Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 1: संख्या पद्धति
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संख्याओं के प्रकार और विभाज्यता
संख्याओं के सभी परिवार पहचानो, अभाज्य संख्याएँ जल्दी पहचानो, बिना भाग दिए 2 से 12 तक की विभाज्यता जाँचो, और अभाज्य गुणनखंड से किसी भी संख्या के गुणनखंड गिनो।
What you will be able to do
- आप किसी भी संख्या को उसके परिवार में रख सकेंगे: प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय या अपरिमेय।
- आप जल्दी तय कर सकेंगे कि 400 तक की कोई संख्या अभाज्य है या नहीं।
- आप अंकों के नियमों से 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11 और 12 से विभाज्यता जाँच सकेंगे।
- आप अभाज्य गुणनखंड से किसी संख्या के गुणनखंडों की गिनती कर सकेंगे।
Key points
प्राकृत संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं; पूर्ण संख्याओं में 0 जुड़ता है; पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी जुड़ती हैं।
परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0; इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या दोहराता है।
√2 या π जैसी अपरिमेय संख्या का दशमलव न कभी समाप्त होता है, न दोहराता है।
अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं, 1 और वह स्वयं। 1 न अभाज्य है न भाज्य, और 2 एकमात्र सम अभाज्य है।
n अभाज्य है या नहीं, यह जाँचने के लिए केवल √n तक की अभाज्य संख्याओं से भाग दो।
100 से कम 25 अभाज्य संख्याएँ हैं: 50 तक 15, और 51 से 100 तक 10।
कोई संख्या 3 (या 9) से विभाज्य है जब उसके अंकों का योग 3 (या 9) से विभाज्य हो।
यदि अभाज्य रूप में n = a^p × b^q × c^r, तो n के (p + 1)(q + 1)(r + 1) गुणनखंड होते हैं।
Full explanation
दुकानदार का सवाल
रवि की मिठाई की दुकान है और उसके पास 360 लड्डू हैं। वह उन्हें बराबर डिब्बों में रखना चाहता है, एक भी बचे बिना। वह कितने अलग-अलग आकार के डिब्बे चुन सकता है?
इसका जवाब दस सेकंड में देने के लिए जानना होगा कि संख्याएँ कैसे बनती हैं। यही इस इकाई का विषय है, और लगभग हर अभियोग्यता परीक्षा का गणित भाग यहीं से शुरू होता है।
संख्याओं का परिवार
संख्याएँ एक-दूसरे के अंदर रहती हैं, जैसे डिब्बे के अंदर डिब्बा।
- प्राकृत संख्याएँ: 1, 2, 3, … (गिनती की संख्याएँ)
- पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, …
- पूर्णांक: … −2, −1, 0, 1, 2, …
- परिमेय संख्याएँ: जो $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखी जा सकें, जहाँ $q \neq 0$
- वास्तविक संख्याएँ: ऊपर की सभी और अपरिमेय संख्याएँ भी
परिमेय या अपरिमेय?
परिमेय संख्या का दशमलव या तो रुक जाता है ($\frac{3}{4} = 0.75$) या दोहराता है ($\frac{1}{3} = 0.333\ldots$)। अपरिमेय संख्या का दशमलव न रुकता है, न दोहराता है: $\sqrt{2} = 1.41421\ldots$, $\pi = 3.14159\ldots$
परीक्षा का जाल: $\frac{22}{7}$ परिमेय है। यह केवल $\pi$ का अनुमान है, और $\pi$ अपरिमेय है।
अभाज्य और भाज्य
अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह स्वयं। भाज्य संख्या के दो से अधिक।
- 1 न अभाज्य है, न भाज्य।
- 2 एकमात्र सम अभाज्य है।
- दो संख्याएँ सह-अभाज्य हैं जब उनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 हो, जैसे 8 और 15।
अभाज्य है या नहीं? वर्गमूल की जाँच
किसी संख्या $n$ को जाँचने के लिए केवल $\sqrt{n}$ तक की अभाज्य संख्याओं से भाग दो।
उदाहरण: क्या 221 अभाज्य है? $\sqrt{221}$ लगभग 15 से थोड़ा कम है, तो 2, 3, 5, 7, 11, 13 आज़माओ। 2 से 11 तक कोई भाग नहीं देता, पर $221 = 13 \times 17$। इसलिए 221 भाज्य है।
जो अभाज्य दिखती हैं पर हैं नहीं: 91, 119, 133, 143, 161, 187, 209, 221।
बिना भाग दिए विभाज्यता
हर नियम लंबा भाग करने के बजाय अंकों को देखता है।
हल किया उदाहरण: 11 का नियम
क्या 9,08,071 संख्या 11 से विभाज्य है?
दाईं ओर से अंक: 1, 7, 0, 8, 0, 9।
विषम स्थान: $1 + 0 + 0 = 1$। सम स्थान: $7 + 8 + 9 = 24$। अंतर: $24 - 1 = 23$।
23 न 0 है न 11 का गुणज, इसलिए संख्या 11 से विभाज्य नहीं है।
संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना
सबसे छोटी अभाज्य संख्या अलग करते जाओ, जब तक केवल अभाज्य न बचें। यही अभाज्य गुणनखंडन है।
गुणनखंड गिनना: रवि के पास वापस
यदि $n = a^p \times b^q \times c^r$, तो गुणनखंडों की संख्या $(p+1)(q+1)(r+1)$ है।
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$ के लिए: $(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$।
तो रवि के पास 24 डिब्बा आकार हैं, 1 वाले डिब्बे से लेकर 360 वाले एक डिब्बे तक।
परीक्षा के लिए शॉर्टकट
- अभाज्य जाँच: केवल $\sqrt{n}$ तक की अभाज्य संख्याएँ।
- 3 और 9: अंकों का योग।
- 4 और 8: अंतिम दो और अंतिम तीन अंक।
- 11: विषम स्थान घटा सम स्थान।
- मिले-जुले (6, 12, 15, 18): सह-अभाज्य भागों में तोड़कर हर एक जाँचो।
- गुणनखंड: हर घात में एक जोड़ो और गुणा करो।
Concepts and terms
1 से बड़ी वह संख्या जिसके गुणनखंड केवल 1 और वह स्वयं हों, जैसे 2, 3, 5, 7, 11।
1 से बड़ी वह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, जैसे 4, 9, 91 = 7 × 13।
दो संख्याएँ जिनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 हो, जैसे 8 और 15। इनमें से किसी का अभाज्य होना ज़रूरी नहीं।
किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना, जैसे 360 = 2³ × 3² × 5। 1 से बड़ी हर संख्या का यह रूप एक ही होता है, गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर।
Did you know
2 से बड़ी हर सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग लगती है (गोल्डबाख, 1742)। अब तक कोई इसे सिद्ध नहीं कर पाया।
ऑनलाइन भुगतान और पासवर्ड इसी बात से सुरक्षित रहते हैं कि दो बहुत बड़ी अभाज्य संख्याओं को गुणा करना आसान है, पर वापस तोड़ना बहुत कठिन।
Memory tricks
50 तक अभाज्य — 4-4-2-2-3 — 50 तक दस-दस के हर खंड में अभाज्य गिनो: 4, 4, 2, 2, 3, यानी कुल 15।
11 का नियम — विषम घटा सम — विषम स्थानों के अंक जोड़ो, सम स्थानों के अंक जोड़ो, घटाओ। 0 या 11 का गुणज आए तो विभाज्य है।
Practice MCQs with answers (73)
- A 91
- B 221
- C 247
- D 283
Show answer
Why:
283 का √283 तक कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं, इसलिए यह अभाज्य है। बाक़ी टूट जाती हैं: 91 = 7×13, 221 = 13×17, 247 = 13×19।
- A 137
- B 203
- C 161
- D 119
Show answer
Why:
137 का √137 तक कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं, इसलिए यह अभाज्य है। बाक़ी टूट जाती हैं: 161 = 7×23, 119 = 7×17, 203 = 7×29।
- A 187
- B 181
- C 221
- D 119
Show answer
Why:
181 का √181 तक कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं, इसलिए यह अभाज्य है। बाक़ी टूट जाती हैं: 187 = 11×17, 221 = 13×17, 119 = 7×17।
- A 161
- B 299
- C 257
- D 253
Show answer
Why:
