ और θ न्यून कोण है, तो θ ज्ञात करो। beginner

A 30°
B 45°
C 90°
D 60°

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Answer: 60°
Why:

sin θ = √3/2, इसलिए θ = 60°।

Q32 यदि $\sqrt{3}\tan\theta = 1$ और θ न्यून कोण है, तो θ ज्ञात करो। beginner

A 30°
B 90°
C 60°
D 45°

Show answer

Answer: 30°
Why:

tan θ = 1/√3, इसलिए θ = 30°।

Q33 यदि $2\cos^2\theta = 1$ और θ न्यून कोण है, तो θ ज्ञात करो। intermediate

A 90°
B 45°
C 30°
D 60°

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Answer: 45°
Why:

cos²θ = 1/2, cos θ = 1/√2, θ = 45°।

Q34 यदि $\sin\theta = \cos\theta$ और θ न्यून कोण है, तो θ ज्ञात करो। beginner

A 60°
B 0°
C 45°
D 30°

Show answer

Answer: 45°
Why:

tan θ = 1, इसलिए θ = 45°।

Q35 यदि $\tan 2\theta = \sqrt{3}$ और θ न्यून कोण है, तो θ ज्ञात करो। intermediate

A 15°
B 45°
C 60°
D 30°

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Answer: 30°
Why:

2θ = 60°, इसलिए θ = 30°।

Q36 यदि $\sin\theta + \cos\theta = \frac{7}{5}$, तो $\sin\theta\cos\theta$ ज्ञात करो। intermediate

A 12/25
B 37/25
C 24/25
D 49/25

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Answer: 12/25
Why:

वर्ग करो: 1 + 2 $\sin\theta\cos\theta$ = 49/25, इसलिए $\sin\theta\cos\theta$ = (49/25 − 1)/2 = 12/25।

Q37 यदि $\sin\theta + \cos\theta = \frac{17}{13}$, तो $\sin\theta\cos\theta$ ज्ञात करो। advanced

A 229/169
B 60/169
C 120/169
D 289/169

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Answer: 60/169
Why:

वर्ग करो: 1 + 2 $\sin\theta\cos\theta$ = 289/169, इसलिए $\sin\theta\cos\theta$ = (289/169 − 1)/2 = 60/169।

Q38 यदि $\sec\theta + \tan\theta = 2$, तो $\sec\theta - \tan\theta$ ज्ञात करो। beginner

A 3/4
B 3/5
C 1/2
D 5/4

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Answer: 1/2
Why:

$(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$, इसलिए $\sec\theta - \tan\theta$ = 1/2।

Q39 यदि $\sec\theta + \tan\theta = 3$, तो $\sin\theta$ ज्ञात करो। advanced

A 5/3
B 4/3
C 1/3
D 4/5

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Answer: 4/5
Why:

$(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$, इसलिए $\sec\theta - \tan\theta$ = 1/3। जोड़कर आधा करने पर $\sec\theta$ = 5/3, इसलिए $\tan\theta$ = 4/3 और $\sin\theta$ = $\tan\theta$ ÷ $\sec\theta$ = 4/5।

Q40 यदि $\sec\theta + \tan\theta = \frac{5}{2}$, तो $\tan\theta$ ज्ञात करो। intermediate

A 21/20
B 29/20
C 21/29
D 2/5

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Answer: 21/20
Why:

$(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$, इसलिए $\sec\theta - \tan\theta$ = 2/5। जोड़कर आधा करने पर $\sec\theta$ = 29/20, इसलिए $\tan\theta$ = 21/20।

Q41 यदि $\sin(3A) = \cos(A - 26^\circ)$, जहाँ दोनों कोण न्यून हैं, तो A ज्ञात करो। intermediate

A 26°
B 29°
C 32°
D 34°

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Answer: 29°
Why:

कोटिपूरक: (3A) + (A - 26°) = 90°, इसलिए 4A = 116°, A = 29°।

Q42 यदि $\tan(2A) = \cot(A - 18^\circ)$, जहाँ दोनों कोण न्यून हैं, तो A ज्ञात करो। intermediate

A 33°
B 72°
C 36°
D 41°

Show answer

Answer: 36°
Why:

कोटिपूरक: (2A) + (A - 18°) = 90°, इसलिए 3A = 108°, A = 36°।

Q43 यदि $\sec(4A) = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$, जहाँ दोनों कोण न्यून हैं, तो A ज्ञात करो। advanced

A 19°
B 32°
C 27°
D 22°

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Answer: 22°
Why:

कोटिपूरक: (4A) + (A - 20°) = 90°, इसलिए 5A = 110°, A = 22°।

Q44 यदि $\cos(2A + 10^\circ) = \sin(3A - 20^\circ)$, जहाँ दोनों कोण न्यून हैं, तो A ज्ञात करो। intermediate

A 20°
B 17°
C 30°
D 25°

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Answer: 20°
Why:

कोटिपूरक: (2A + 10°) + (3A - 20°) = 90°, इसलिए 5A = 100°, A = 20°।

Q45 $\frac{\sin 37^\circ}{\cos 53^\circ}$ का मान ज्ञात करो। beginner

A 2
B 1
C 0
D 37/53

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Answer: 1
Why:

cos 53° = sin 37°, इसलिए अनुपात 1।

Q46 $\tan 15^\circ \tan 25^\circ \tan 65^\circ \tan 75^\circ$ ज्ञात करो। intermediate

A 0
B √3
C 1
D 1/√3

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Answer: 1
Why:

tan 75° = cot 15°, tan 65° = cot 25°; हर जोड़े का गुणनफल 1।

Q47 $\sin^2 20^\circ + \sin^2 70^\circ$ ज्ञात करो। intermediate

A 0
B 2
C 1/2
D 1

Show answer

Answer: 1
Why:

sin 70° = cos 20°, इसलिए योग sin²20° + cos²20° = 1।

Q48 $\operatorname{cosec} 31^\circ - \sec 59^\circ$ ज्ञात करो। beginner

A 0
B 2
C −1
D 1

Show answer

Answer: 0
Why:

sec 59° = $\operatorname{cosec}$ 31°, इसलिए अंतर 0।

Q49 $\cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 3^\circ \cdots \cos 100^\circ$ ज्ञात करो। advanced

A −1
B 0
C 1
D 1/2

Show answer

Answer: 0
Why:

गुणनफल में cos 90° = 0 शामिल है।

Q50 $(1 - \cos^2\theta)\sec^2\theta$ को सरल करो। beginner

A $\cot^2\theta$
B $\sin^2\theta$
C $\tan^2\theta$
D $1$

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Answer: $\tan^2\theta$
Why:

sin²θ × 1/cos²θ = tan²θ।

Q51 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2$ को सरल करो। intermediate

A $0$
B $1$
C $4\sin\theta\cos\theta$
D $2$

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Answer: $2$
Why:

बीच के पद कट जाते हैं: 2(sin²θ + cos²θ) = 2।

Q52 $\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}$ को सरल करो। advanced

