Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 18: क्रमचय और संचय
- 2 topics
- 111 MCQs
- 10 short answers
- 4 long answers
- 28 flashcards
- 2 games
- ~110 min read
- Hindi
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गिनती और व्यवस्थाएँ
बिना सूची बनाए गिनो: गुणन और योग के सिद्धांत, क्रमगुणित और क्रमबद्ध व्यवस्थाओं के लिए ⁿPᵣ का उपयोग करो, दोहराए अक्षर, “साथ” और “कभी साथ नहीं” की शर्तें, शर्तों वाले अंक, और गोल मेज़ के सवाल हल करो।
What you will be able to do
- आप तय कर सकेंगे कि कब गुणा (और) करना है और कब जोड़ (या)।
- आप क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ गिनने के लिए n! और ⁿPᵣ का उपयोग कर सकेंगे।
- आप दोहराए अक्षरों और “साथ” की शर्तों के साथ अक्षर सजा सकेंगे।
- आप शर्तों के साथ अंकों से बनी संख्याएँ गिन सकेंगे, जैसे सम, पहले 0 नहीं, या किसी मान से बड़ी।
- आप वृत्ताकार व्यवस्थाएँ और मालाएँ गिन सकेंगे।
Key points
गुणन सिद्धांत: यदि एक काम m तरीक़ों से और अगला n तरीक़ों से हो, तो दोनों मिलकर m × n तरीक़ों से होंगे।
योग सिद्धांत: यदि चुनाव एक समूह से या दूसरे से हो (दोनों नहीं), तो गिनतियाँ जोड़ो।
n! = n × (n − 1) × … × 1, और 0! = 1।
ⁿPᵣ = n! ÷ (n − r)!, n में से चुनी r चीज़ों की क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ गिनता है।
दोहराव के साथ: n! ÷ (p! q! …), जहाँ p, q, … हर दोहराए अक्षर की गिनती है।
“साथ”: समूह को एक खंड में बाँधो, खंडों को सजाओ, फिर खंड के भीतर सजाओ।
“कभी साथ नहीं” = कुल − साथ।
गोल मेज़ पर n लोग: (n − 1)!। पलटी जा सकने वाली माला: (n − 1)! ÷ 2।
अंकों में पहले शर्त वाला स्थान भरो, और याद रखो कि 0 से संख्या शुरू नहीं होती।
Full explanation
मीना का टिफ़िन
हर सुबह मीना टिफ़िन बाँधती है: रोटी या चावल, और दाल, पनीर या आलू में से एक। उसका छोटा भाई पूछता है: “दोहराने से पहले तुम कितने अलग टिफ़िन बना सकती हो?”
वह सबकी सूची बना सकती है। या एक कदम में गिन सकती है। यह टॉपिक एक कदम में गिनने के बारे में है।
“और” का अर्थ गुणा
पहले आधार चुनो (2 तरीक़े), फिर सब्ज़ी (3 तरीक़े)। हर आधार हर सब्ज़ी के साथ जाता है, इसलिए गिनती 2 × 3 = 6 है।
यही गुणन सिद्धांत है: एक के बाद एक होने वाले काम गुणा होते हैं।
“या” का अर्थ जोड़
यदि मीना 4 फलों में से एक या 3 बिस्कुटों में से एक ले सकती है (केवल एक चीज़), तो उसके पास 4 + 3 = 7 विकल्प हैं। यही योग सिद्धांत है।
क्रमगुणित और ⁿPᵣ
$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$, इसलिए $5! = 120$ और $0! = 1$।
n अलग चीज़ों में से r को क्रम में सजाना: $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$। उदाहरण $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$।
शर्तों वाले अंक
1 से 6 तक के अंकों से बिना दोहराए कितनी 3-अंकीय सम संख्याएँ बनेंगी? पहले नख़रेबाज़ स्थान भरो: इकाई का अंक 2, 4 या 6 (3 तरीक़े)। फिर सैकड़ा (5 बचे) और दहाई (4 बचे): 3 × 5 × 4 = 60।
यदि अंकों में 0 हो, तो उसे पहले स्थान से दूर रखो।
दोहराए अक्षर
$\text{BANANA}$ में 6 अक्षर हैं, पर A तीन बार और N दो बार है। A की अदला-बदली से कुछ नहीं बदलता, इसलिए भाग दो: $\frac{6!}{3! \times 2!} = 60$।
“साथ” और “कभी साथ नहीं”
$\text{LEADING}$ की कितनी व्यवस्थाओं में स्वर E, A, I साथ रहते हैं? उन्हें एक खंड में बाँधो: L, D, N, G और खंड 5 इकाइयाँ, यानी 5! = 120। खंड के भीतर स्वर 3! = 6 तरीक़ों से सज सकते हैं। उत्तर: 120 × 6 = 720।
कभी साथ नहीं = कुल 7! = 5,040 घटा 720 = 4,320।
गोल मेज़
गोल मेज़ पर पाँच दोस्त: यदि सब एक सीट दाईं ओर खिसकें, तो किसी के पड़ोसी नहीं बदलते, यानी वही बैठक है। A की सीट स्थिर करो और बाक़ी चार को सजाओ: 4! = 24।
माला को पलटा भी जा सकता है, इसलिए उसकी आधी व्यवस्थाएँ होती हैं: (n − 1)! ÷ 2।
फिर मीना के पास
2 आधार और 3 सब्ज़ियाँ: 6 टिफ़िन, यानी लगभग एक सप्ताह तक हर दिन नया। साथ में 4 फलों या 3 बिस्कुटों में से एक जोड़ो, तो 6 × 7 = 42 मेल।
“और” पर गुणा, “या” पर जोड़, दोहराव पर भाग, “साथ” पर बाँधो, और वृत्त में एक सीट स्थिर करो।