257 का √257 तक कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं, इसलिए यह अभाज्य है। बाक़ी टूट जाती हैं: 161 = 7×23, 299 = 13×23, 253 = 11×23।
- A 133
- B 289
- C 377
- D 331
Show answer
Why:
331 का √331 तक कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं, इसलिए यह अभाज्य है। बाक़ी टूट जाती हैं: 289 = 17², 377 = 13×29, 133 = 7×19।
- A 311
- B 247
- C 323
- D 377
Show answer
Why:
311 का √311 तक कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं, इसलिए यह अभाज्य है। बाक़ी टूट जाती हैं: 377 = 13×29, 247 = 13×19, 323 = 17×19।
- A 71
- B 391
- C 149
- D 271
Show answer
Why:
391 = 17 × 23, इसलिए यह भाज्य है। बाक़ी तीनों अभाज्य हैं।
- A 347
- B 191
- C 377
- D 223
Show answer
Why:
377 = 13 × 29। बाक़ी तीनों का 1 और स्वयं के अलावा कोई गुणनखंड नहीं।
- A 337
- B 59
- C 103
- D 341
Show answer
Why:
341 = 11 × 31। बाक़ी तीनों का 1 और स्वयं के अलावा कोई गुणनखंड नहीं।
- A 15
- B 13
- C 14
- D 16
Show answer
Why:
वे हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47: कुल 15।
- A 12
- B 10
- C 9
- D 11
Show answer
Why:
वे हैं 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97: कुल 10।
- A 24
- B 26
- C 25
- D 23
Show answer
Why:
वे हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97: कुल 25।
- A 11
- B 12
- C 9
- D 10
Show answer
Why:
वे हैं 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149: कुल 10।
- A 10
- B 9
- C 11
- D 8
Show answer
Why:
वे हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29: कुल 10।
- A 2
- B 0
- C 9
- D 3
Show answer
Why:
ज्ञात अंकों का योग 18 है। कुल योग 9 का गुणज होना चाहिए, और ऐसा करने वाला सबसे छोटा अंक 0 है (18 + 0 = 18)।
- A 1
- B 7
- C 0
- D 9
Show answer
Why:
ज्ञात अंकों का योग 18 है। कुल योग 9 का गुणज होना चाहिए, और ऐसा करने वाला सबसे छोटा अंक 0 है (18 + 0 = 18)।
- A 9
- B 2
- C 7
- D 0
Show answer
Why:
ज्ञात अंकों का योग 12 है। कुल योग 3 का गुणज होना चाहिए, और ऐसा करने वाला सबसे छोटा अंक 0 है (12 + 0 = 12)।
- A 1
- B 9
- C 2
- D 8
Show answer
Why:
ज्ञात अंकों का योग 17 है। कुल योग 9 का गुणज होना चाहिए, और ऐसा करने वाला सबसे छोटा अंक 1 है (17 + 1 = 18)।
- A 7
- B 2
- C 6
- D 1
Show answer
Why:
ज्ञात अंकों का योग 22 है। कुल योग 3 का गुणज होना चाहिए, और ऐसा करने वाला सबसे छोटा अंक 2 है (22 + 2 = 24)।
- A 1
- B 6
- C 2
- D 8
Show answer
Why:
ज्ञात अंकों का योग 16 है। कुल योग 9 का गुणज होना चाहिए, और ऐसा करने वाला सबसे छोटा अंक 2 है (16 + 2 = 18)।
- A लंबे भाग के बिना तय नहीं किया जा सकता
- B नहीं, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज नहीं है
- C नहीं, क्योंकि संख्या सम है
- D हाँ, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज है
Show answer
Why:
दाईं ओर से विषम स्थानों का योग 14 और सम स्थानों का 14 है; अंतर 0 है, जो 0 या 11 का गुणज है।
- A नहीं, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज नहीं है
- B लंबे भाग के बिना तय नहीं किया जा सकता
- C हाँ, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज है
- D हाँ, क्योंकि इसके अंकों का योग विषम है
Show answer
Why:
दाईं ओर से विषम स्थानों का योग 14 और सम स्थानों का 7 है; अंतर 7 है, जो 0 या 11 का गुणज नहीं है।
- A लंबे भाग के बिना तय नहीं किया जा सकता
- B हाँ, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज है
- C नहीं, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज नहीं है
- D नहीं, क्योंकि संख्या विषम है
Show answer
Why:
दाईं ओर से विषम स्थानों का योग 11 और सम स्थानों का 11 है; अंतर 0 है, जो 0 या 11 का गुणज है।
- A हाँ, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज है
- B हाँ, क्योंकि इसके अंकों का योग विषम है
- C नहीं, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज नहीं है
- D लंबे भाग के बिना तय नहीं किया जा सकता
Show answer
Why:
दाईं ओर से विषम स्थानों का योग 17 और सम स्थानों का 12 है; अंतर 5 है, जो 0 या 11 का गुणज नहीं है।
- A नहीं, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज नहीं है
- B नहीं, क्योंकि संख्या विषम है
- C लंबे भाग के बिना तय नहीं किया जा सकता
- D हाँ, स्थानों के योग का अंतर 11 का गुणज है
Show answer
Why:
दाईं ओर से विषम स्थानों का योग 10 और सम स्थानों का 10 है; अंतर 0 है, जो 0 या 11 का गुणज है।
- A 1
- B 6
- C 0
- D 3
Show answer
Why:
★ = 1 रखने पर 8217 = 11 × 747।
- A 0
- B 1
- C 4
- D 6
Show answer
Why:
★ = 1 रखने पर 96129 = 11 × 8739।
- A 4
- B 3
- C 9
- D 5
Show answer
Why:
★ = 9 रखने पर 28919 = 11 × 2629।
- A 3
- B 1
- C 9
- D 4
Show answer
Why:
★ = 4 रखने पर 86416 = 11 × 7856।
- A 580656
- B 672356
- C 683122
- D 433813
Show answer
Why:
केवल अंतिम 3 अंक देखने होते हैं: 656, 8 का गुणज है; बाक़ी नहीं।
- A 358030
- B 152024
- C 706254
- D 459259
Show answer
Why:
केवल अंतिम 2 अंक देखने होते हैं: 24, 4 का गुणज है; बाक़ी नहीं।
- A 560074
- B 559819
- C 799048
- D 875874
Show answer
Why:
केवल अंतिम 3 अंक देखने होते हैं: 048, 8 का गुणज है; बाक़ी नहीं।
- A 531821
- B 799702
- C 387450
- D 574032
Show answer
Why:
केवल अंतिम 2 अंक देखने होते हैं: 32, 4 का गुणज है; बाक़ी नहीं।
- A 91716
- B 9071
- C 5666
- D 84334
Show answer
Why:
6 = 2 × 3, दो सह-अभाज्य भाग। केवल 91716 दोनों जाँच पास करती है।
- A 55676
- B 94536
- C 20241
- D 62546
Show answer
Why:
12 = 3 × 4, दो सह-अभाज्य भाग। केवल 94536 दोनों जाँच पास करती है।
- A 76613
- B 87477
- C 17895
- D 64047
Show answer
Why:
15 = 3 × 5, दो सह-अभाज्य भाग। केवल 17895 दोनों जाँच पास करती है।
- A 2403
- B 99589
- C 94454
- D 93798
Show answer
Why:
18 = 2 × 9, दो सह-अभाज्य भाग। केवल 93798 दोनों जाँच पास करती है।
- A 12
- B 6
- C 14
- D 10
Show answer
Why:
$72 = 2^{3} × 3^{2}$, इसलिए संख्या $(3+1) \times (2+1) = 12$ है।
- A 16
- B 18
- C 6
- D 20
Show answer
Why:
$180 = 2^{2} × 3^{2} × 5$, इसलिए संख्या $(2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 18$ है।
- A 7
- B 18
- C 16
- D 14
Show answer
Why:
$1000 = 2^{3} × 5^{3}$, इसलिए संख्या $(3+1) \times (3+1) = 16$ है।
- A 18
- B 11
- C 7
- D 9
Show answer
Why:
$256 = 2^{8}$, इसलिए संख्या $(8+1) = 9$ है।
- A 24
- B 22
- C 6
- D 26
Show answer
Why:
$420 = 2^{2} × 3 × 5 × 7$, इसलिए संख्या $(2+1) \times (1+1) \times (1+1) \times (1+1) = 24$ है।
- A 30
- B 32
- C 6
- D 34
Show answer
Why:
$2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11$, इसलिए संख्या $(1+1) \times (1+1) \times (1+1) \times (1+1) \times (1+1) = 32$ है।