A $2\operatorname{cosec}\theta$
B $2\sin\theta$
C $\operatorname{cosec}\theta$
D $2\sec\theta$

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Answer: $2\operatorname{cosec}\theta$
Why:

अंश sin²θ + 1 + 2cos θ + cos²θ = 2(1 + cos θ); sin θ(1 + cos θ) से भाग देने पर 2/sin θ।

Q53 $\sec^4\theta - \tan^4\theta$ को सरल करो। advanced

A $\sec^2\theta - \tan^2\theta$
B $\sec^2\theta + \tan^2\theta$
C $2\tan^2\theta$
D $1$

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Answer: $\sec^2\theta + \tan^2\theta$
Why:

(sec²θ − tan²θ)(sec²θ + tan²θ) = 1 × (sec²θ + tan²θ)।

Q54 न्यून θ के लिए $\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}$ को सरल करो। advanced

A $\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta$
B $1 - \tan\theta$
C $\sec\theta - \tan\theta$
D $\sec\theta + \tan\theta$

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Answer: $\sec\theta - \tan\theta$
Why:

अंदर (1 − sin θ)/(1 − sin θ) से गुणा करो: √((1 − sin θ)²/cos²θ) = (1 − sin θ)/cos θ = sec θ − tan θ।

Q55 इनमें से कौन-सा कभी सत्य नहीं हो सकता? beginner

A $\tan\theta = 5$
B $\sec\theta = \frac{5}{4}$
C $\cos\theta = \frac{1}{5}$
D $\sin\theta = \frac{5}{4}$

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Answer: $\sin\theta = \frac{5}{4}$
Why:

sin θ, 1 से अधिक नहीं हो सकता। tan θ कुछ भी हो सकता है; sec θ ≥ 1 ठीक है।

Q56 यदि $\tan\theta + \cot\theta = 2$, तो $\tan^2\theta + \cot^2\theta$ ज्ञात करो। intermediate

A $2$
B $0$
C $1$
D $4$

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Answer: $2$
Why:

वर्ग करो: tan²θ + cot²θ + 2 = 4, इसलिए उत्तर 2।

Q57 $3\sin\theta + 4\cos\theta$ का अधिकतम मान क्या है? advanced

A 4
B 5
C 25
D 7

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Answer: 5
Why:

अधिकतम मान = √(3² + 4²) = √25 = 5। (7 नहीं: sin और cos एक साथ 1 नहीं हो सकते।)

Q58 $5\sin\theta + 12\cos\theta$ का अधिकतम मान क्या है? advanced

A 169
B 17
C 13
D 12

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Answer: 13
Why:

अधिकतम मान = √(5² + 12²) = √169 = 13। (17 नहीं: sin और cos एक साथ 1 नहीं हो सकते।)

Q59 $8\sin\theta - 15\cos\theta$ का न्यूनतम मान क्या है? advanced

A −23
B −15
C 0
D −17

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Answer: −17
Why:

a sin θ + b cos θ का परिसर −√(a² + b²) से √(a² + b²) तक है; यहाँ √(64 + 225) = 17, इसलिए न्यूनतम −17।

Q60 $9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta$ का न्यूनतम मान क्या है? advanced

A 12
B 36
C 13
D 6

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Answer: 12
Why:

समांतर माध्य ≥ गुणोत्तर माध्य: 9tan²θ + 4cot²θ ≥ 2√(9 × 4) = 12, यह मान तब मिलता है जब 9tan²θ = 4cot²θ, यानी tan²θ = 2/3।

Q61 $16\tan^2\theta + 25\cot^2\theta$ का न्यूनतम मान क्या है? advanced

A 400
B 40
C 41
D 20

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Answer: 40
Why:

समांतर माध्य ≥ गुणोत्तर माध्य: 16tan²θ + 25cot²θ ≥ 2√(16 × 25) = 40, यह मान तब मिलता है जब 16tan²θ = 25cot²θ, यानी tan²θ = 5/4।

Q62 $\sin\theta\cos\theta$ का अधिकतम मान क्या है? advanced

A 2
B 0.25
C 0.5
D 1

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Answer: 0.5
Why:

sin θ cos θ = ½ sin 2θ, और sin 2θ अधिकतम 1 है, इसलिए अधिकतम मान ½ = 0.5 है, जो θ = 45° पर मिलता है।

Q63 $\frac{5\pi}{6}$ रेडियन को डिग्री में बदलो। beginner

A 300°
B 120°
C 135°
D 150°

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Answer: 150°
Why:

π रेडियन = 180°, इसलिए 5π/6 = 5 × 30° = 150°।

Q64 135° को रेडियन में बदलो। beginner

A $\frac{3\pi}{4}$
B $\frac{3\pi}{2}$
C $\frac{2\pi}{3}$
D $\frac{5\pi}{6}$

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Answer: $\frac{3\pi}{4}$
Why:

135 × π/180 = 3π/4।

Q65 अभिकथन (A): $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$। कारण (R): हर θ के लिए $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$। beginner

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

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Answer: A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Why:

दोनों √3/2 हैं, और 60° = 90° − 30°, इसलिए R, A की व्याख्या करता है।

Q66 अभिकथन (A): $3\sin\theta + 4\cos\theta$ का अधिकतम मान 7 है। कारण (R): $\sin\theta$ और $\cos\theta$ दोनों का अधिकतम मान 1 है। advanced

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

Show answer

Answer: A असत्य है पर R सत्य है
Why:

R सत्य है, पर sin और cos एक ही θ पर 1 नहीं होते। अधिकतम √(9 + 16) = 5 है, इसलिए A असत्य।

Q67 कथनों पर विचार करो: 1. $\tan 45^\circ + \cot 45^\circ = 2$। 2. $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \sin 90^\circ$। intermediate

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

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Answer: केवल 1
Why:

1 + 1 = 2, सत्य। 1/2 + √3/2 ≈ 1.37 ≠ 1, असत्य।

Q68 इनमें से कौन-सा/कौन-से कथन सत्य है/हैं? 1. $\sec^2\theta + \tan^2\theta = 1$। 2. $\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1$। beginner

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

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Answer: केवल 2
Why:

सर्वसमिका sec²θ − tan²θ = 1 है, इसलिए 1 असत्य; 2 सत्य सर्वसमिका है।

Important short questions (4)

यदि $\cos\theta = \frac{8}{17}$, तो बाकी सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो।

लंब = √(289 − 64) = 15। sin θ = 15/17, tan θ = 15/8, $\operatorname{cosec}$ θ = 17/15, sec θ = 17/8, cot θ = 8/15।

$\frac{\sin 30^\circ + \tan 45^\circ - \operatorname{cosec} 60^\circ}{\sec 30^\circ + \cos 60^\circ + \cot 45^\circ}$ का मान ज्ञात करो।

अंश 3/2 − 2/√3, हर 3/2 + 2/√3; 2√3 से गुणा: (3√3 − 4)/(3√3 + 4) = (43 − 24√3)/11।