Concepts and terms
एक के बाद एक होने वाले काम गुणा होते हैं; विकल्प (यह या वह) जुड़ते हैं।
एक क्रमबद्ध व्यवस्था। AB और BA अलग क्रमचय हैं। ⁿPᵣ = n! ÷ (n − r)!।
दो एक जैसे अक्षरों की अदला-बदली से वही शब्द बनता है, इसलिए हर दोहराव की गिनती के क्रमगुणित से भाग दो।
सबको एक सीट घुमाने से वही बैठक बनती है, इसलिए एक व्यक्ति को स्थिर करो: (n − 1)!।
Did you know
पिंगल के छंदों से लेकर 1150 ई. में भास्कर द्वितीय तक, भारतीय गणितज्ञों ने यूरोप से सदियों पहले व्यवस्थाएँ गिनने के नियम दिए।
52! (ताश की गड्डी के क्रम) इतना बड़ा है कि हर अच्छी तरह फेंटी गड्डी लगभग निश्चित रूप से पहले कभी नहीं बनी।
Memory tricks
और या या — और गुणा करे, या जोड़े — कमीज़ और पतलून: गुणा। बस या ट्रेन: जोड़।
खाने — नख़रेबाज़ पहले — शर्त वाला स्थान (0 नहीं, सम होना चाहिए) खुले स्थानों से पहले भरो।
Practice MCQs with answers (58)
- A 12
- B 14
- C 9
- D 24
Show answer
Why:
एक के बाद एक चुनाव, इसलिए गुणा करो: 4 × 3 × 2 = 24।
- A 60
- B 20
- C 23
- D 12
Show answer
Why:
एक के बाद एक चुनाव, इसलिए गुणा करो: 5 × 4 × 3 = 60।
- A 17
- B 60
- C 64
- D 12
Show answer
Why:
4 × 3 × 5 = 60।
- A 7
- B 24
- C 12
- D 64
Show answer
Why:
पहली सड़क (4 तरीक़े), फिर दूसरी (3 तरीक़े): 4 × 3 = 12।
- A 400
- B 40
- C 380
- D 240
Show answer
Why:
जाना: 5 × 4। नई सड़कों से लौटना: 3 × 4। कुल = 5 × 4 × 3 × 4 = 240।
- A 4096
- B 16384
- C 1296
- D 24
Show answer
Why:
हर प्रश्न के स्वतंत्र रूप से 4 विकल्प: 4 को 6 बार गुणा = 4^6 = 4096।
- A 20
- B 1024
- C 2048
- D 100
Show answer
Why:
हर प्रश्न के स्वतंत्र रूप से 2 विकल्प: 2 को 10 बार गुणा = 2^10 = 1024।
- A 8
- B 48
- C 14
- D 47
Show answer
Why:
केवल एक चीज़ चुननी है, किसी भी एक समूह से: “या” का अर्थ जोड़ना। 6 + 8 = 14।
- A 14
- B 5
- C 15
- D 8
Show answer
Why:
केवल एक चीज़ चुननी है, किसी भी एक समूह से: “या” का अर्थ जोड़ना। 5 + 3 = 8।
- A 72
- B 36
- C 18
- D 2
Show answer
Why:
7! कट जाता है: बचता है 9 × 8 = 72।
- A 30
- B 720
- C 6
- D 120
Show answer
Why:
7! कट जाता है: बचता है 10 × 9 × 8 = 720।
- A 56
- B 24
- C 336
- D 512
Show answer
Why:
क्रम मायने रखता है: $^{8}P_{3}$ = 8 × 7 × 6 = 336।
- A 40
- B 10000
- C 210
- D 5040
Show answer
Why:
क्रम मायने रखता है: $^{10}P_{4}$ = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040।
- A 9
- B 8
- C 10
- D 36
Show answer
Why:
$^nP_2 = n(n − 1) = 72 = 9 × 8$, इसलिए n = 9।
- A 15
- B 64
- C 63
- D 24
Show answer
Why:
r झंडों वाले संकेत: $^nP_r$। r = 1 से 4 तक जोड़ो: 4 + 12 + 24 + 24 = 64।
- A 120
- B 1440
- C 720
- D 360
Show answer
Why:
6 अलग अक्षर: 6! = 720।
- A 24
- B 240
- C 60
- D 120
Show answer
Why:
5 अलग अक्षर: 5! = 120।
- A 180
- B 120
- C 360
- D 720
Show answer
Why:
6 अक्षर, जिनमें E 2 बार, T 2 बार: 6! ÷ (2! × 2!) = 180।
- A 840
- B 420
- C 5040
- D 720
Show answer
Why:
7 अक्षर, जिनमें S 3 बार, C 2 बार: 7! ÷ (3! × 2!) = 420।
- A 40320
- B 15120
- C 7560
- D 362880
Show answer
Why:
9 अक्षर, जिनमें A 4 बार, L 2 बार: 9! ÷ (4! × 2!) = 7560।
- A 39916800
- B 3628800
- C 69300
- D 34650
Show answer
Why:
11 अक्षर, जिनमें I 4 बार, S 4 बार, P 2 बार: 11! ÷ (4! × 4! × 2!) = 34650।
- A 4320
- B 40320
- C 36000
- D 720
Show answer
Why:
3 स्वरों को एक खंड में बाँध दो: 6 वस्तुओं के 720 क्रम, और खंड के भीतर स्वरों के 6 क्रम। साथ: 720 × 6 = 4320।
- A 3276000
- B 50400
- C 2520
- D 3326400
Show answer
Why:
5 स्वरों को एक खंड में बाँध दो: 7 वस्तुओं के 2520 क्रम, और खंड के भीतर स्वरों के 20 क्रम। साथ: 2520 × 20 = 50400।
- A 720
- B 40320
- C 36000
- D 4320
Show answer
Why:
3 स्वरों को एक खंड में बाँध दो: 6 वस्तुओं के 720 क्रम, और खंड के भीतर स्वरों के 6 क्रम। साथ: 720 × 6 = 4320। कभी साथ नहीं = कुल 40320 − 4320 = 36000।
- A 40320
- B 36000
- C 720
- D 4320
Show answer