- A 14
- B 10
- C 12
- D 7
Show answer
Why:
$96 = 2^{5} × 3$, इसलिए संख्या $(5+1) \times (1+1) = 12$ है।
- A -1
- B 1/2
- C 1
- D 0
Show answer
Why:
पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, … हैं और प्राकृत 1 से शुरू होती हैं, इसलिए केवल 0।
- A √5
- B 0.125
- C √16
- D 22/7
Show answer
Why:
√16 = 4, 22/7 भिन्न है और 0.125 = 1/8। √5 न समाप्त होता है न दोहराता है।
- A सबसे छोटी भाज्य है
- B न अभाज्य है न भाज्य
- C अभाज्य और भाज्य दोनों है
- D सबसे छोटी अभाज्य है
Show answer
Why:
अभाज्य को दो और भाज्य को दो से अधिक गुणनखंड चाहिए; 1 का केवल एक है।
- A 14 और 21
- B 12 और 18
- C 16 और 27
- D 15 और 25
Show answer
Why:
16 = 2⁴ और 27 = 3³ में कोई अभाज्य साझा नहीं। 14, 21 में 7; 12, 18 में 6; 15, 25 में 5 साझा है।
- A 6
- B 1
- C 2
- D 4
Show answer
Why:
2 और 3 अभाज्य हैं और 1 दोनों में से कोई नहीं। 4 = 2 × 2 पहली भाज्य है।
- A 0.474747…
- B 3.1415926535…
- C 1.4142135…
- D 0.101001000100001…
Show answer
Why:
0.474747… में "47" दोहराता है, इसलिए यह 47/99 है। बाक़ी कभी नहीं दोहराते।
- A 49 और 51
- B 59 और 61
- C 87 और 89
- D 91 और 93
Show answer
Why:
59 और 61 दोनों अभाज्य हैं। 49 = 7², 87 = 3 × 29, 91 = 7 × 13।
- A 127
- B 131
- C 129
- D 158
Show answer
Why:
2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129।
- A ठीक दो
- B अनगिनत
- C कोई नहीं
- D ठीक एक
Show answer
Why:
केवल 2; हर बड़ी सम संख्या का 2 एक गुणनखंड है।
- A 12
- B 10
- C 8
- D 24
Show answer
Why:
वह LCM(4, 6) = 12 से विभाज्य होगी, 24 से नहीं: 12 स्वयं 4 और 6 से विभाज्य है पर 24 से नहीं।
- A 9
- B 6
- C 5
- D 4
Show answer
Why:
तीन क्रमागत संख्याओं में एक 3 का गुणज होती है और कम-से-कम एक सम, इसलिए गुणनफल 6 से सदा विभाज्य है।
- A यह प्राकृत संख्या है
- B यह अपरिमेय है
- C यह पूर्णांक और परिमेय संख्या है
- D यह पूर्ण संख्या है
Show answer
Why:
ऋणात्मक संख्याएँ पूर्णांक हैं पर पूर्ण या प्राकृत नहीं; −8 = −8/1, इसलिए परिमेय है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
दोनों सत्य, और R ही कारण है: केवल 6k ± 1 ही संभावित बचते हैं। (हर 6k ± 1 अभाज्य नहीं, जैसे 25।)
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
0 = 0/1, इसलिए A सत्य है; R भी सत्य है, पर व्युत्क्रम न होना यह नहीं समझाता कि 0 परिमेय क्यों है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
कथन 1 सत्य है। कथन 2, 0 के लिए ग़लत है, जो पूर्ण है पर प्राकृत नहीं।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
(2 + √3) + (2 − √3) = 4 कथन 1 को ग़लत करता है। कथन 2 सदा सही है।
- A 30
- B 7
- C 18
- D 24
Show answer
Why:
पत्तियों से 504 = 2^3 × 3^2 × 7, इसलिए संख्या 4 × 3 × 2 = 24।
- A 36
- B 42
- C 7
- D 30
Show answer
Why:
पत्तियों से 1260 = 2^2 × 3^2 × 5 × 7, इसलिए संख्या 3 × 3 × 2 × 2 = 36।
- A पूर्ण संख्याएँ
- B पूर्णांक
- C प्राकृत संख्याएँ
- D केवल वास्तविक संख्याएँ
Show answer
Why:
−7 ऋणात्मक है, इसलिए पूर्ण या प्राकृत नहीं; जिस पहले खाने में यह आता है वह पूर्णांक है।
- A 12
- B 3
- C 6
- D 4
Show answer
Why:
हर आयत 12 का एक गुणनखंड जोड़ा है: 1×12, 2×6, 3×4, 4×3, 6×2, 12×1, यानी 6, जो 12 के गुणनखंडों की संख्या है।
- A D
- B A
- C B
- D C
Show answer
Why:
111 = 3 × 37, 117 = 3² × 13, 133 = 7 × 19। 127 का 11 तक कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं, इसलिए यह अभाज्य है।
- A 16
- B 8
- C 14
- D 18
Show answer
Why:
हर पंक्ति-आकार 120 का एक गुणनखंड है, और 120 के 16 गुणनखंड हैं।
- A 10
- B 12
- C 14
- D 6
Show answer
Why:
हर पंक्ति-आकार 84 का एक गुणनखंड है, और 84 के 12 गुणनखंड हैं।
- A 18
- B 22
- C 20
- D 10
Show answer
Why:
हर पंक्ति-आकार 240 का एक गुणनखंड है, और 240 के 20 गुणनखंड हैं।
- A 2500
- B 1325
- C 1225
- D 1275
Show answer
Why:
$\frac{n(n+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = 1275$।
- A 5050
- B 4950
- C 10000
- D 5150
Show answer
Why:
$\frac{n(n+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$।
- A 900
- B 465
- C 495
- D 435
Show answer
Why:
$\frac{n(n+1)}{2} = \frac{30 \times 31}{2} = 465$।
- A 420
- B 399
- C 400
- D 800
Show answer
Why:
पहली n विषम संख्याओं का योग $n^2 = 400$ होता है।
- A 2450
- B 1260
- C 1224
- D 1225
Show answer
Why:
पहली n विषम संख्याओं का योग $n^2 = 1225$ होता है।
Important short questions (4)
√437 लगभग 21 से कम है, तो 19 तक की अभाज्य से जाँचो। 437 ÷ 19 = 23, इसलिए 437 = 19 × 23 भाज्य है।
ज्ञात अंक: 6 + 5 + 3 + 1 + 2 = 17। 9 का अगला गुणज 18 है, इसलिए ★ = 1।
2,000 = 2⁴ × 5³, इसलिए (4 + 1)(3 + 1) = 20 गुणनखंड।
मान लो x = 0.3636…। तब 100x = 36.3636…, तो 99x = 36 और x = 36/99 = 4/11।
Long answer questions (1)
हमें (a + 1)(b + 1) = 12 चाहिए, a, b ≥ 1: (a, b) = (1, 5), (5, 1), (2, 3), (3, 2)।
2 × 3⁵ = 486, 2⁵ × 3 = 96, 2² × 3³ = 108, 2³ × 3² = 72।
केवल 96 और 72, 100 से कम हैं, इसलिए N = 72 या 96।
Flashcards (15)
Play this topic
- अभाज्य या नहीं?
- संख्या को उसके परिवार से मिलाओ
म.स. (HCF) और ल.स. (LCM)
अभाज्य गुणनखंड और भाग विधि से HCF और LCM निकालो, HCF × LCM = गुणनफल का उपयोग करो, भिन्नों के HCF-LCM निकालो, और शब्द-प्रश्न पहचानो: सबसे बड़े टुकड़ों में काटना HCF है, फिर से साथ मिलना LCM है।
What you will be able to do
- आप अभाज्य गुणनखंड से दो या तीन संख्याओं का HCF और LCM निकाल सकेंगे।
- आप HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल से छूटी संख्या निकाल सकेंगे।
- आप भिन्नों का HCF और LCM निकाल सकेंगे।
- आप पहचान सकेंगे कि शब्द-प्रश्न में HCF चाहिए या LCM।
Key points
HCF (महत्तम समापवर्तक) वह सबसे बड़ी संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं को बाँटे।
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) वह सबसे छोटी संख्या है जिसे सभी दी गई संख्याएँ बाँटें।
HCF: सभी संख्याओं में साझा अभाज्य लो, हर एक की सबसे कम घात के साथ।
LCM: हर आने वाला अभाज्य लो, हर एक की सबसे अधिक घात के साथ।
केवल दो संख्याओं के लिए, HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल।
HCF सदा LCM को बाँटता है, और सह-अभाज्य संख्याओं का HCF 1 होता है।
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM; भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF।
“सबसे बड़ा आकार, काटना, ठीक भरना” HCF की ओर; “फिर से साथ, सबसे छोटी संख्या, हर” LCM की ओर इशारा करते हैं।
Full explanation
दो घंटियाँ, एक सवाल
मंदिर की घंटी हर 4 मिनट और स्कूल की घंटी हर 6 मिनट पर बजती है। 8:00 बजे दोनों साथ बजीं। फिर कब साथ बजेंगी?