सिद्ध करो कि $\frac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \frac{\cot\theta}{1 - \tan\theta} = 1 + \sec\theta\operatorname{cosec}\theta$।

t = tan θ रखो: t²/(t − 1) − 1/(t(t − 1)) = (t³ − 1)/(t(t − 1)) = (t² + t + 1)/t = 1 + t + 1/t = 1 + (sin²θ + cos²θ)/(sin θ cos θ) = 1 + sec θ $\operatorname{cosec}$ θ।

यदि $\sin(A + B) = 1$ और $\cos(A - B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, जहाँ A > B न्यून कोण हैं, तो A और B ज्ञात करो।

A + B = 90°, A − B = 30°, इसलिए A = 60°, B = 30°।

Long answer questions (1)

(a) यदि $\tan\theta = \frac{3}{4}$, तो $\sin\theta$ और $\cos\theta$ ज्ञात करो। (b) इन मानों के लिए $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ जाँचो। (c) $\frac{2\sin\theta - \cos\theta}{2\sin\theta + \cos\theta}$ ज्ञात करो।

(a) भुजाएँ 3, 4, 5: sin θ = 3/5, cos θ = 4/5।

(b) 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1।

Flashcards (15)

sin 30°?

1/2

cos 30°?

√3/2

tan 60°?

√3

tan 30°?

1/√3

sin 45°?

1/√2

sec 60°?

sin²θ + cos²θ?

sec²θ − tan²θ?

sin(90° − θ)?

cos θ

tan θ = 3/4: sin θ?

3/5

cos θ = 12/13: tan θ?

5/12

3 sin θ + 4 cos θ का अधिकतम?

tan 1° tan 89°?

sec θ + tan θ = 3: sec θ − tan θ?

1/3

sin θ का सबसे बड़ा मान?

1, 90° पर

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अनुपात जाँच

ऊँचाई और दूरी

उन्नयन और अवनमन कोण, मीनारें, छाया, सीढ़ियाँ, टूटे पेड़, दो प्रेक्षण बिंदु, दो इमारतें, ध्वजदंड और चलती वस्तुएँ, सब tan 30°, 45° और 60° से हल और पैमाने पर बने चित्रों के साथ।

What you will be able to do

आप ऊँचाई-दूरी के सवाल में छिपा समकोण त्रिभुज बना सकेंगे।
आप एक उन्नयन या अवनमन कोण से ऊँचाई या दूरी निकाल सकेंगे।
आप दो कोणों वाले सवाल हल कर सकेंगे: दो बिंदु, दो इमारतें, इमारत पर ध्वजदंड।
आप sin और cos से सीढ़ी और टूटे पेड़ के सवाल हल कर सकेंगे।
आप बदलते कोणों से चलती वस्तुओं की चाल निकाल सकेंगे।

Key points

उन्नयन कोण क्षैतिज से ऊपर की ओर, अवनमन कोण क्षैतिज से नीचे की ओर मापा जाता है।
A से B का अवनमन कोण, B से A के उन्नयन कोण के बराबर है (एकांतर कोण)।
ऊँचाई = दूरी × tan θ; दूरी = ऊँचाई × cot θ।
45° पर ऊँचाई = दूरी; 60° पर ऊँचाई दूरी का √3 गुना; 30° पर दूरी ऊँचाई का √3 गुना।
एक ही ओर 60° और 30° पर a दूरी के दो बिंदु: ऊँचाई = a√3/2।
ज़मीन से θ कोण पर L लंबी सीढ़ी L sin θ ऊँचाई तक पहुँचती है, और उसका पैर दीवार से L cos θ दूर है।
पेड़ इस तरह टूटा कि शिखर ज़मीन से 30° पर, पैर से d दूरी पर मिले, तो वह d√3 ऊँचा था।
√3 ≈ 1.732 केवल तब लो जब सवाल दशमलव माँगे।

Full explanation

अर्जुन की पानी की टंकी

चित्र: ऊँचाई और दूरी

अर्जुन गाँव की पानी की मीनार से 20 मी दूर खड़ा होकर उसके शिखर को देखता है। उसके फ़ोन का कोण-मापी 60° दिखाता है। बिना चढ़े वह ऊँचाई निकाल सकता है। कुछ देर बाद वह पीछे चलता है और कोण घटकर 30° हो जाता है। वह कितना चला?

उन्नयन

उन्नयन कोण क्षैतिज और अपने से ऊपर की वस्तु तक की दृष्टि रेखा के बीच का कोण है। मीनार, ज़मीन और दृष्टि रेखा समकोण त्रिभुज बनाते हैं, इसलिए

$$\tan\theta = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{दूरी}}$$

h ऊँचाई की मीनार और उसके पैर से 20 मी दूर प्रेक्षक; शिखर तक की दृष्टि रेखा ज़मीन से 60° बनाती है।

अवनमन

अवनमन कोण प्रेक्षक की आँख पर क्षैतिज से नीचे की वस्तु तक नीचे की ओर मापा जाता है। शिखर का क्षैतिज ज़मीन के समांतर है, इसलिए ऊपर से अवनमन = नीचे से उन्नयन।

50 मी ऊँची चट्टान, शिखर पर बिंदुकित क्षैतिज रेखा और पानी पर नाव; शिखर पर 30° का अवनमन कोण अंकित है।

तीन काम के मान

θ	30°	45°	60°
$\tan\theta$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$

45° पर ऊँचाई = दूरी। 60° पर ऊँचाई = $\sqrt{3}$ × दूरी। 30° पर दूरी = $\sqrt{3}$ × ऊँचाई।

एक ओर दो बिंदु

C से कोण 60° है, D से (और दूर, a मीटर पीछे) 30°। तब $BC = \frac{h}{\sqrt{3}}$ और $BD = h\sqrt{3}$, इसलिए

$$h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = a \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

मीनार AB और एक ही ओर 20 मी दूर दो प्रेक्षक C और D; C से उन्नयन कोण 60° और D से 30°।

सीढ़ी और टूटे पेड़

जब तिरछी लंबाई हो तो sin और cos लगाओ। $\theta$ कोण पर $L$ लंबी सीढ़ी दीवार पर $L\sin\theta$ तक पहुँचती है, और उसका पैर $L\cos\theta$ दूर।

$s$ ऊँचाई पर टूटा पेड़ जिसका शिखर पैर से $d$ दूर $\theta$ कोण पर ज़मीन छूता है: $s = d\tan\theta$, टूटा भाग $= \frac{d}{\cos\theta}$; पूरी ऊँचाई इनका योग है।

दीवार से टिकी 10 लंबी सीढ़ी, पैर दीवार से 5 दूर, ज़मीन से 60° का कोण।

दो इमारतें

$h$ ऊँची इमारत की छत से एक ऊँची मीनार का शिखर $\alpha$ उन्नयन पर और उसका पैर $\beta$ अवनमन पर दिखता है। आँख से क्षैतिज खींचो: यह मीनार को $h$ (नीचे) और $d\tan\alpha$ (ऊपर) में बाँटती है, जहाँ $d = h\cot\beta$।

20 मी ऊँची इमारत के सामने ऊँची मीनार; छत से मीनार का शिखर 60° उन्नयन पर और पैर 45° अवनमन पर।