Why:
3 स्वरों को एक खंड में बाँध दो: 6 वस्तुओं के 720 क्रम, और खंड के भीतर स्वरों के 6 क्रम। साथ: 720 × 6 = 4320।
- A 120
- B 720
- C 240
- D 24
Show answer
Why:
M को पहले स्थान पर रखो; बाक़ी 5 को सजाओ: 5! = 120।
- A 48
- B 24
- C 6
- D 720
Show answer
Why:
S पहले और Y अंत में स्थिर करो; बाक़ी 4 को सजाओ: 4! = 24।
- A 240
- B 60
- C 120
- D 140
Show answer
Why:
6 × 5 × 4 = 120।
- A 250
- B 62
- C 137
- D 125
Show answer
Why:
हर स्थान के 5 विकल्प: 5^3 = 125।
- A 90
- B 120
- C 210
- D 105
Show answer
Why:
पहले अंतिम स्थान भरो: 2, 4, 6 (3 तरीक़े)। बाक़ी स्थान 6 × 5। कुल = 3 × 6 × 5 = 90।
- A 60
- B 96
- C 192
- D 120
Show answer
Why:
पहला स्थान 0 नहीं हो सकता: 4 विकल्प; फिर बाक़ी स्थानों के लिए 4 × 3 × 2। कुल = 4 × 4 × 3 × 2 = 96।
- A 56
- B 120
- C 60
- D 80
Show answer
Why:
पहले पहला स्थान भरो: वह 4, 5, 6 में से एक हो (3 विकल्प), और ऐसी हर संख्या 400 से बड़ी है। बाक़ी स्थान 5 × 4 = 20। कुल = 3 × 20 = 60।
- A 168
- B 360
- C 180
- D 108
Show answer
Why:
पहले अंतिम स्थान भरो और 0 के आधार पर बाँटो। अंतिम अंक 0: बाक़ी स्थान 5 × 4 × 3 = 60। अंतिम अंक 5 (1 तरीक़ा), पहला अंक न 0 न वह (4 तरीक़े), फिर बीच के लिए 4 × 3: 1 × 4 × 4 × 3 = 48। कुल = 60 + 48 = 108।
- A 18
- B 36
- C 60
- D 30
Show answer
Why:
पहले अंतिम स्थान भरो; 0 पहले नहीं आ सकता। अंतिम अंक 5, 7 (2 तरीक़े), पहला अंक न 0 न वह (3 तरीक़े), फिर बीच के लिए 3: 2 × 3 × 3 = 18।
- A 240
- B 720
- C 120
- D 36
Show answer
Why:
6! = 720।
- A 480
- B 120
- C 240
- D 720
Show answer
Why:
आशा और बेला को बाँध दो: 5 इकाइयों के 5! क्रम, और जोड़ा अदल-बदल सकता है: 2 × 5! = 240।
- A 4320
- B 1440
- C 5040
- D 3600
Show answer
Why:
सभी क्रम 5040 घटा साथ वाले 1440 = 3600।
- A 1152
- B 40320
- C 48
- D 576
Show answer
Why:
क्रम लड़का-लड़की… या लड़की-लड़का… (2 तरीक़े); लड़के 4! और लड़कियाँ 4! तरीक़ों से: 2 × 4! × 4! = 1152।
- A 120
- B 720
- C 5040
- D 360
Show answer
Why:
घुमाव से बनी नक़लें हटाने के लिए एक व्यक्ति को स्थिर करो; बाक़ी को सजाओ: (7 − 1)! = 720।
- A 20160
- B 5040
- C 2520
- D 40320
Show answer
Why:
गोल व्यवस्थाएँ: (8 − 1)!; माला पलटी जा सकती है, इसलिए आधा करो: 5040 ÷ 2 = 2520।
- A 120
- B 24
- C 240
- D 48
Show answer
Why:
जोड़े को एक मानो: 5 इकाइयाँ गोल मेज़ पर (5 − 1)! = 24; जोड़ा अदल-बदल: × 2 = 48।
- A 601
- B 602
- C 120
- D 600
Show answer
Why:
अक्षर क्रम में: A, C, H, I, N, S। हर स्थान पर, बचे हुए छोटे अक्षरों से शुरू होने वाले शब्द गिनो (हर ऐसा अक्षर (बचे अक्षर)! जोड़ता है), सब जोड़ो, फिर शब्द के लिए 1 जोड़ो: स्थान = 601।
- A 412
- B 309
- C 308
- D 310
Show answer
Why:
अक्षर क्रम में: E, H, M, O, R, T। हर स्थान पर, बचे हुए छोटे अक्षरों से शुरू होने वाले शब्द गिनो (हर ऐसा अक्षर (बचे अक्षर)! जोड़ता है), सब जोड़ो, फिर शब्द के लिए 1 जोड़ो: स्थान = 309।
- A 9000
- B 10000
- C 4536
- D 5040
Show answer
Why:
पहला खाना: 9 (1 से 9)। फिर 9 (0 वापस, एक प्रयुक्त), 8, 7: 9 × 9 × 8 × 7 = 4,536।
- A 20
- B 400
- C 16900
- D 625
Show answer
Why:
स्वर A, E, I, O, U: हर खाने में 5; विषम अंक 1, 3, 5, 7, 9: हर खाने में 5। 5 × 5 × 5 × 5 = 625।
- A 60
- B 24
- C 30
- D 120
Show answer
Why:
5 अक्षर, जिनमें P 2 बार: 5! ÷ (2!) = 60।
- A 120
- B 240
- C 720
- D 480
Show answer
Why:
2 स्वरों को एक खंड में बाँध दो: 5 वस्तुओं के 120 क्रम, और खंड के भीतर स्वरों के 2 क्रम। साथ: 120 × 2 = 240।
- A 60
- B 24
- C 120
- D 720
Show answer
Why:
H स्थिर होने पर बाक़ी 5 लोग 5 सीटें क्रम से भरते हैं: 5! = 120 = (6 − 1)!।
- A 720
- B 1440
- C 120
- D 240
Show answer
Why:
P और Q को बाँधो: मेज़ पर 6 इकाइयाँ = 5! = 120; P और Q अदल-बदल सकते हैं: 2 × 120 = 240।
- A 24
- B 9
- C 6
- D 10
Show answer
Why:
वृक्ष के 2 × 3 = 6 सिरे हैं; हर एक के साथ 4 निक्कर: 6 × 4 = 24।
- A 0
- B 0!