एक दर्ज़ी के पास 36 मी और 60 मी कपड़ा है और वह बिना बर्बादी के सबसे लंबे बराबर टुकड़े चाहता है। हर टुकड़ा कितना लंबा होगा?
पहला सवाल LCM का है और दूसरा HCF का। इस टॉपिक के अंत तक तुम एक बार पढ़कर ही इन्हें अलग पहचान लोगे।
HCF और LCM का अर्थ
- 36 और 60 का HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को बाँटे: 12।
- 36 और 60 का LCM वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दोनों बाँटें: 180।
HCF कभी छोटी संख्या से बड़ा नहीं होता, और LCM कभी बड़ी संख्या से छोटा नहीं होता।
अभाज्य गुणनखंड विधि
दोनों संख्याओं को अभाज्य में लिखो: $36 = 2^2 \times 3^2$ और $60 = 2^2 \times 3 \times 5$।
- HCF: साझा अभाज्य, सबसे कम घात: $2^2 \times 3 = 12$।
- LCM: सारे अभाज्य, सबसे अधिक घात: $2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$।
HCF की भाग विधि
बड़ी संख्याओं के लिए बार-बार भाग दो।
$391 = 1 \times 323 + 68$, $323 = 4 \times 68 + 51$, $68 = 1 \times 51 + 17$, $51 = 3 \times 17 + 0$।
अंतिम भाजक 17 है, इसलिए HCF(391, 323) = 17।
गुणनफल का नियम
दो संख्याओं के लिए, HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल।
हल किया उदाहरण: छूटी संख्या
दो संख्याओं का HCF 16 और LCM 192 है। एक संख्या 48 है। दूसरी ज्ञात करो।
$\text{दूसरी} = \frac{16 \times 192}{48} = 64$।
जाँच: HCF(48, 64) = 16 और LCM(48, 64) = 192। सही।
भिन्नों का HCF और LCM
$\text{HCF} = \frac{\text{अंशों का HCF}}{\text{हरों का LCM}}$, $\text{LCM} = \frac{\text{अंशों का LCM}}{\text{हरों का HCF}}$।
$\frac{2}{3}$ और $\frac{4}{9}$ के लिए: HCF $= \frac{2}{9}$ और LCM $= \frac{4}{3}$।
शब्द-प्रश्न: काटना या मिलना?
घंटियों पर लौटो: 4 और 6 मिनट LCM = 12 मिनट पर मिलते हैं, इसलिए वे फिर 8:12 पर साथ बजेंगी।
दर्ज़ी और टाइलें
दर्ज़ी को वह सबसे बड़ी लंबाई चाहिए जो 36 और 60 दोनों को बाँटे: HCF = 12 मी, यानी 3 + 5 = 8 टुकड़े।
यही विचार फ़र्श को सबसे बड़ी वर्गाकार टाइलों से भरने में है: 12 × 18 फ़र्श पर टाइल की भुजा HCF(12, 18) = 6 होगी।
शेषफल वाले सवाल
- वह सबसे छोटी संख्या जो $a$, $b$, $c$ से भाग देने पर शेष $r$ छोड़े: $\text{LCM}(a, b, c) + r$।
- वह सबसे बड़ी संख्या जो $x$, $y$, $z$ को भाग देकर हर बार शेष $r$ छोड़े: $\text{HCF}(x - r, y - r, z - r)$।
Concepts and terms
वह सबसे बड़ी संख्या जो हर दी गई संख्या को पूरा बाँटे। HCF(36, 60) = 12।
वह सबसे छोटी संख्या जिसे हर दी गई संख्या पूरा बाँटे। LCM(36, 60) = 180।
दो संख्याओं a और b के लिए HCF × LCM = a × b। तीन संख्याओं पर यह लागू नहीं होता।
बड़ी को छोटी से भाग दो, फिर भाजक को शेषफल से, जब तक शेष 0 न हो। अंतिम भाजक HCF है।
Did you know
यूक्लिड ने HCF की भाग विधि लगभग 2,300 साल पहले बताई थी, और कंप्यूटर आज भी इसका उपयोग करते हैं।
Memory tricks
कौन-सी घात? — HCF छोटी, LCM बड़ी — HCF हर साझा अभाज्य की सबसे कम घात लेता है; LCM हर अभाज्य की सबसे अधिक घात।
शब्द-प्रश्न — काटो = HCF, मिलो = LCM — चीज़ों को सबसे बड़े बराबर भागों में काटना HCF है; घटनाओं का दोहराकर फिर साथ मिलना LCM है।
Practice MCQs with answers (69)
- A 42
- B 84
- C 21
- D 252
Show answer
Why:
84 = 2² × 3 × 7 और 126 = 2 × 3² × 7; साझा अभाज्यों की न्यूनतम घात से 42 मिलता है।
- A 96
- B 48
- C 24
- D 288
Show answer
Why:
96 = 2⁵ × 3 और 144 = 2⁴ × 3²; साझा अभाज्यों की न्यूनतम घात से 48 मिलता है।
- A 675
- B 90
- C 45
- D 48
Show answer
Why:
135 = 3³ × 5 और 225 = 3² × 5²; साझा अभाज्यों की न्यूनतम घात से 45 मिलता है।
- A 26
- B 624
- C 104
- D 52
Show answer
Why:
156 = 2² × 3 × 13 और 208 = 2⁴ × 13; साझा अभाज्यों की न्यूनतम घात से 52 मिलता है।
- A 17
- B 20
- C 7429
- D 34
Show answer
Why:
391 = 17 × 23 और 323 = 17 × 19; साझा अभाज्यों की न्यूनतम घात से 17 मिलता है।
- A 154
- B 77
- C 80
- D 5005
Show answer
Why:
1001 = 7 × 11 × 13 और 385 = 5 × 7 × 11; साझा अभाज्यों की न्यूनतम घात से 77 मिलता है।
- A 34
- B 1360
- C 68
- D 136
Show answer
Why:
272 = 2⁴ × 17 और 340 = 2² × 5 × 17; साझा अभाज्यों की न्यूनतम घात से 68 मिलता है।
- A 72
- B 18
- C 1260
- D 36
Show answer
Why:
180 = 2² × 3² × 5 और 252 = 2² × 3² × 7; साझा अभाज्यों की न्यूनतम घात से 36 मिलता है।
- A 36
- B 72
- C 216
- D 18
Show answer
Why:
12 = 2² × 3 और 18 = 2 × 3²; हर अभाज्य की अधिकतम घात से 36 मिलता है।
- A 70
- B 140
- C 280
- D 700
Show answer
Why:
20 = 2² × 5 और 35 = 5 × 7; हर अभाज्य की अधिकतम घात से 140 मिलता है।
- A 60
- B 240
- C 120
- D 960
Show answer
Why:
24 = 2³ × 3 और 40 = 2³ × 5; हर अभाज्य की अधिकतम घात से 120 मिलता है।
- A 3024
- B 126
- C 504
- D 252
Show answer
Why:
36 = 2² × 3² और 84 = 2² × 3 × 7; हर अभाज्य की अधिकतम घात से 252 मिलता है।
- A 180
- B 360
- C 2700
- D 90
Show answer
Why:
45 = 3² × 5 और 60 = 2² × 3 × 5; हर अभाज्य की अधिकतम घात से 180 मिलता है।
- A 168
- B 84
- C 1176
- D 42
Show answer
Why:
28 = 2² × 7 और 42 = 2 × 3 × 7; हर अभाज्य की अधिकतम घात से 84 मिलता है।
- A 60
- B 480
- C 120
- D 240
Show answer
Why:
2³, 2² × 3, 2² × 5 में हर अभाज्य की अधिकतम घात से 120।
- A 105
- B 630
- C 420
- D 210
Show answer
Why:
2 × 3, 3 × 5, 3 × 7 में हर अभाज्य की अधिकतम घात से 210।
- A 144
- B 72
- C 3456
- D 288
Show answer
Why:
2⁴, 2³ × 3, 2² × 3² में हर अभाज्य की अधिकतम घात से 144।
- A 360
- B 180
- C 90
- D 540
Show answer
Why:
3², 2² × 3, 3 × 5 में हर अभाज्य की अधिकतम घात से 180।
- A 36
- B 24
- C 12
- D 6
Show answer
Why:
2⁴ × 3, 2³ × 3², 2² × 3³: तीनों में साझा अभाज्य, न्यूनतम घात: 12।
- A 6
- B 36
- C 24
- D 12
Show answer
Why:
2³ × 3 × 5, 2⁴ × 3², 2² × 3 × 17: तीनों में साझा अभाज्य, न्यूनतम घात: 12।
- A 18
- B 36
- C 9
- D 54
Show answer
Why:
2² × 3², 2 × 3³, 2 × 3² × 5: तीनों में साझा अभाज्य, न्यूनतम घात: 18।
- A 12
- B 64
- C 80
- D 96
Show answer
Why:
दूसरी = HCF × LCM ÷ दी गई = 16 × 192 ÷ 48 = 64।
- A 96
- B 21
- C 84
- D 48
Show answer
Why:
दूसरी = HCF × LCM ÷ दी गई = 12 × 252 ÷ 36 = 84।
- A 15
- B 28
- C 42