चलती वस्तुएँ

$h$ ऊँचाई पर समतल उड़ता विमान 60° पर दिखता है, और $t$ सेकंड बाद 30° पर। उसने $h\cot 30^\circ - h\cot 60^\circ = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ दूरी तय की, इसलिए उसकी चाल $\frac{2h}{\sqrt{3},t}$ है।

अर्जुन के उत्तर

ऊँचाई $= 20\tan 60^\circ = 20\sqrt{3} \approx 34.6$ मी। 30° पर वह पैर से $20\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 60$ मी दूर है, इसलिए वह $60 - 20 = 40$ मी चला। हर कोण का एक त्रिभुज, और बाकी काम tan करता है।

माइंड मैप: बीच में ऊँचाई और दूरी, चारों ओर उन्नयन, अवनमन, tan, दो बिंदु, सीढ़ी और पेड़, और दो इमारतें।

Concepts and terms

दृष्टि रेखा

प्रेक्षक की आँख से वस्तु तक सीधी रेखा। क्षैतिज के साथ यह उन्नयन या अवनमन कोण बनाती है।

छिपा समकोण त्रिभुज

मीनार, ज़मीन और दृष्टि रेखा एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसका समकोण मीनार के पैर पर है।

एकांतर कोण

शिखर पर क्षैतिज ज़मीन के समांतर है, इसलिए शिखर पर अवनमन कोण नीचे के उन्नयन कोण के बराबर है।

दो त्रिभुज वाले सवाल

दो कोण दिए हों तो हर त्रिभुज के लिए tan लिखो और अज्ञात दूरी हटाओ।

Did you know

1856 में भारत के महान त्रिकोणमितीय सर्वेक्षण ने पीक XV (माउंट एवरेस्ट) की ऊँचाई 8840 मी घोषित की, जो लगभग 170 किमी दूर से लिए गए उन्नयन कोणों से निकाली गई थी। आज का मान 8849 मी है, केवल 9 मी अधिक।

Memory tricks

उन्नयन बनाम अवनमन — उन्नयन: नज़र ऊपर। अवनमन: नज़र नीचे। दोनों क्षैतिज से। — कभी खड़ी मीनार से मत मापो।

60-30 शॉर्टकट — दूरी गुणा √3 बटा 2 — a दूरी के दो बिंदुओं से 60° और 30° के कोण पर ऊँचाई a√3/2।

Practice MCQs with answers (57)

Q1 मीनार के पैर से 20 मी दूर एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![मीनार जिसकी ऊँचाई h अज्ञात है; प्रेक्षक पैर से 20 मी दूर है और उन्नयन कोण 60° है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-1.svg) beginner

A 20√3
B 20√3/3
C 10√3
D 40

Show answer

Answer: 20√3
Why:

h = 20 × tan 60° = 20√3 मी।

Q2 खंभे के पैर से 30 मी दूर एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 45° है। खंभे की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![खंभा जिसकी ऊँचाई h अज्ञात है; प्रेक्षक पैर से 30 मी दूर है और उन्नयन कोण 45° है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-2.svg) beginner

A 30√3
B 30
C 10√3
D 60

Show answer

Answer: 30
Why:

h = 30 × tan 45° = 30 मी।

Q3 पेड़ के पैर से 45 मी दूर एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 30° है। पेड़ की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![पेड़ जिसकी ऊँचाई h अज्ञात है; प्रेक्षक पैर से 45 मी दूर है और उन्नयन कोण 30° है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-3.svg) intermediate

A 90
B 45√3
C 15√3
D 22.5

Show answer

Answer: 15√3
Why:

h = 45 × tan 30° = 15√3 मी।

Q4 मीनार के पैर से 15√3 मी दूर एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![मीनार जिसकी ऊँचाई h अज्ञात है; प्रेक्षक पैर से 15√3 मी दूर है और उन्नयन कोण 60° है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-4.svg) intermediate

A 22.5
B 30√3
C 15
D 45

Show answer

Answer: 45
Why:

h = 15√3 × tan 60° = 45 मी।

Q5 मीनार के पैर से 50 मी दूर एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![मीनार जिसकी ऊँचाई h अज्ञात है; प्रेक्षक पैर से 50 मी दूर है और उन्नयन कोण 30° है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-5.svg) beginner

A 50√3/3
B 100
C 50√3
D 25

Show answer

Answer: 50√3/3
Why:

h = 50 × tan 30° = 50√3/3 मी।

Q6 ज़मीन के एक बिंदु से 30 मी ऊँची मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। वह बिंदु मीनार के पैर से कितनी दूर है (मी में)? ![30 ऊँचा मीनार; ज़मीन की दूरी के सिरे पर 30° कोण अंकित है, और वह दूरी ? से अंकित है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-6.svg) beginner

A 60
B 30√3
C 30
D 10√3

Show answer

Answer: 30√3
Why:

d = 30 ÷ tan 30° = 30 × cot 30° = 30√3 मी।

Q7 ज़मीन के एक बिंदु से 20√3 मी ऊँची मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। वह बिंदु मीनार के पैर से कितनी दूर है (मी में)? ![20√3 ऊँचा मीनार; ज़मीन की दूरी के सिरे पर 60° कोण अंकित है, और वह दूरी ? से अंकित है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-7.svg) intermediate

A 40√3
B 20√3
C 20
D 60

Show answer

Answer: 20
Why:

d = 20√3 ÷ tan 60° = 20√3 × cot 60° = 20 मी।

Q8 12 मी ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर खंभा उस समय छाया बनाता है जब सूर्य का उन्नतांश 45° है। छाया की लंबाई (मी में) ज्ञात करो। ![12 ऊँचा खंभा; छाया के सिरे पर 45° कोण अंकित है, और वह दूरी ? से अंकित है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-8.svg) beginner

A 12√3
B 24
C 6√3
D 12

Show answer

Answer: 12
Why:

d = 12 ÷ tan 45° = 12 × cot 45° = 12 मी।

Q9 8√3 मी ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर खंभा उस समय छाया बनाता है जब सूर्य का उन्नतांश 60° है। छाया की लंबाई (मी में) ज्ञात करो। ![8√3 ऊँचा खंभा; छाया के सिरे पर 60° कोण अंकित है, और वह दूरी ? से अंकित है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-elev-9.svg) intermediate

A 8
B 8√3
C 24
D 16√3

Show answer

Answer: 8
Why:

d = 8√3 ÷ tan 60° = 8√3 × cot 60° = 8 मी।

Q10 10√3 मी ऊँचे खंभे की छाया 10 मी लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करो। ![10√3 ऊँचा खंभा और उसकी 10 लंबी छाया; छाया के सिरे पर कोण ? से अंकित है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-ang-1.svg) beginner

A 90°
B 60°
C 30°
D 45°

Show answer

Answer: 60°
Why:

tan θ = 10√3/10 = √3, इसलिए θ = 60°।

Q11 15 मी ऊँचे खंभे की छाया 15 मी लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करो। ![15 ऊँचा खंभा और उसकी 15 लंबी छाया; छाया के सिरे पर कोण ? से अंकित है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-ang-2.svg) beginner