- C 1! − 1
- D 2! ÷ 1
Show answer
Why:
परिभाषा से 0! = 1; 1! − 1 = 0 और 2! ÷ 1 = 2।
- A उधार के लिए 2 पुस्तकें चुनना
- B टोकरी से 3 फल उठाना
- C क्लब से अध्यक्ष और सचिव चुनना
- D 5 खिलाड़ियों की टीम चुनना
Show answer
Why:
अध्यक्ष–सचिव अलग पद हैं, इसलिए AB ≠ BA: क्रमचय। बाक़ी चयन हैं।
- A मेज़बान को कभी नहीं गिना जाता
- B वृत्त में पहला-दूसरा नहीं होता, इसलिए 1 घटाते हैं
- C एक कुर्सी सदा ख़ाली रहती है
- D सबको घुमाने से वही बैठक बनती है, इसलिए n घुमाव एक गिने जाते हैं
Show answer
Why:
n! हर बैठक को n बार गिनता है (हर घुमाव पर एक): n! ÷ n = (n − 1)!।
- A n!
- B 1
- C n
- D (n − 1)!
Show answer
Why:
$^nP_n = n! ÷ 0! = n!$।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
4! ÷ 2! = 12, और R ही ठीक कारण है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
A असत्य है: (5 − 1)! = 24। R सत्य है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
4! = 24 में 0 से शुरू होने वाली (3! = 6) भी हैं, इसलिए 24 − 6 = 18।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
⁵P₂ = 5 × 4 = 20, पर ⁵P₃ = 60, इसलिए कथन 2 असत्य है।
Important short questions (5)
5 अक्षर, L दो बार और E दो बार: 5! ÷ (2! × 2!) = 120 ÷ 4 = 30।
अंतिम अंक 2 या 4: 2 तरीक़े। फिर बाक़ी स्थानों के लिए 4 और 3: 2 × 4 × 3 = 24।
उन्हें एक इकाई में बाँधने के बाद भी वे AB या BA बैठ सकते हैं, इसलिए हर व्यवस्था दो बार गिनी जाती है।
⁷P₃ = 7 × 6 × 5 = 210।
कुल: 5! = 120। साथ: 2 × 4! = 48। साथ नहीं: 120 − 48 = 72।
Long answer questions (2)
(a) 8 अलग अक्षर: 8! = 40320।
(b) स्वर E, U, A, I, O एक खंड बनाते हैं; Q, T, N के साथ 4 इकाइयाँ: 4! × 5! = 24 × 120 = 2880।
(c) दोनों सिरों के लिए क्रम से व्यंजन चुनो: ³P₂ = 6; बाक़ी 6 अक्षर बीच में: 6! = 720। कुल 6 × 720 = 4320।
(a) पहला स्थान 4 तरीक़े (0 नहीं), फिर 4 और 3: 4 × 4 × 3 = 48।
(b) 0 पर ख़त्म: 4 × 3 = 12। 2 या 4 पर ख़त्म: 2 × 3 × 3 = 18 (पहला स्थान 0 नहीं और अंतिम अंक नहीं)। सम = 12 + 18 = 30।
Flashcards (14)
Play this topic
- गुणा या जोड़?