- D 35
Show answer
Why:
दूसरी = HCF × LCM ÷ दी गई = 7 × 105 ÷ 21 = 35।
- A 77
- B 88
- C 21
- D 44
Show answer
Why:
दूसरी = HCF × LCM ÷ दी गई = 11 × 231 ÷ 33 = 77।
- A 90
- B 75
- C 15
- D 60
Show answer
Why:
दूसरी = HCF × LCM ÷ दी गई = 15 × 225 ÷ 45 = 75।
- A 4860
- B 30
- C 2430
- D 279
Show answer
Why:
गुणनफल = HCF × LCM = 9 × 270 = 2430।
- A 2160
- B 30
- C 186
- D 1080
Show answer
Why:
गुणनफल = HCF × LCM = 6 × 180 = 1080।
- A 60
- B 12
- C 300
- D 120
Show answer
Why:
संख्याएँ 3 × 5 = 15 और 4 × 5 = 20 हैं; 3 और 4 सह-अभाज्य हैं, इसलिए LCM = 3 × 4 × 5 = 60।
- A 1440
- B 120
- C 240
- D 10
Show answer
Why:
संख्याएँ 2 × 12 = 24 और 5 × 12 = 60 हैं; 2 और 5 सह-अभाज्य हैं, इसलिए LCM = 2 × 5 × 12 = 120।
- A 28
- B 1008
- C 168
- D 336
Show answer
Why:
संख्याएँ 4 × 6 = 24 और 7 × 6 = 42 हैं; 4 और 7 सह-अभाज्य हैं, इसलिए LCM = 4 × 7 × 6 = 168।
- A 30
- B 1920
- C 480
- D 240
Show answer
Why:
संख्याएँ 5 × 8 = 40 और 6 × 8 = 48 हैं; 5 और 6 सह-अभाज्य हैं, इसलिए LCM = 5 × 6 × 8 = 240।
- A 2/9
- B 4/9
- C 4/3
- D 2/3
Show answer
Why:
HCF = HCF(2, 4) ÷ LCM(3, 9) = 2/9।
- A 2/9
- B 4/3
- C 4/9
- D 2/3
Show answer
Why:
LCM = LCM(2, 4) ÷ HCF(3, 9) = 4/3।
- A 9/16
- B 9/4
- C 3/16
- D 3/4
Show answer
Why:
HCF = HCF(3, 9) ÷ LCM(4, 16) = 3/16।
- A 3/4
- B 3/16
- C 9/16
- D 9/4
Show answer
Why:
LCM = LCM(3, 9) ÷ HCF(4, 16) = 9/4।
- A 5/18
- B 10/3
- C 5/3
- D 5/9
Show answer
Why:
HCF = HCF(5, 10) ÷ LCM(6, 9) = 5/18।
- A 5/9
- B 10/3
- C 5/3
- D 5/18
Show answer
Why:
LCM = LCM(5, 10) ÷ HCF(6, 9) = 10/3।
- A 2/5
- B 12/25
- C 2/25
- D 12/5
Show answer
Why:
HCF = HCF(4, 6) ÷ LCM(5, 25) = 2/25।
- A 2/5
- B 2/25
- C 12/25
- D 12/5
Show answer
Why:
LCM = LCM(4, 6) ÷ HCF(5, 25) = 12/5।
- A 24
- B 48
- C 192
- D 2
Show answer
Why:
दोहराती घटनाएँ LCM पर मिलती हैं: LCM(4, 6, 8) = 24।
- A 120
- B 60
- C 3600
- D 1
Show answer
Why:
दोहराती घटनाएँ LCM पर मिलती हैं: LCM(12, 15, 20) = 60।
- A 720
- B 12960
- C 360
- D 6
Show answer
Why:
दोहराती घटनाएँ LCM पर मिलती हैं: LCM(18, 24, 30) = 360।
- A 3
- B 180
- C 810
- D 90
Show answer
Why:
दोहराती घटनाएँ LCM पर मिलती हैं: LCM(6, 9, 15) = 90।
- A 12
- B 6
- C 24
- D 840
Show answer
Why:
हर मात्रा में ठीक-ठीक बैठने वाला सबसे बड़ा माप HCF है: HCF(84, 120) = 12।
- A 5460
- B 10
- C 5
- D 20
Show answer
Why:
हर मात्रा में ठीक-ठीक बैठने वाला सबसे बड़ा माप HCF है: HCF(420, 130) = 10।
- A 24
- B 96
- C 48
- D 3360
Show answer
Why:
हर मात्रा में ठीक-ठीक बैठने वाला सबसे बड़ा माप HCF है: HCF(96, 240, 336) = 48।
- A 540
- B 5400
- C 135
- D 270
Show answer
Why:
हर मात्रा में ठीक-ठीक बैठने वाला सबसे बड़ा माप HCF है: HCF(1350, 1080) = 270।
- A 27
- B 24
- C 51
- D 21
Show answer
Why:
LCM(4, 6, 8) = 24; शेष जोड़ो: 24 + 3 = 27।
- A 182
- B 92
- C 88
- D 90
Show answer
Why:
LCM(5, 6, 9) = 90; शेष जोड़ो: 90 + 2 = 92।
- A 180
- B 367
- C 187
- D 173
Show answer
Why:
LCM(12, 15, 18) = 180; शेष जोड़ो: 180 + 7 = 187।
- A 1
- B 12
- C 6
- D 4
Show answer
Why:
अंतरों का उपयोग करो: HCF(48, 92) = 4।
- A 1120
- B 1122
- C 5
- D 3360
Show answer
Why:
अंतरों का उपयोग करो: HCF(3360, 2240) = 1120।
- A 45
- B 15
- C 17
- D 1
Show answer
Why:
अंतरों का उपयोग करो: HCF(60, 135) = 15।
- A 12
- B 1
- C 6
- D 11
Show answer
Why:
शेष घटाओ: HCF(60, 132, 234) = 6।
- A 143
- B 276
- C 1
- D 138
Show answer
Why:
शेष घटाओ: HCF(276, 1242) = 138।
- A 1
- B 0
- C उनका गुणनफल
- D छोटी संख्या
Show answer
Why:
सह-अभाज्य का अर्थ है एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1।
- A HCF 5, LCM 100
- B HCF 12, LCM 100
- C HCF 8, LCM 96
- D HCF 12, LCM 72
Show answer
Why:
HCF को LCM का भाजक होना चाहिए; 12, 100 को नहीं बाँटता।
- A 2n + 1
- B n + 1
- C n(n + 1)
- D 1
Show answer
Why:
क्रमागत संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं, इसलिए LCM गुणनफल है।
- A 1 और ab
- B a और ab
- C b और a
- D a और b
Show answer
Why:
a सबसे बड़ा साझा भाजक है और b पहले से a का गुणज है।
- A “फिर से साथ”
- B “बराबर काटना”
- C “सबसे बड़ा टुकड़ा”
- D “सबसे बड़ी लंबाई”
Show answer
Why:
दोहराती घटनाओं का फिर मिलना LCM है; बाक़ी HCF के संकेत हैं।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
न्यूनतम घात + अधिकतम घात = दोनों घातें, इसलिए HCF और LCM का गुणनफल a × b बना देता है। R, A को समझाता है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
2 × 24 = 48, पर 4 × 6 × 8 = 192, इसलिए A असत्य है; R सत्य है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
1 सदा सही है। 2 तब ग़लत है जब एक संख्या दूसरी को बाँटे: LCM(4, 8) = 8, जो 8 से बड़ा नहीं।
- A 24
- B 12
- C 6
- D 720
Show answer
Why:
बीच के साझा भाग का गुणा: 2 × 2 × 3 = 12।
- A 12
- B 1440
- C 720
- D 8640
Show answer
Why:
चित्र की हर संख्या एक बार गुणा करो: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 720।
- A 15
- B 450
- C 60
- D 30
Show answer
Why:
बीच के साझा भाग का गुणा: 2 × 3 × 5 = 30।
- A 450
- B 13500
- C 30
- D 900
Show answer
Why:
चित्र की हर संख्या एक बार गुणा करो: 3 × 2 × 3 × 5 × 5 = 450।
- A 48
- B 24
- C 32
- D 12
Show answer
Why:
LCM(12, 8) = 24, इसलिए तीनों 24 मिनट पर साथ बजेंगी।
Important short questions (4)
391 = 1 × 323 + 68; 323 = 4 × 68 + 51; 68 = 1 × 51 + 17; 51 = 3 × 17। HCF = 17।
दूसरी = 6 × 180 ÷ 36 = 30। जाँच: HCF(36, 30) = 6, LCM = 180।
LCM(6, 9, 12) = 36, इसलिए संख्या 36 + 5 = 41।
HCF सदा LCM को बाँटता है, और 15, 100 को नहीं बाँटता।
Long answer questions (1)
(a) LCM(36, 48, 60): 36 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3, 60 = 2² × 3 × 5, इसलिए LCM = 2⁴ × 3² × 5 = 720 से = 12 मिनट।
(b) 720 ÷ 36 = 20, 720 ÷ 48 = 15, 720 ÷ 60 = 12 चक्कर।
Flashcards (15)
Play this topic
- HCF या LCM?