A 30°
B 60°
C 45°
D 90°

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Answer: 45°
Why:

tan θ = 15/15 = 1, इसलिए θ = 45°।

Q12 6 मी ऊँचे खंभे की छाया 6√3 मी लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करो। ![6 ऊँचा खंभा और उसकी 6√3 लंबी छाया; छाया के सिरे पर कोण ? से अंकित है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-ang-3.svg) intermediate

A 90°
B 45°
C 60°
D 30°

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Answer: 30°
Why:

tan θ = 6/6√3 = √3/3, इसलिए θ = 30°।

Q13 10 मी लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और ज़मीन से 60° का कोण बनाती है। वह दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है (मी में)? ![दीवार से टिकी 10 लंबी सीढ़ी जो ज़मीन से 60° बनाती है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-lad-1.svg) beginner

A 5√3
B 5
C 10√3
D 10

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Answer: 5√3
Why:

h = 10 sin 60° = 5√3 मी।

Q14 12 मी लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और ज़मीन से 60° का कोण बनाती है। उसका पैर दीवार से कितनी दूर है (मी में)? ![दीवार से टिकी 12 लंबी सीढ़ी जो ज़मीन से 60° बनाती है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-lad-2.svg) beginner

A 4√3
B 6
C 12
D 6√3

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Answer: 6
Why:

d = 12 cos 60° = 6 मी।

Q15 8 मी लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और ज़मीन से 30° का कोण बनाती है। वह दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है (मी में)? ![दीवार से टिकी 8 लंबी सीढ़ी जो ज़मीन से 30° बनाती है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-lad-3.svg) intermediate

A 8
B 4√3
C 4
D 8√3/3

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Answer: 4
Why:

h = 8 sin 30° = 4 मी।

Q16 14 मी लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और ज़मीन से 30° का कोण बनाती है। उसका पैर दीवार से कितनी दूर है (मी में)? ![दीवार से टिकी 14 लंबी सीढ़ी जो ज़मीन से 30° बनाती है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-lad-4.svg) intermediate

A 14√3
B 14
C 7
D 7√3

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Answer: 7√3
Why:

d = 14 cos 30° = 7√3 मी।

Q17 60 मी ऊँची चट्टान के शिखर से एक नाव का अवनमन कोण 30° है। वह चट्टान के पैर से कितनी दूर है (मी में)? ![60 ऊँची चट्टान, शिखर पर बिंदुकित क्षैतिज रेखा और वहाँ 30° का अवनमन कोण; ज़मीन पर दूरी d अज्ञात है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-dep-1.svg) intermediate

A 60√3
B 60
C 20√3
D 120

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Answer: 60√3
Why:

शिखर पर अवनमन = नीचे उन्नयन = 30°। d = 60 × cot 30° = 60√3 मी।

Q18 75 मी ऊँची मीनार के शिखर से एक कार का अवनमन कोण 45° है। वह मीनार के पैर से कितनी दूर है (मी में)? ![75 ऊँची मीनार, शिखर पर बिंदुकित क्षैतिज रेखा और वहाँ 45° का अवनमन कोण; ज़मीन पर दूरी d अज्ञात है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-dep-2.svg) beginner

A 150
B 75
C 75√3
D 25√3

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Answer: 75
Why:

शिखर पर अवनमन = नीचे उन्नयन = 45°। d = 75 × cot 45° = 75 मी।

Q19 50√3 मी ऊँची चट्टान के शिखर से एक नाव का अवनमन कोण 60° है। वह चट्टान के पैर से कितनी दूर है (मी में)? ![50√3 ऊँची चट्टान, शिखर पर बिंदुकित क्षैतिज रेखा और वहाँ 60° का अवनमन कोण; ज़मीन पर दूरी d अज्ञात है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-dep-3.svg) intermediate

A 50√3
B 150
C 50
D 100√3

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Answer: 50
Why:

शिखर पर अवनमन = नीचे उन्नयन = 60°। d = 50√3 × cot 60° = 50 मी।

Q20 40 मी ऊँची मीनार के शिखर से एक कार का अवनमन कोण 30° है। वह मीनार के पैर से कितनी दूर है (मी में)? ![40 ऊँची मीनार, शिखर पर बिंदुकित क्षैतिज रेखा और वहाँ 30° का अवनमन कोण; ज़मीन पर दूरी d अज्ञात है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-dep-4.svg) intermediate

A 80
B 40
C 40√3/3
D 40√3

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Answer: 40√3
Why:

शिखर पर अवनमन = नीचे उन्नयन = 30°। d = 40 × cot 30° = 40√3 मी।

Q21 एक ही ओर 20 मी दूर दो बिंदुओं C और D से एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![मीनार AB और ज़मीन पर 20 मी दूर बिंदु C और D; C से उन्नयन 60° और D से 30°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-two-1.svg) intermediate

A 10√3
B 20√3
C 20√3/3
D 20

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Answer: 10√3
Why:

BC = h cot 60°, BD = h cot 30°; BD − BC = 20 से h = 20 ÷ (cot 30° − cot 60°) = 10√3 मी।

Q22 एक ही ओर 40 मी दूर दो बिंदुओं C और D से एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। निकट बिंदु C मीनार के पैर से कितनी दूर है (मी में)? ![मीनार AB और ज़मीन पर 40 मी दूर बिंदु C और D; C से उन्नयन 60° और D से 30°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-two-2.svg) intermediate

A 20√3
B 20
C 60
D 80

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Answer: 20
Why:

h = 20√3 (दोनों त्रिभुजों से); BC = h cot 60° = 20 मी।

Q23 एक ही ओर 40 मी दूर दो बिंदुओं C और D से एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण 45° और 30° हैं। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![मीनार AB और ज़मीन पर 40 मी दूर बिंदु C और D; C से उन्नयन 45° और D से 30°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-two-3.svg) advanced

A 40√3/3
B 40(√3 + 1)
C 20(√3 + 1)
D 40

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Answer: 20(√3 + 1)
Why:

BC = h cot 45°, BD = h cot 30°; BD − BC = 40 से h = 40 ÷ (cot 30° − cot 45°) = 20(√3 + 1) मी।

Q24 एक ही ओर 30 मी दूर दो बिंदुओं C और D से एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण 60° और 45° हैं। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![मीनार AB और ज़मीन पर 30 मी दूर बिंदु C और D; C से उन्नयन 60° और D से 45°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-two-4.svg) advanced

A 30(√3 + 3)
B 30√3
C 30
D 15(√3 + 3)

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Answer: 15(√3 + 3)
Why:

BC = h cot 60°, BD = h cot 45°; BD − BC = 30 से h = 30 ÷ (cot 45° − cot 60°) = 15(√3 + 3) मी।

Q25 एक ही ओर 50 मी दूर दो बिंदुओं C और D से एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![मीनार AB और ज़मीन पर 50 मी दूर बिंदु C और D; C से उन्नयन 60° और D से 30°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-two-5.svg) intermediate