चयन और समितियाँ
क्रम की परवाह किए बिना चुनो: ⁿCᵣ, समूहों से तय संख्या वाली समितियाँ, “कम से कम” और “अधिक से अधिक” की स्थितियाँ, जिन्हें चुनना ही है या नहीं चुनना है, हाथ मिलाना और मैच, विकर्ण, बिंदुओं से त्रिभुज और रेखाएँ, जाल के रास्ते और आयत, और एक जैसी चीज़ें बाँटना।
What you will be able to do
- आप चयन और व्यवस्था में अंतर कर सकेंगे और ⁿCᵣ निकाल सकेंगे।
- आप समूहों से समितियाँ बना सकेंगे, “कम से कम” और “अधिक से अधिक” की शर्तों सहित।
- आप हाथ मिलाना, मैच, विकर्ण, रेखाएँ और त्रिभुज गिन सकेंगे।
- आप रेखाएँ या कदम चुनकर जाल के रास्ते और आयत गिन सकेंगे।
- आप एक ही सवाल में चयन और व्यवस्था को जोड़ सकेंगे।
Key points
ⁿCᵣ = n! ÷ (r! × (n − r)!) उन चयनों को गिनता है जिनमें क्रम मायने नहीं रखता।
ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!: चुनने के बाद सजाओ।
ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ। कौन जाए चुनना वही है जो कौन रुके चुनना।
ⁿC₀ = ⁿCₙ = 1 और ⁿC₁ = n।
दो समूहों से, हर समूह के चयनों को गुणा करो।
“कम से कम” और “अधिक से अधिक”: अलग स्थितियाँ जोड़ो, या कुल में से अनचाही स्थितियाँ घटाओ।
n लोगों में हाथ मिलाना = ⁿC₂; n भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्ण = n(n − 3) ÷ 2।
n बिंदुओं से, जिनमें k एक रेखा पर हों, त्रिभुज = ⁿC₃ − ᵏC₃।
n अलग चीज़ों में से एक या अधिक चुनना: 2ⁿ − 1।
m दाएँ और n ऊपर के सबसे छोटे रास्ते: ⁽ᵐ⁺ⁿ⁾Cₘ।
Full explanation
कक्षा की टीम चुनना
खेल शिक्षिका को अपने 5 सबसे अच्छे धावकों, अमित, बीना, चेतन, देव और ईशा, में से 3 को एक शिविर में भेजना है। अमित पूछता है: “क्या यह 5 × 4 × 3 = 60 तरीक़े हैं?”
पूरी तरह नहीं। शिविर की टीम में किसी का स्थान नहीं, इसलिए अमित–बीना–चेतन वही टीम है जो चेतन–अमित–बीना।
सजाना या चुनना?
60 क्रमबद्ध सूचियाँ गिनता है। 3 की हर टीम 3! = 6 क्रमों में आती है, इसलिए टीमों की संख्या 60 ÷ 6 = 10।
यही संचय का सूत्र है: $^nC_r = \frac{n!}{r!,(n-r)!} = \frac{^nP_r}{r!}$।
काम के तथ्य
- $^nC_0 = {}^nC_n = 1$ और $^nC_1 = n$।
- $^nC_r = {}^nC_{n-r}$: 3 को भेजना चुनना वही है जो 2 को रोकना, इसलिए $^5C_3 = {}^5C_2 = 10$।
- यदि $^nC_a = {}^nC_b$ और a ≠ b, तो a + b = n।
समूहों से समितियाँ
6 पुरुषों और 4 महिलाओं में से समिति में 3 पुरुष और 2 महिलाएँ चाहिए। पुरुष चुनो ($^6C_3 = 20$) और महिलाएँ ($^4C_2 = 6$): 20 × 6 = 120।
कम से कम और अधिक से अधिक
5 पुरुषों और 3 महिलाओं से 4 की टीम में कम से कम 2 महिलाएँ हों। स्थितियों में बाँटो: ठीक 2 महिलाएँ या ठीक 3 महिलाएँ, फिर जोड़ो।
कम से कम एक के लिए पूरक तेज़ है: सभी टीमें घटा बिना किसी वाली टीमें।
जाना ही है, नहीं जाना है
यदि काव्या को चुनना ही है, तो वह एक स्थान ले लेती है: बाक़ी को दूसरों में से चुनो, $^{n-1}C_{r-1}$। यदि उसे छोड़ना है, तो सभी r बाक़ी n − 1 में से: $^{n-1}C_r$।
यदि दो लोग साथ जाने से मना करें, तो सभी समूह गिनकर उन्हें हटाओ जिनमें दोनों हों: $^nC_r - {}^{n-2}C_{r-2}$।
हाथ मिलाना, मैच और विकर्ण
हाथ मिलाना दो लोगों का एक जोड़ा है, इसलिए 6 दोस्त $^6C_2 = 15$ बार हाथ मिलाते हैं। जिस लीग में हर टीम हर दूसरी से एक बार मिले, उसकी गिनती भी यही है।
बहुभुज के कोई 2 कोने जोड़ने पर एक भुजा या एक विकर्ण बनता है, इसलिए विकर्ण = $^nC_2 - n = \frac{n(n-3)}{2}$।
बिंदु, रेखाएँ और त्रिभुज
रेखा के लिए 2 बिंदु और त्रिभुज के लिए 3 चाहिए। 10 बिंदु, कोई तीन एक रेखा में नहीं, तो $^{10}C_3 = 120$ त्रिभुज। यदि उनमें से 4 एक रेखा पर हों, तो वे $^4C_3 = 4$ चपटे “त्रिभुज” देते हैं, इसलिए उत्तर 120 − 4 = 116।
जाल पर रास्ते
A से B तक, 3 खंड दाएँ और 2 खंड ऊपर वाले जाल पर, हर सबसे छोटा रास्ता R, R, R, U, U का कोई क्रम है। U के 2 स्थान चुनो: $^5C_2 = 10$ रास्ते।
जाल पर आयत के लिए 2 खड़ी और 2 पड़ी रेखाएँ चाहिए, इसलिए m × n जाल में $^{m+1}C_2 \times {}^{n+1}C_2$ आयत होते हैं।