शेषफल, इकाई अंक और अंत के शून्य
चक्रों से बड़ी घातों का इकाई अंक निकालो, गुणनफल और घातों के शेषफल निकालो, भाग से संख्या फिर बनाओ, भाजक के भीतर भाजक वाले सवाल हल करो, और n! के अंत के शून्य गिनो।
What you will be able to do
- आप चक्र से किसी बड़ी घात का इकाई अंक निकाल सकेंगे।
- आप पूरा गुणा किए बिना गुणनफल या घात का शेषफल निकाल सकेंगे।
- आप भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल को दोनों ओर से उपयोग कर सकेंगे।
- आप n! के अंत के शून्य गिन सकेंगे।
Key points
गुणनफल या घात का इकाई अंक केवल शामिल इकाई अंकों पर निर्भर करता है।
इकाई अंक 2, 3, 7 और 8 हर 4 घातों पर दोहराते हैं; 4 और 9 हर 2 पर; 0, 1, 5 और 6 कभी नहीं बदलते।
चार के चक्र के लिए घात को 4 से भाग दो। शेष 0 का अर्थ है चक्र का चौथा स्थान।
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल, और शेषफल सदा भाजक से छोटा होता है।
गुणनफल का शेषफल, शेषफलों के गुणनफल के शेषफल के बराबर होता है।
घातों के लिए वह छोटी घात खोजो जो शेष 1 दे; फिर बड़ी घात उसी की प्रतियों में टूट जाती है।
यदि कोई संख्या d से भाग पर शेष r दे, और k, d को बाँटे, तो k से भाग पर वह r को k से भाग देने का शेष देगी।
n! के अंत के शून्य = n/5 + n/25 + n/125 + …, केवल पूर्ण भाग लेकर।
Full explanation
सोमवार की पहेली
आज सोमवार है। 100 दिन बाद कौन-सा दिन होगा?
तुम 100 दिन नहीं गिनते। भाग देते हो: 100 = 7 × 14 + 2। चौदह पूरे सप्ताह फिर सोमवार पर लाते हैं, और 2 अतिरिक्त दिन इसे बुधवार बनाते हैं। सारा काम शेषफल ने किया। यह टॉपिक ऐसे ही शेषफलों के बारे में है।
भाज्य, भाजक, भागफल, शेषफल
47 को 6 से भाग देने पर 7 पूरे समूह बनते हैं और 5 बचते हैं:
$$47 = 6 \times 7 + 5$$
सामान्य रूप में $N = d \times q + r$, जहाँ $0 \le r < d$।
केवल अंतिम अंक मायने रखता है
$347 \times 268$ का इकाई अंक $7 \times 8 = 56$ का इकाई अंक है, यानी 6। बाक़ी अंक इकाई के स्थान तक कभी नहीं पहुँचते।
इसलिए $347^{95}$ के इकाई अंक के लिए हमें केवल 7 की घातें चाहिए।
घातें घेरे में घूमती हैं
$7^1 = 7$, $7^2 = 49$, $7^3 = 343$, $7^4 = 2401$, $7^5 = 16807$।
इकाई अंक 7, 9, 3, 1 और फिर 7 होते हैं। वे 4 के घेरे में घूमते हैं।
हर अंक का एक चक्र है
तालिका हर अंतिम अंक का चक्र दिखाती है। अंतिम स्तंभ याद करो: वह बताता है कि अंक कितनी बार में दोहराता है।
हल किया उदाहरण: बड़ी घात का इकाई अंक
$347^{95}$ का इकाई अंक ज्ञात करो।
- अंतिम अंक 7, चक्र 7, 9, 3, 1।
- घात को 4 से भाग दो: $95 = 4 \times 23 + 3$।
- शेष 3 का अर्थ तीसरा स्थान: 3।
यदि शेष 0 हो, तो चौथा स्थान लो। इसलिए $7^{96}$ का अंतिम अंक 1 है।
गुणनफल और योग का इकाई अंक
पहले हर एक का इकाई अंक निकालो, फिर जोड़ो या गुणा करो।
$2^{43} \times 3^{22}$: $2^{43}$ का अंतिम अंक 8 और $3^{22}$ का 9, इसलिए गुणनफल 72 के अंतिम अंक पर ख़त्म होता है: 2।
$3^{45} + 7^{45}$: इनके अंतिम अंक 3 और 7 हैं, इसलिए योग का अंतिम अंक 0 है।
गुणनफल का शेषफल
$1235 \times 1237 \times 1239$ को 12 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करो।
शेषफल 11, 1 और 3 हैं। इन्हें गुणा करो: $11 \times 1 \times 3 = 33$, और $33 = 12 \times 2 + 9$। शेषफल 9 है।
घात का शेषफल
$2^{100}$ को 7 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करो।
$2^3 = 8$ शेष 1 देता है। क्योंकि $100 = 3 \times 33 + 1$, इसलिए $2^{100} = (2^3)^{33} \times 2$ शेष $1 \times 2 = 2$ देता है, यानी शेषफल 2।
भाजक के भीतर भाजक
कोई संख्या 56 से भाग देने पर 29 शेष छोड़ती है। 8 से भाग देने पर शेष क्या होगा?