A 25√3
B 50√3/3
C 50
D 50√3

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Answer: 25√3
Why:

BC = h cot 60°, BD = h cot 30°; BD − BC = 50 से h = 50 ÷ (cot 30° − cot 60°) = 25√3 मी।

Q26 आँधी से एक पेड़ टूटता है और टूटा भाग झुककर शिखर पैर से 10 मी दूर ज़मीन छूता है, ज़मीन से 30° का कोण बनाते हुए। पेड़ की मूल ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![टूटा पेड़: खड़ा भाग ऊर्ध्वाधर है, टूटा भाग तिरछा होकर पैर से 10 मी दूर 30° पर ज़मीन छूता है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-brk-1.svg) intermediate

A 20
B 10√3
C 10√3/3
D 20√3/3

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Answer: 10√3
Why:

खड़ा भाग = 10 tan 30° = 10√3/3; टूटा भाग = 10 ÷ cos 30° = 20√3/3; कुल = 10√3 मी।

Q27 आँधी से एक पेड़ टूटता है और टूटा भाग झुककर शिखर पैर से 6 मी दूर ज़मीन छूता है, ज़मीन से 60° का कोण बनाते हुए। पेड़ की मूल ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![टूटा पेड़: खड़ा भाग ऊर्ध्वाधर है, टूटा भाग तिरछा होकर पैर से 6 मी दूर 60° पर ज़मीन छूता है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-brk-2.svg) advanced

A 12
B 12√3
C 6(√3 + 2)
D 6√3

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Answer: 6(√3 + 2)
Why:

खड़ा भाग = 6 tan 60° = 6√3; टूटा भाग = 6 ÷ cos 60° = 12; कुल = 6(√3 + 2) मी।

Q28 आँधी से एक पेड़ टूटता है और टूटा भाग झुककर शिखर पैर से 9√3 मी दूर ज़मीन छूता है, ज़मीन से 30° का कोण बनाते हुए। पेड़ की मूल ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![टूटा पेड़: खड़ा भाग ऊर्ध्वाधर है, टूटा भाग तिरछा होकर पैर से 9√3 मी दूर 30° पर ज़मीन छूता है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-brk-3.svg) advanced

A 18√3
B 9
C 18
D 27

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Answer: 27
Why:

खड़ा भाग = 9√3 tan 30° = 9; टूटा भाग = 9√3 ÷ cos 30° = 18; कुल = 27 मी।

Q29 20 मी ऊँची इमारत की छत से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° और उसके पैर का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![20 ऊँची इमारत और एक ऊँची मीनार; छत से मीनार के शिखर का उन्नयन 60° और पैर का अवनमन 45°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-bld-1.svg) advanced

A 20(√3 + 1)
B 20(√3 + 2)
C 20(√3 − 1)
D 20√3

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Answer: 20(√3 + 1)
Why:

दूरी = 20 cot 45° = 20। आँख से ऊपर का भाग = 20 tan 60° = 20√3। मीनार = 20 + 20√3 = 20(√3 + 1) मी।

Q30 15 मी ऊँची इमारत की छत से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° और उसके पैर का अवनमन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![15 ऊँची इमारत और एक ऊँची मीनार; छत से मीनार के शिखर का उन्नयन 60° और पैर का अवनमन 30°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-bld-2.svg) advanced

A 45
B 60
C 75
D 30

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Answer: 60
Why:

दूरी = 15 cot 30° = 15√3। आँख से ऊपर का भाग = 15√3 tan 60° = 45। मीनार = 15 + 45 = 60 मी।

Q31 30 मी ऊँची इमारत की छत से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° और उसके पैर का अवनमन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![30 ऊँची इमारत और एक ऊँची मीनार; छत से मीनार के शिखर का उन्नयन 30° और पैर का अवनमन 60°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-bld-3.svg) advanced

A 10
B 70
C 40
D 80

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Answer: 40
Why:

दूरी = 30 cot 60° = 10√3। आँख से ऊपर का भाग = 10√3 tan 30° = 10। मीनार = 30 + 10 = 40 मी।

Q32 24 मी ऊँची इमारत की छत से एक मीनार के पैर का अवनमन कोण 30° है। इमारत और मीनार के बीच की दूरी (मी में) ज्ञात करो। ![24 ऊँची इमारत और एक ऊँची मीनार; छत से मीनार के शिखर का उन्नयन 60° और पैर का अवनमन 30°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-bld-4.svg) intermediate

A 8√3
B 48
C 48√3
D 24√3

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Answer: 24√3
Why:

d = 24 cot 30° = 24√3 मी।

Q33 80 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर बराबर ऊँचाई के दो खंभे हैं। उनके बीच सड़क के एक बिंदु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण 30° और 60° हैं। खंभों की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![80 मी दूर दो बराबर खंभे और उनके बीच प्रेक्षक; उन्नयन 30° और 60°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-btw-1.svg) advanced

A 20√3
B 40√3
C 40
D 60

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Answer: 20√3
Why:

h cot 30° + h cot 60° = 80, इसलिए h = 80 ÷ (√3 + √3/3) = 20√3 मी।

Q34 100 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर बराबर ऊँचाई के दो खंभे हैं। उनके बीच सड़क के एक बिंदु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण दोनों 45° हैं। खंभों की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![100 मी दूर दो बराबर खंभे और उनके बीच प्रेक्षक; उन्नयन 45° और 45°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-btw-2.svg) intermediate

A 50√3
B 50
C 100
D 25

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Answer: 50
Why:

h cot 45° + h cot 45° = 100, इसलिए h = 100 ÷ (1 + 1) = 50 मी।

Q35 60 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर बराबर ऊँचाई के दो खंभे हैं। उनके बीच सड़क के एक बिंदु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण 30° और 45° हैं। खंभों की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![60 मी दूर दो बराबर खंभे और उनके बीच प्रेक्षक; उन्नयन 30° और 45°।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-btw-3.svg) advanced

A 30
B 30(3 − √3)
C 30(√3 − 1)
D 60(√3 − 1)

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Answer: 30(√3 − 1)
Why:

h cot 30° + h cot 45° = 60, इसलिए h = 60 ÷ (√3 + 1) = 30(√3 − 1) मी।

Q36 एक इमारत के पैर से 20 मी दूर एक बिंदु से इमारत पर लगे ध्वजदंड के निचले और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण 45° और 60° हैं। ध्वजदंड की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![इमारत जिसके ऊपर ध्वजदंड है; 20 मी दूर का प्रेक्षक ध्वजदंड का निचला सिरा 45° और ऊपरी सिरा 60° पर देखता है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-flag-1.svg) intermediate

A 40(√3 − 1)
B 20√3
C 20
D 20(√3 − 1)

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Answer: 20(√3 − 1)
Why:

इमारत = 20 tan 45° = 20; इमारत + ध्वज = 20 tan 60° = 20√3; ध्वजदंड = 20(√3 − 1) मी।