एक जैसी चीज़ें
3 एक जैसे आमों में से 0, 1, 2 या 3 लिए जा सकते हैं: 4 विकल्प, $2^3$ नहीं। 3 आम और 2 सेब हों, तो कम से कम एक फल 4 × 3 − 1 = 11 तरीक़ों से उठाया जा सकता है।
n एक जैसी मिठाइयाँ r बच्चों में बाँटना, हर एक को कम से कम एक, $^{n-1}C_{r-1}$ है: n − 1 जगहों में r − 1 विभाजक रखो।
चुनो, फिर सजाओ
5 स्वरों और 6 व्यंजनों से 2 स्वर और 2 व्यंजन वाले कितने 4-अक्षरी शब्द बनेंगे? चुनो: $^5C_2 \times {}^6C_2 = 10 \times 15 = 150$। 4 अक्षर सजाओ: 4! = 24। कुल 150 × 24 = 3,600।
फिर रिले शिविर पर
शिक्षिका के पास $^5C_3 = 10$ संभव टीमें हैं। यदि ईशा को जाना ही है, तो $^4C_2 = 6$। यदि बाद में वह कप्तान भी चुने, तो 3 से गुणा करो।
C से चुनो, P से सजाओ, समूहों को गुणा करो, स्थितियाँ जोड़ो, और अनचाहा घटाओ।
Concepts and terms
एक चयन जिसमें क्रम मायने नहीं रखता: {A, B} वही है जो {B, A}। ⁿCᵣ = ⁿPᵣ ÷ r!।
हर समूह से अलग-अलग चुनो और गुणा करो, क्योंकि चुनाव साथ-साथ होते हैं (और)।
“कम से कम” को स्थितियों में बाँटकर जोड़ो, या सब गिनकर अनचाही स्थितियाँ हटाओ।
रेखा के लिए 2 बिंदु, त्रिभुज के लिए 3 बिंदु, आयत के लिए 2 खड़ी और 2 पड़ी रेखाएँ।
Did you know
प्राचीन भारतीय चिकित्सक सुश्रुत ने छह रसों को मिलाने के सभी 63 तरीक़े गिनाए थे, जो 2⁶ − 1 है।
49 में से 6 संख्याएँ चुनने वाली लॉटरी के ⁴⁹C₆ = 1,39,83,816 संभव टिकट होते हैं।
Memory tricks
P या C — पद हों तो P, समिति हो तो C — अलग पद (अध्यक्ष, सचिव) से क्रम मायने रखता है; साधारण समिति में नहीं।
कम से कम एक — सब घटा कोई नहीं — कम से कम एक महिला = सभी समितियाँ − बिना महिला वाली समितियाँ।
Practice MCQs with answers (53)
- A 35
- B 70
- C 210
- D 21
Show answer
Why:
$^{7}C_{3} = \frac{7!}{3! \times 4!}$ = (7 × 6 × 5) ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35।
- A 5040
- B 210
- C 120
- D 252
Show answer
Why:
$^{10}C_{4} = \frac{10!}{4! \times 6!}$ = (10 × 9 × 8 × 7) ÷ 4! = 5040 ÷ 24 = 210।
- A 1320
- B 66
- C 220
- D 495
Show answer
Why:
$^{12}C_{3} = \frac{12!}{3! \times 9!}$ = (12 × 11 × 10) ÷ 3! = 1320 ÷ 6 = 220।
- A 55
- B 10
- C 36
- D 45
Show answer
Why:
a ≠ b के साथ $^nC_a = {}^nC_b$ का अर्थ a + b = n, इसलिए n = 4 + 6 = 10। फिर $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$।
- A 91
- B 105
- C 14
- D 78
Show answer
Why:
a ≠ b के साथ $^nC_a = {}^nC_b$ का अर्थ a + b = n, इसलिए n = 5 + 9 = 14। फिर $^{14}C_2 = \frac{14 \times 13}{2} = 91$।
- A 40
- B 56
- C 6720
- D 70
Show answer
Why:
टीम में क्रम मायने नहीं रखता: $^{8}C_{5}$ = 56।
- A 165
- B 54486432000
- C 1365
- D 3003
Show answer
Why:
टीम में क्रम मायने नहीं रखता: $^{15}C_{11}$ = 1365।
- A 70
- B 74
- C 1680
- D 280
Show answer
Why:
टीम चुनो: $^{8}C_{4}$ = 70; फिर उन 4 में से कप्तान: 70 × 4 = 280।
- A 200
- B 2400
- C 462
- D 30
Show answer
Why:
पुरुष और महिलाएँ, इसलिए गुणा: $^{6}C_{3} \times {}^{5}C_{2}$ = 20 × 10 = 200।
- A 50400
- B 350
- C 792
- D 45
Show answer
Why:
पुरुष और महिलाएँ, इसलिए गुणा: $^{7}C_{4} \times {}^{5}C_{3}$ = 35 × 10 = 350।
- A 120
- B 144
- C 100
- D 40
Show answer
Why:
महिलाओं की संख्या के अनुसार स्थितियाँ जोड़ो: $^{4}C_{1} \cdot {}^{6}C_{2}$ + $^{4}C_{2} \cdot {}^{6}C_{1}$ + $^{4}C_{3} \cdot {}^{6}C_{0}$ = 60 + 36 + 4 = 100। तेज़ तरीक़ा: कुल $^{10}C_{3}$ = 120 घटा केवल पुरुष $^{6}C_{3}$ = 20, यानी 120 − 20 = 100।
- A 504
- B 91
- C 462
- D 301
Show answer
Why:
महिलाओं की संख्या के अनुसार स्थितियाँ जोड़ो: $^{4}C_{2} \cdot {}^{7}C_{3}$ + $^{4}C_{3} \cdot {}^{7}C_{2}$ + $^{4}C_{4} \cdot {}^{7}C_{1}$ = 210 + 84 + 7 = 301।
- A 115
- B 100
- C 330
- D 600
Show answer