संख्या $56k + 29$ है। क्योंकि 8, 56 को बाँटता है, केवल 29 मायने रखता है: $29 = 8 \times 3 + 5$। शेष 5 है।
यह तभी काम करता है जब 8, 56 को बाँटे।
n! के अंत के शून्य
अंत के हर शून्य को एक 2 और एक 5 चाहिए। दो बहुत होते हैं, इसलिए पाँच गिनो।
सोमवार पर वापस
दिन वाली पहेली 7 से शेषफल थी। इकाई अंक 10 से शेषफल हैं। n! के शून्य 10 के गुणनखंड गिनते हैं। एक विचार, अनेक सवाल।
Concepts and terms
हर संख्या N को N = d × q + r लिखा जा सकता है, जहाँ 0 ≤ r < d। 47 और 6 के लिए: 47 = 6 × 7 + 5।
घातों के इकाई अंक एक तय घेरे में दोहराते हैं। 7 के लिए घेरा 7, 9, 3, 1 है।
हर संख्या को उसके शेषफल से बदलो, गुणा करो, और फिर शेषफल लो।
n! = 1 × 2 × 3 × … × n। इसके अंत के शून्य 2 और 5 के जोड़ों से आते हैं।
Did you know
तुम्हारे बैंक कार्ड नंबर का अंतिम अंक एक शेषफल नियम से चुना जाता है, ताकि एक भी ग़लत अंक तुरंत पकड़ा जाए।
Memory tricks
कौन-से अंक चार में घूमते हैं? — 2-3-7-8 चारों ओर घूमें — 2, 3, 7 और 8 का चक्र 4 का; 4 और 9 का 2 का; 0, 1, 5, 6 स्थिर।
n! के शून्य — 5 से भाग देते रहो — n को 5 से भाग दो, भागफल को फिर 5 से, और ऐसे ही; सारे भागफल जोड़ो।
Practice MCQs with answers (67)
- A 3
- B 9
- C 1
- D 7
Show answer
Why:
अंतिम अंक 3 का चक्र 3, 9, 7, 1 (लंबाई 4)। घात 7 चक्र का स्थान 3 है, इसलिए इकाई अंक 7 है।
- A 4
- B 2
- C 8
- D 6
Show answer
Why:
अंतिम अंक 2 का चक्र 2, 4, 8, 6 (लंबाई 4)। घात 10 चक्र का स्थान 2 है, इसलिए इकाई अंक 4 है।
- A 1
- B 9
- C 4
- D 0
Show answer
Why:
अंतिम अंक 9 का चक्र 9, 1 (लंबाई 2)। घात 5 चक्र का स्थान 1 है, इसलिए इकाई अंक 9 है।
- A 1
- B 4
- C 6
- D 8
Show answer
Why:
अंतिम अंक 4 का चक्र 4, 6 (लंबाई 2)। घात 6 चक्र का स्थान 2 है, इसलिए इकाई अंक 6 है।
- A 9
- B 1
- C 7
- D 3
Show answer
Why:
अंतिम अंक 7 का चक्र 7, 9, 3, 1 (लंबाई 4)। घात 95 चक्र का स्थान 3 है, इसलिए इकाई अंक 3 है।
- A 7
- B 1
- C 3
- D 9
Show answer
Why:
अंतिम अंक 3 का चक्र 3, 9, 7, 1 (लंबाई 4)। घात 47 चक्र का स्थान 3 है, इसलिए इकाई अंक 7 है।
- A 6
- B 4
- C 8
- D 2
Show answer
Why:
अंतिम अंक 8 का चक्र 8, 4, 2, 6 (लंबाई 4)। घात 74 चक्र का स्थान 2 है, इसलिए इकाई अंक 4 है।
- A 2
- B 4
- C 8
- D 6
Show answer
Why:
अंतिम अंक 2 का चक्र 2, 4, 8, 6 (लंबाई 4)। घात 43 चक्र का स्थान 3 है, इसलिए इकाई अंक 8 है।
- A 6
- B 9
- C 3
- D 1
Show answer
Why:
अंतिम अंक 9 का चक्र 9, 1 (लंबाई 2)। घात 88 चक्र का स्थान 2 है, इसलिए इकाई अंक 1 है।
- A 1
- B 9
- C 3
- D 7
Show answer
Why:
अंतिम अंक 7 का चक्र 7, 9, 3, 1 (लंबाई 4)। घात 256 चक्र का स्थान 4 है, इसलिए इकाई अंक 1 है।
- A 4
- B 8
- C 6
- D 2
Show answer
Why:
अंतिम अंक 2 का चक्र 2, 4, 8, 6 (लंबाई 4)। घात 23 चक्र का स्थान 3 है, इसलिए इकाई अंक 8 है।
- A 1
- B 9
- C 3
- D 7
Show answer
Why:
अंतिम अंक 3 का चक्र 3, 9, 7, 1 (लंबाई 4)। घात 53 चक्र का स्थान 1 है, इसलिए इकाई अंक 3 है।
- A 7
- B 8
- C 1
- D 6
Show answer
Why:
अंतिम अंक 6 का चक्र 6 (लंबाई 1)। घात 71 चक्र का स्थान 1 है, इसलिए इकाई अंक 6 है।
- A 5
- B 6
- C 7
- D 0
Show answer
Why:
अंतिम अंक 5 का चक्र 5 (लंबाई 1)। घात 39 चक्र का स्थान 1 है, इसलिए इकाई अंक 5 है।
- A 4
- B 6
- C 8
- D 1
Show answer
Why:
अंतिम अंक 4 का चक्र 4, 6 (लंबाई 2)। घात 102 चक्र का स्थान 2 है, इसलिए इकाई अंक 6 है।
- A 6
- B 4
- C 8
- D 2
Show answer
Why:
अंतिम अंक 8 का चक्र 8, 4, 2, 6 (लंबाई 4)। घात 1001 चक्र का स्थान 1 है, इसलिए इकाई अंक 8 है।
- A 2
- B 5
- C 3
- D 1
Show answer
Why:
भागों के इकाई अंक 3, 7 हैं; इन्हें × से मिलाने पर अंतिम अंक 1 आता है।
- A 2
- B 8
- C 3
- D 6
Show answer
Why:
भागों के इकाई अंक 8, 9 हैं; इन्हें × से मिलाने पर अंतिम अंक 2 आता है।
- A 7
- B 6
- C 0
- D 2
Show answer
Why:
भागों के इकाई अंक 2, 7, 9 हैं; इन्हें × से मिलाने पर अंतिम अंक 6 आता है।
- A 3
- B 1
- C 0
- D 4
Show answer
Why:
भागों के इकाई अंक 3, 7 हैं; इन्हें + से मिलाने पर अंतिम अंक 0 आता है।
- A 0
- B 8
- C 5
- D 4
Show answer
Why:
भागों के इकाई अंक 8, 6 हैं; इन्हें + से मिलाने पर अंतिम अंक 4 आता है।
- A 8
- B 9
- C 4
- D 2
Show answer
Why:
भागों के इकाई अंक 9, 6, 3 हैं; इन्हें + से मिलाने पर अंतिम अंक 8 आता है।
- A 4
- B 3
- C 2
- D 0
Show answer
Why:
$2^{4}$ को 5 से भाग पर शेष 1 है। क्योंकि 31 = 4 × 7 + 3, शेषफल $2^{3}$ का शेषफल है, यानी 3।
- A 1
- B 4
- C 2
- D 3
Show answer
Why:
$2^{3}$ को 7 से भाग पर शेष 1 है। क्योंकि 100 = 3 × 33 + 1, शेषफल $2^{1}$ का शेषफल है, यानी 2।
- A 2
- B 0
- C 3
- D 1
Show answer
Why:
$3^{2}$ को 8 से भाग पर शेष 1 है। क्योंकि 50 = 2 × 25, $3^{50} = (3^{2})^{25}$ शेष $1^{25} = 1$ छोड़ता है।
- A 1
- B 3
- C 2
- D 0
Show answer
Why:
$5^{2}$ को 6 से भाग पर शेष 1 है। क्योंकि 40 = 2 × 20, $5^{40} = (5^{2})^{20}$ शेष $1^{20} = 1$ छोड़ता है।
- A 3
- B 4
- C 6
- D 5
Show answer
Why:
$4^{3}$ को 9 से भाग पर शेष 1 है। क्योंकि 61 = 3 × 20 + 1, शेषफल $4^{1}$ का शेषफल है, यानी 4।
- A 3
- B 2
- C 1
- D 0
Show answer
Why:
7 को 6 से भाग देने पर शेष 1 है, इसलिए 7 की हर घात शेष $1^{103} = 1$ छोड़ती है।
- A 0
- B 3
- C 2
- D 1
Show answer
Why:
10 को 9 से भाग देने पर शेष 1 है, इसलिए 10 की हर घात शेष $1^{25} = 1$ छोड़ती है।
- A 9
- B 10
- C 8
- D 3
Show answer
Why:
शेषफल 11, 1, 3 हैं; उनका गुणनफल 33, 12 से भाग पर 9 शेष देता है।
- A 5
- B 3
- C 2
- D 4
Show answer
Why:
शेषफल 2, 3, 4 हैं; उनका गुणनफल 24, 7 से भाग पर 3 शेष देता है।
- A 1
- B 7
- C 2
- D 3
Show answer
Why:
शेषफल 8, 9 हैं; उनका गुणनफल 72, 10 से भाग पर 2 शेष देता है।
- A 2
- B 5
- C 3
- D 4
Show answer
Why:
शेषफल 1, 2, 5 हैं; उनका गुणनफल 10, 6 से भाग पर 4 शेष देता है।