Q37 एक इमारत के पैर से 30 मी दूर एक बिंदु से इमारत पर लगे ध्वजदंड के निचले और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण 30° और 60° हैं। ध्वजदंड की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![इमारत जिसके ऊपर ध्वजदंड है; 30 मी दूर का प्रेक्षक ध्वजदंड का निचला सिरा 30° और ऊपरी सिरा 60° पर देखता है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-flag-2.svg) advanced

A 20√3
B 40√3
C 30√3
D 10√3

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Answer: 20√3
Why:

इमारत = 30 tan 30° = 10√3; इमारत + ध्वज = 30 tan 60° = 30√3; ध्वजदंड = 20√3 मी।

Q38 एक इमारत के पैर से 18 मी दूर एक बिंदु से इमारत पर लगे ध्वजदंड के निचले और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण 30° और 45° हैं। इमारत की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। ![इमारत जिसके ऊपर ध्वजदंड है; 18 मी दूर का प्रेक्षक ध्वजदंड का निचला सिरा 30° और ऊपरी सिरा 45° पर देखता है।](/syllabus/veda-skills-0-quantitative-aptitude-hi/ch16/q-flag-3.svg) beginner

A 6(3 − √3)
B 6√3
C 36
D 18

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Answer: 6√3
Why:

इमारत = 18 tan 30° = 6√3 मी।

Q39 1500√3 मी की ऊँचाई पर क्षैतिज उड़ता एक विमान 60° के उन्नयन कोण पर दिखता है। 15 सेकंड बाद कोण 30° हो जाता है। उसकी चाल (किमी/घंटा में) ज्ञात करो। advanced

A 360
B 1440
C 720
D 200

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Answer: 720
Why:

दूरी = h(cot 30° − cot 60°) = 1500√3 × 2/√3 = 3000 मी, 15 सेकंड में = 200 मी/से = 720 किमी/घंटा।

Q40 600√3 मी की ऊँचाई पर क्षैतिज उड़ता एक विमान 60° के उन्नयन कोण पर दिखता है। 10 सेकंड बाद कोण 30° हो जाता है। उसकी चाल (किमी/घंटा में) ज्ञात करो। advanced

A 216
B 864
C 120
D 432

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Answer: 432
Why:

दूरी = h(cot 30° − cot 60°) = 600√3 × 2/√3 = 1200 मी, 10 सेकंड में = 120 मी/से = 432 किमी/घंटा।

Q41 20√3 मी ऊँची मीनार की छाया सूर्य का उन्नतांश 30° होने पर 60° की तुलना में कितनी (मी में) अधिक लंबी होती है? intermediate

A 40
B 60
C 20
D 80

Show answer

Answer: 40
Why:

20√3 cot 30° − 20√3 cot 60° = 60 − 20 = 40 मी।

Q42 30 मी ऊँची मीनार की छाया सूर्य का उन्नतांश 30° होने पर 45° की तुलना में कितनी (मी में) अधिक लंबी होती है? advanced

A 30√3
B 30(√3 − 1)
C 30
D 60(√3 − 1)

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Answer: 30(√3 − 1)
Why:

30 cot 30° − 30 cot 45° = 30√3 − 30 = 30(√3 − 1) मी।

Q43 1.5 मी लंबा एक आदमी मीनार से 30 मी दूर खड़ा होकर उसका शिखर 45° के उन्नयन कोण पर देखता है। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। intermediate

A 30
B 33
C 31.5
D 28.5

Show answer

Answer: 31.5
Why:

आँख से ऊपर = 30 tan 45° = 30; 1.5 जोड़ो: 31.5 मी।

Q44 1.6 मी लंबा एक आदमी मीनार से 28√3 मी दूर खड़ा होकर उसका शिखर 60° के उन्नयन कोण पर देखता है। मीनार की ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। advanced

A 87.2
B 82.4
C 84
D 85.6

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Answer: 85.6
Why:

आँख से ऊपर = 28√3 tan 60° = 84; 1.6 जोड़ो: 85.6 मी।

Q45 50 मी दूर से एक मीनार का शिखर 60° पर दिखता है। उसकी ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। (√3 = 1.732 लो) intermediate

A 86.6
B 28.87
C 173.2
D 43.3

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Answer: 86.6
Why:

h = 50 tan 60° = 50√3 = 86.6 मी।

Q46 60 मी दूर से एक मीनार का शिखर 30° पर दिखता है। उसकी ऊँचाई (मी में) ज्ञात करो। (√3 = 1.732 लो) intermediate

A 69.28
B 34.64
C 30
D 103.92

Show answer

Answer: 34.64
Why:

h = 60 tan 30° = 20√3 = 34.64 मी।

Q47 60 मी ऊँचे प्रकाश स्तंभ के विपरीत ओर दो नावें हैं। शिखर से उनके अवनमन कोण 45° और 30° हैं। नावें एक-दूसरे से कितनी दूर हैं (मी में)? intermediate

A 60(√3 − 1)
B 60√3
C 60(√3 + 1)
D 60

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Answer: 60(√3 + 1)
Why:

60 cot 45° + 60 cot 30° = 60 + 60√3 = 60(√3 + 1) मी।

Q48 100 मी ऊँचे प्रकाश स्तंभ के शिखर से एक ही ओर के दो जहाज़ 60° और 30° के अवनमन पर दिखते हैं। जहाज़ों के बीच की दूरी (मी में) ज्ञात करो। advanced

A 100√3/3
B 400√3/3
C 100√3
D 200√3/3

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Answer: 200√3/3
Why:

100 cot 30° − 100 cot 60° = 100√3 − 100/√3 = 200/√3 = 200√3/3 मी।

Q49 प्रेक्षक मीनार की ओर चलता है तो उसके शिखर का उन्नयन कोण beginner

A बढ़ता है
B घटता है
C वही रहता है
D पहले बढ़ता, फिर घटता है

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Answer: बढ़ता है
Why:

पास का अर्थ अधिक खड़ी दृष्टि रेखा: ऊँचाई वही, दूरी घटी, इसलिए tan θ बढ़ता है।

Q50 यदि खंभा और उसकी छाया बराबर लंबाई के हों, तो सूर्य का उन्नतांश है beginner

A 90°
B 45°
C 30°
D 60°

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Answer: 45°
Why:

tan θ = 1, इसलिए θ = 45°।

Q51 चट्टान के शिखर से नाव का अवनमन कोण बराबर है intermediate

A चट्टान और दृष्टि रेखा के बीच के कोण के
B उन्नयन कोण के दुगुने के
C नाव से शिखर के उन्नयन कोण के
D नाव से उन्नयन कोण के 90° घटा

Show answer

Answer: नाव से शिखर के उन्नयन कोण के
Why:

शिखर का क्षैतिज ज़मीन के समांतर है; दोनों कोण एकांतर कोण हैं।

Q52 एक छड़ और उसकी छाया की लंबाई का अनुपात 1 : √3 है। सूर्य का उन्नयन कोण है intermediate