Why:
महिलाओं की संख्या के अनुसार स्थितियाँ जोड़ो: $^{5}C_{0} \cdot {}^{6}C_{4}$ + $^{5}C_{1} \cdot {}^{6}C_{3}$ = 15 + 100 = 115।
- A 210
- B 84
- C 126
- D 120
Show answer
Why:
काव्या पहले से शामिल है; बाक़ी 9 में से 3 चुनो: $^{9}C_{3}$ = 84।
- A 495
- B 792
- C 462
- D 330
Show answer
Why:
काव्या को हटाओ; बाक़ी 11 में से सभी 5 चुनो: $^{11}C_{5}$ = 462।
- A 35
- B 126
- C 21
- D 105
Show answer
Why:
सभी समूह $^{9}C_{4}$ = 126 घटा दोनों वाले समूह, $^{7}C_{2}$ = 21: 105।
- A 66
- B 132
- C 144
- D 220
Show answer
Why:
हाथ मिलाना दो लोगों का एक जोड़ा है: $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$।
- A 400
- B 190
- C 1140
- D 380
Show answer
Why:
हाथ मिलाना दो लोगों का एक जोड़ा है: $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$।
- A 64
- B 36
- C 28
- D 56
Show answer
Why:
हर जोड़ी का एक खेल: $^{8}C_2$ = 28।
- A 55
- B 45
- C 100
- D 90
Show answer
Why:
हर जोड़ी दो बार खेलती है: 2 × $^{10}C_2$ = 2 × 45 = 90 ($^{10}P_2$ के बराबर)।
- A 11
- B 10
- C 12
- D 27
Show answer
Why:
$\frac{n(n − 1)}{2} = 55$ से n(n − 1) = 110 = 11 × 10, इसलिए n = 11।
- A 70
- B 35
- C 55
- D 45
Show answer
Why:
कोई भी 2 कोने एक रेखा बनाते हैं: $^{10}C_2$ = 45। 10 भुजाएँ घटाओ: 45 − 10 = 35 = $\frac{10(10 − 3)}{2}$।
- A 66
- B 108
- C 54
- D 78
Show answer
Why:
कोई भी 2 कोने एक रेखा बनाते हैं: $^{12}C_2$ = 66। 12 भुजाएँ घटाओ: 66 − 12 = 54 = $\frac{12(12 − 3)}{2}$।
- A 11
- B 8
- C 10
- D 9
Show answer
Why:
$\frac{n(n − 3)}{2} = 27$ से n(n − 3) = 54 = 9 × 6, इसलिए n = 9।
- A 210
- B 35
- C 215
- D 220
Show answer
Why:
कोई भी 3 बिंदु: $^{12}C_3$ = 220। एक ही रेखा के तीन बिंदु त्रिभुज नहीं बनाते: $^{5}C_3$ = 10 घटाओ। उत्तर 210।
- A 16
- B 40
- C 45
- D 39
Show answer
Why:
सभी जोड़े $^{10}C_2$ = 45; रेखा पर के $^{4}C_2$ = 6 जोड़े एक ही रेखा हैं, इसलिए उन्हें घटाकर 1 जोड़ो: 40।
- A 36
- B 126
- C 84
- D 504
Show answer
Why:
वृत्त पर कोई तीन बिंदु एक रेखा में नहीं, इसलिए हर 3 बिंदु चलेंगे: $^{9}C_{3}$ = 84।
- A 56
- B 62
- C 1680
- D 70
Show answer
Why:
वृत्त पर कोई तीन बिंदु एक रेखा में नहीं, इसलिए हर 4 बिंदु चलेंगे: $^{8}C_{4}$ = 70।
- A 126
- B 792
- C 495
- D 9
Show answer
Why:
3 अनिवार्य प्रश्न तय हैं; बाक़ी 9 में से 5 और चुनो: $^{9}C_{5}$ = 126।
- A 100
- B 150
- C 330
- D 25
Show answer
Why:
क और ख: $^{6}C_{4} \times {}^{5}C_{3}$ = 15 × 10 = 150।
- A 720
- B 36
- C 63
- D 64
Show answer
Why:
हर सहेली या तो बुलाई जाती है या नहीं: 2^6 = 64 तरीक़े। कोई न बुलाने वाला एक तरीक़ा घटाओ: 63।
- A 24
- B 60
- C 511
- D 59
Show answer
Why:
आम: 0 से 3 तक, यानी 4 विकल्प; सेब 5; केले 3। 4 × 5 × 3 = 60, ख़ाली चुनाव घटाओ: 59।
- A 42000
- B 350
- C 95040
- D 4200
Show answer
Why:
चुनो: $^{5}C_{2} \times {}^{7}C_{3}$ = 350। फिर 5 अक्षर सजाओ: 5! = 120। कुल 42000।
- A 18
- B 15
- C 90
- D 30
Show answer
Why:
6! ÷ (2!)^3 = 90 में समूहों का क्रम भी गिना गया; समूहों के नाम नहीं, इसलिए 3! = 6 से भाग दो: 15।
- A 280
- B 60480
- C 1680
- D 252
Show answer
Why:
पहला विद्यार्थी $^{9}C_{3}$, अगला बचे में से, और इसी तरह: 9! ÷ (3!)^3 = 1680। विद्यार्थी अलग हैं, इसलिए 3! से भाग मत दो।
- A 64
- B 1296
- C 203
- D 204
Show answer
Why:
k भुजा के वर्ग (8 − k + 1)² स्थानों पर आते हैं। जोड़ो: 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1² = 204।
- A 150
- B 30
- C 20
- D 330
Show answer
Why:
हर समूह से 2 रेखाएँ चुनो: $^{5}C_2 \times {}^{6}C_2$ = 10 × 15 = 150।
- A 45
- B 21
- C 6561
- D 56
Show answer
Why:
8 टॉफ़ियाँ पंक्ति में रखो; बीच में 7 जगहें हैं। 2 विभाजक अलग जगहों में रखो: $^{7}C_{2}$ = 21।