- A 58
- B 64
- C 54
- D 50
Show answer
Why:
संख्या = भाजक × भागफल + शेषफल = 6 × 9 + 4 = 58।
- A 219
- B 206
- C 195
- D 184
Show answer
Why:
संख्या = भाजक × भागफल + शेषफल = 13 × 15 + 11 = 206।
- A 751
- B 809
- C 785
- D 768
Show answer
Why:
संख्या = भाजक × भागफल + शेषफल = 24 × 32 + 17 = 785।
- A 2187
- B 2438
- C 2250
- D 2313
Show answer
Why:
संख्या = भाजक × भागफल + शेषफल = 125 × 18 + 63 = 2313।
- A 5
- B 3
- C 6
- D 7
Show answer
Why:
8, 56 को बाँटता है, इसलिए केवल 29 मायने रखता है: 29 = 8 × 3 + 5।
- A 1
- B 11
- C 4
- D 0
Show answer
Why:
12, 84 को बाँटता है, इसलिए केवल 59 मायने रखता है: 59 = 12 × 4 + 11।
- A 2
- B 10
- C 9
- D 11
Show answer
Why:
19, 342 को बाँटता है, इसलिए केवल 47 मायने रखता है: 47 = 19 × 2 + 9।
- A 3
- B 4
- C 2
- D 1
Show answer
Why:
9, 45 को बाँटता है, इसलिए केवल 37 मायने रखता है: 37 = 9 × 4 + 1।
- A 4
- B 3
- C 1
- D 0
Show answer
Why:
n की जगह उसका शेष लो: $3^{2} = 9$, जो 5 से भाग पर 4 शेष देता है।
- A 4
- B 1
- C 5
- D 2
Show answer
Why:
n की जगह उसका शेष लो: $4^{3} = 64$, जो 7 से भाग पर 1 शेष देता है।
- A 8
- B 5
- C 7
- D 1
Show answer
Why:
n की जगह उसका शेष लो: $5^{2} = 25$, जो 9 से भाग पर 7 शेष देता है।
- A 7
- B 5
- C 2
- D 6
Show answer
Why:
पाँच गिनो: 5 + 1 = 6।
- A 12
- B 10
- C 5
- D 13
Show answer
Why:
पाँच गिनो: 10 + 2 = 12।
- A 25
- B 24
- C 20
- D 10
Show answer
Why:
पाँच गिनो: 20 + 4 = 24।
- A 25
- B 12
- C 31
- D 32
Show answer
Why:
पाँच गिनो: 25 + 5 + 1 = 31।
- A 50
- B 40
- C 20
- D 49
Show answer
Why:
पाँच गिनो: 40 + 8 + 1 = 49।
- A 249
- B 200
- C 100
- D 250
Show answer
Why:
पाँच गिनो: 200 + 40 + 8 + 1 = 249।
- A 8
- B 9
- C 4
- D 0
Show answer
Why:
शेषफल सदा भाजक से छोटा होता है, इसलिए 9 नहीं हो सकता।
- A केवल 1 और 9
- B 2, 3, 7, 8
- C 0, 1, 5, 6
- D केवल 4 और 9
Show answer
Why:
0, 1, 5 और 6 को ख़ुद से गुणा करने पर अंतिम अंक वही रहता है।
- A 1
- B 8
- C 2
- D 4
Show answer
Why:
8, 4, 2, 6, फिर 8: लंबाई 4।
- A 5
- B 10
- C 3
- D 2
Show answer
Why:
हर शून्य को 2 और 5 चाहिए; पाँच कम होते हैं, इसलिए वही तय करते हैं।
- A 1
- B 3
- C 9
- D 0
Show answer
Why:
5! से आगे हर पद 0 पर ख़त्म होता है। 1 + 2 + 6 + 24 = 33, इसलिए इकाई अंक 3।
- A सोमवार
- B शनिवार
- C रविवार
- D शुक्रवार
Show answer
Why:
75 = 7 × 10 + 5। दस पूरे सप्ताह फिर मंगलवार पर लाते हैं; 5 और दिन रविवार देते हैं।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
96 को 4 से भाग पर शेष 0, यानी 7, 9, 3, 1 का चौथा स्थान, जो 1 है। R, A को समझाता है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
125/5 + 125/25 + 125/125 = 25 + 5 + 1 = 31। 25 और 125 से अतिरिक्त पाँच गिनना ही R बताता है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
17 को 4 से भाग देने पर 1 बचता है और 47 (= 30 + 17) पर 3, इसलिए A असत्य है: कोई एक उत्तर नहीं। R सत्य है और यही शॉर्टकट के न चलने का कारण है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
4 का चक्र 4, 6: विषम घातें 4 पर। 9 का चक्र 9, 1: सम घातें 1 पर, इसलिए 2 असत्य है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
दोनों N = d × q + r, 0 ≤ r < d से निकलते हैं।
- A 8
- B 6
- C 2
- D 4
Show answer
Why:
38 = 4 × 9 + 2, इसलिए 2, 4, 8, 6 का दूसरा स्थान: 4।
- A 1
- B 7
- C 3
- D 9
Show answer
Why:
100 को 4 से भाग पर शेष 0, इसलिए चौथा स्थान: 1।
- A $3^{44}$
- B $3^{43}$
- C $3^{41}$
- D $3^{42}$
Show answer
Why:
7 तीसरा स्थान है, इसलिए घात को 4 से भाग पर 3 बचना चाहिए। 43 = 4 × 10 + 3।
- A 56
- B 63
- C 59
- D 52
Show answer
Why:
7 के 8 समूह और 3 बचे: 7 × 8 + 3 = 59।
- A भागफल 8, शेषफल 2
- B भागफल 7, शेषफल 5
- C भागफल 5, शेषफल 3
- D भागफल 7, शेषफल 3
Show answer
Why:
5 के सात पूरे समूह और 3 बचे: 38 = 5 × 7 + 3।
- A 2
- B 4
- C 6
- D 8
Show answer
Why:
$8^{25}$: 25 को 4 से शेष 1, इसलिए 8। $4^{13}$: विषम, इसलिए 4। 8 × 4 = 32, इकाई अंक 2।
Important short questions (4)
100 को 4 से भाग पर शेष 0। 2¹⁰⁰ का अंतिम अंक 6 और 3¹⁰⁰ का 1, इसलिए योग का अंतिम अंक 7।
899 = 29 × 31, इसलिए 29, 899 को बाँटता है। 63 = 29 × 2 + 5, इसलिए शेष 5।
60/5 = 12 और 60/25 = 2, इसलिए 14 शून्य।
3⁴ = 81 शेष 1 देता है। 19 = 4 × 4 + 3, इसलिए शेष 3³ = 27 का शेष, यानी 2।
Long answer questions (1)
(a) 95 को 4 से भाग पर 3 बचता है, इसलिए 7⁹⁵ का अंतिम अंक 3। 58 पर 2 बचता है, इसलिए 3⁵⁸ का अंतिम अंक 9। 7⁹⁵ बड़ी है, इसलिए अंतर का अंतिम अंक 13 − 9 = 4।
(b) 7⁹⁵ का अंतिम अंक 3 है, और 3 पर ख़त्म होने वाली संख्या 5 से भाग पर 3 शेष देती है।
(c) इकाई अंक 10 से भाग का शेष है, और घातों के शेष सदा दोहराते हैं।
Flashcards (14)
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- शेषफल जाँच
Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 1 — frequently asked questions
√437 लगभग 21 से कम है, तो 19 तक की अभाज्य से जाँचो। 437 ÷ 19 = 23, इसलिए 437 = 19 × 23 भाज्य है।
ज्ञात अंक: 6 + 5 + 3 + 1 + 2 = 17। 9 का अगला गुणज 18 है, इसलिए ★ = 1।
2,000 = 2⁴ × 5³, इसलिए (4 + 1)(3 + 1) = 20 गुणनखंड।
391 = 1 × 323 + 68; 323 = 4 × 68 + 51; 68 = 1 × 51 + 17; 51 = 3 × 17। HCF = 17।
दूसरी = 6 × 180 ÷ 36 = 30। जाँच: HCF(36, 30) = 6, LCM = 180।
LCM(6, 9, 12) = 36, इसलिए संख्या 36 + 5 = 41।
100 को 4 से भाग पर शेष 0। 2¹⁰⁰ का अंतिम अंक 6 और 3¹⁰⁰ का 1, इसलिए योग का अंतिम अंक 7।
899 = 29 × 31, इसलिए 29, 899 को बाँटता है। 63 = 29 × 2 + 5, इसलिए शेष 5।
60/5 = 12 और 60/25 = 2, इसलिए 14 शून्य।
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