A 90°
B 60°
C 45°
D 30°

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Answer: 30°
Why:

tan θ = 1/√3, इसलिए θ = 30°।

Q53 सूर्य का उन्नतांश 30° से 60° होने पर मीनार की छाया हो जाती है advanced

A एक-तिहाई लंबी
B अपरिवर्तित
C आधी लंबी
D √3 गुनी लंबी

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Answer: एक-तिहाई लंबी
Why:

छाया = h cot θ: h√3 से h/√3, जो एक-तिहाई है।

Q54 अभिकथन (A): मीनार से 30 मी दूर एक बिंदु से शिखर 45° पर दिखता है; इसलिए मीनार 30 मी ऊँची है। कारण (R): $\tan 45^\circ = 1$। beginner

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

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Answer: A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Why:

h = 30 tan 45° = 30, और R ठीक यही कारण है।

Q55 अभिकथन (A): किसी वस्तु का अवनमन कोण प्रेक्षक से जाती ऊर्ध्वाधर रेखा से मापा जाता है। कारण (R): अवनमन कोण वस्तु से उन्नयन कोण के बराबर है। intermediate

A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
C A सत्य है पर R असत्य है
D A असत्य है पर R सत्य है

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Answer: A असत्य है पर R सत्य है
Why:

अवनमन क्षैतिज से मापा जाता है, इसलिए A असत्य। R सत्य है (एकांतर कोण)।

Q56 कथनों पर विचार करो: 1. ज़मीन से 60° बनाती 10 मी सीढ़ी दीवार पर 5√3 मी तक पहुँचती है। 2. उसका पैर दीवार से 5√3 मी दूर है। intermediate

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

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Answer: केवल 1
Why:

10 sin 60° = 5√3, सत्य। पैर 10 cos 60° = 5 मी दूर, इसलिए 2 असत्य।

Q57 इनमें से कौन-सा/कौन-से कथन सत्य है/हैं? 1. 20 मी दूर बिंदुओं से मीनार 60° और 30° पर दिखे तो ऊँचाई 20√3 मी। 2. 45° उन्नयन कोण पर ऊँचाई दूरी के बराबर है। intermediate

A केवल 1
B केवल 2
C 1 और 2 दोनों
D न 1, न 2

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Answer: केवल 2
Why:

ऊँचाई = 20√3/2 = 10√3, इसलिए 1 असत्य। tan 45° = 1, इसलिए 2 सत्य।

Important short questions (3)

एक पतंग 60 मी की ऊँचाई पर उड़ रही है। डोर ज़मीन से 60° बनाती है और तनी है। डोर की लंबाई ज्ञात करो।

L = 60 ÷ sin 60° = 120/√3 = 40√3 मी।

75 मी ऊँचे प्रकाश स्तंभ के शिखर से एक जहाज़ का अवनमन कोण 30° है। जहाज़ कितनी दूर है?

75 cot 30° = 75√3 ≈ 129.9 मी।

सूर्य का उन्नतांश 30° होने पर मीनार की छाया 60° की तुलना में 40 मी लंबी है। ऊँचाई ज्ञात करो।

h√3 − h/√3 = 40, इसलिए h = 40√3/2 = 20√3 मी।

Long answer questions (1)

60 मी ऊँची इमारत की छत से एक लैंप पोस्ट के शिखर और पैर के अवनमन कोण 30° और 60° हैं। (a) इमारत और लैंप पोस्ट के बीच की दूरी ज्ञात करो। (b) लैंप पोस्ट की ऊँचाई ज्ञात करो। (c) दोनों की ऊँचाइयों का अंतर ज्ञात करो।

(a) पैर का अवनमन 60°: d = 60 cot 60° = 20√3 मी।

(b) शिखर का अवनमन 30°: अंतर = 20√3 × tan 30° = 20 मी, इसलिए पोस्ट 60 − 20 = 40 मी।

Flashcards (13)

उन्नयन कोण किससे मापा जाता है?

क्षैतिज से, ऊपर

अवनमन कोण किससे मापा जाता है?

क्षैतिज से, नीचे

उन्नयन 45°, दूरी 25 मी: ऊँचाई?

25 मी

उन्नयन 60°, दूरी 10 मी: ऊँचाई?

10√3 मी

उन्नयन 30°, ऊँचाई 10 मी: दूरी?

10√3 मी

ऊँचाई = छाया: सूर्य का उन्नतांश?

45°

60° पर 10 मी सीढ़ी: ऊँचाई?

5√3 मी

60° पर 10 मी सीढ़ी: पैर दीवार से?

5 मी

40 मी दूर बिंदुओं से 60° और 30°: ऊँचाई?

20√3 मी

शिखर से अवनमन = किससे उन्नयन?

नीचे के बिंदु से

टूटा पेड़, शिखर पैर से 6 मी, 30° पर: पूरी ऊँचाई?

6√3 मी

√3 तीन दशमलव तक?

1.732

मीनार की ओर चलने पर उन्नयन कोण का क्या होता है?

बढ़ता है

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कोण जाँच

Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 16 — frequently asked questions

यदि $\cos\theta = \frac{8}{17}$, तो बाकी सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो।

लंब = √(289 − 64) = 15। sin θ = 15/17, tan θ = 15/8, $\operatorname{cosec}$ θ = 17/15, sec θ = 17/8, cot θ = 8/15।

$\frac{\sin 30^\circ + \tan 45^\circ - \operatorname{cosec} 60^\circ}{\sec 30^\circ + \cos 60^\circ + \cot 45^\circ}$ का मान ज्ञात करो।

अंश 3/2 − 2/√3, हर 3/2 + 2/√3; 2√3 से गुणा: (3√3 − 4)/(3√3 + 4) = (43 − 24√3)/11।

सिद्ध करो कि $\frac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \frac{\cot\theta}{1 - \tan\theta} = 1 + \sec\theta\operatorname{cosec}\theta$।

t = tan θ रखो: t²/(t − 1) − 1/(t(t − 1)) = (t³ − 1)/(t(t − 1)) = (t² + t + 1)/t = 1 + t + 1/t = 1 + (sin²θ + cos²θ)/(sin θ cos θ) = 1 + sec θ $\operatorname{cosec}$ θ।

L = 60 ÷ sin 60° = 120/√3 = 40√3 मी।

75 cot 30° = 75√3 ≈ 129.9 मी।

h√3 − h/√3 = 40, इसलिए h = 40√3/2 = 20√3 मी।

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17. आँकड़ों की व्याख्या

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1 संख्या पद्धति 2 सरलीकरण और सन्निकटन 3 प्रतिशत 4 अनुपात और समानुपात 5 औसत 6 लाभ, हानि और बट्टा 7 साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज 8 समय और कार्य 9 पाइप और टंकी 10 चाल, समय और दूरी 11 नाव और धारा 12 मिश्रण और एलीगेशन 13 बीजगणित 14 ज्यामिति 15 क्षेत्रमिति 16 त्रिकोणमिति You are here 17 आँकड़ों की व्याख्या 18 क्रमचय और संचय 19 प्रायिकता 20 अभ्यास प्रश्नपत्र और मॉक टेस्ट

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