- A 216
- B 10
- C 28
- D 729
Show answer
Why:
तारे और डंडे: एक पंक्ति में 6 तारे और 2 डंडे, डंडों के स्थान चुनो: $^{8}C_{2}$ = 28।
- A 6
- B 126
- C 63
- D 51
Show answer
Why:
महिलाओं की संख्या के अनुसार स्थितियाँ जोड़ो: $^{3}C_{2} \cdot {}^{6}C_{2}$ + $^{3}C_{3} \cdot {}^{6}C_{1}$ = 45 + 6 = 51।
- A 20
- B 40
- C 36
- D 28
Show answer
Why:
कोई भी 2 कोने एक रेखा बनाते हैं: $^{8}C_2$ = 28। 8 भुजाएँ घटाओ: 28 − 8 = 20 = $\frac{8(8 − 3)}{2}$।
- A 84
- B 80
- C 10
- D 81
Show answer
Why:
कोई भी 3 बिंदु: $^{9}C_3$ = 84। एक ही रेखा के तीन बिंदु त्रिभुज नहीं बनाते: $^{4}C_3$ = 4 घटाओ। उत्तर 80।
- A 15
- B 256
- C 56
- D 6720
Show answer
Why:
हर सबसे छोटा रास्ता किसी क्रम में 5 कदम दाएँ और 3 कदम ऊपर है। 8 कदमों में से कौन-से 5 दाएँ हों, चुनो: $^{8}C_{5}$ = 56।
- A 126
- B 12
- C 18
- D 60
Show answer
Why:
आयत के लिए 5 खड़ी रेखाओं में से 2 और 4 पड़ी रेखाओं में से 2 चाहिए: $^{5}C_2 \times {}^{4}C_2$ = 10 × 6 = 60।
- A 20
- B 120
- C 15
- D 18
Show answer
Why:
षट्भुज के कोई तीन कोने एक रेखा में नहीं: $^6C_3 = 20$।
- A 4 अंकों के पिन कोड बनाना
- B बैग में रखने के लिए 4 किताबें चुनना
- C स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक देना
- D मेहमानों को पंक्ति में बिठाना
Show answer
Why:
बैग में किताबों का कोई क्रम नहीं; बाक़ी सब में क्रम मायने रखता है।
- A ⁿCᵣ = r!
- B ⁿC₁ = 1
- C ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ
- D ⁿCᵣ = ⁿPᵣ
Show answer
Why:
r को लेना चुनना वही है जो n − r को छोड़ना।
- A यह बहुत कम टीमें गिनता है
- B यह केवल पुरुषों वाली टीमें छोड़ देता है
- C इसमें क्रमचय लेना चाहिए
- D दो महिलाओं वाली टीम दो बार गिनी जाती है, हर उस महिला के लिए जिसे पहले चुना गया
Show answer
Why:
टीम में “पहली” महिला ख़ास नहीं, इसलिए 2 या 3 महिलाओं वाली टीमें अधिक गिनी जाती हैं।
- A 8
- B 14
- C 56
- D 7
Show answer
Why:
n(n − 1) ÷ 2 = 28 से n(n − 1) = 56 = 8 × 7।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
⁷C₃ = ⁷C₄ = 35, और R इसे समझाता है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
दोनों सत्य: ¹⁰C₃ = 120 और 10 × 7 ÷ 2 = 35, पर विकर्णों की गिनती त्रिभुजों की गिनती को नहीं समझाती।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
⁷C₃ = 35। केवल पुरुष: ⁴C₃ = 4, इसलिए कम से कम एक महिला: 35 − 4 = 31। दोनों सत्य।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
5 × 2 ÷ 2 = 5, सत्य। ⁸C₂ = 28, 56 नहीं, इसलिए कथन 2 असत्य है।
Important short questions (5)
¹⁰C₇ = ¹⁰C₃ = 10 × 9 × 8 ÷ 6 = 120।
15 × 12 ÷ 2 = 90।
⁴C₂ × ⁶C₃ = 6 × 20 = 120।
हर रास्ते में 6 कदम हैं: 4 दाएँ और 2 ऊपर। 6 में से कौन-से 2 कदम ऊपर हों, यह चुनते ही रास्ता तय हो जाता है, इसलिए ⁶C₂ = 15।
⁸C₃ − ³C₃ = 56 − 1 = 55।
Long answer questions (2)
(a) ¹⁰C₅ = 252।
(b) ⁴C₂ × ⁶C₃ = 6 × 20 = 120।
(c) कुल घटा केवल पुरुष: 252 − ⁶C₅ = 252 − 6 = 246।
(d) वह एक स्थान लेता है; बाक़ी 9 में से 4 चुनो: ⁹C₄ = 126।
(a) ¹²C₂ − ⁵C₂ + 1 = 66 − 10 + 1 = 57।
(b) ¹²C₃ − ⁵C₃ = 220 − 10 = 210।
Flashcards (14)
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- चुनो या सजाओ?
Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 18 — frequently asked questions
5 अक्षर, L दो बार और E दो बार: 5! ÷ (2! × 2!) = 120 ÷ 4 = 30।
अंतिम अंक 2 या 4: 2 तरीक़े। फिर बाक़ी स्थानों के लिए 4 और 3: 2 × 4 × 3 = 24।
उन्हें एक इकाई में बाँधने के बाद भी वे AB या BA बैठ सकते हैं, इसलिए हर व्यवस्था दो बार गिनी जाती है।
¹⁰C₇ = ¹⁰C₃ = 10 × 9 × 8 ÷ 6 = 120।
15 × 12 ÷ 2 = 90।
⁴C₂ × ⁶C₃ = 6 × 20 = 120।
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