Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 19: प्रायिकता
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- 111 MCQs
- 9 short answers
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- Hindi
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सिक्के, पासे और पत्ते
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ समसंभाव्य परिणाम, 0 से 1 का पैमाना, पूरक नियम, और मानक प्रतिदर्श समष्टियाँ: सिक्के (2ⁿ परिणाम), पासे (6, 36 या 216 परिणाम) और 52 पत्तों की गड्डी, पक्ष और विपक्ष के संयोगानुपात सहित।
What you will be able to do
- आप प्रायिकता को अनुकूल परिणाम ÷ कुल समसंभाव्य परिणाम के रूप में निकाल सकेंगे।
- आप सिक्कों की प्रतिदर्श समष्टि लिख सकेंगे और n सिक्कों के लिए 2ⁿ का उपयोग कर सकेंगे।
- आप दो पासों के लिए 36 खानों वाले ग्रिड का उपयोग कर सकेंगे।
- आप 52 पत्तों की गड्डी में रंग (सूट), लाल-काले और तस्वीर के अनुसार पत्ते गिन सकेंगे।
- आप P(A नहीं) = 1 − P(A) का उपयोग कर सकेंगे और प्रायिकता को संयोगानुपात में बदल सकेंगे।
Key points
P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ समसंभाव्य परिणामों की संख्या।
0 ≤ P(E) ≤ 1। असंभव घटना की प्रायिकता 0; निश्चित घटना की 1।
P(E नहीं) = 1 − P(E)। “कम से कम एक” वाले सवालों में इसका उपयोग करो।
n सिक्कों के 2ⁿ परिणाम; ठीक k चित उनमें से ⁿCₖ में आते हैं।
एक पासा: 6 परिणाम। दो पासे: 36। तीन पासे: 216।
दो पासों में योग 7 सबसे संभावित है (6 तरीक़े); योग 2 और 12 का 1-1 तरीक़ा।
गड्डी में 13-13 पत्तों के 4 रंग (सूट): हुकुम और चिड़ी काले, पान और ईंट लाल।
तस्वीर वाले 12 पत्ते (ग़ुलाम, बेगम, बादशाह) और 4 इक्के हैं।
अतिव्यापी “A या B” के लिए A + B − दोनों गिनो, ताकि कुछ दो बार न गिना जाए।
पक्ष में संयोगानुपात = अनुकूल : प्रतिकूल; विपक्ष में उलटा।
Full explanation
लूडो की बहस
रिया और कबीर लूडो खेल रहे हैं। कबीर को शुरू करने के लिए 6 चाहिए और वह बड़बड़ाता है: “6 कभी नहीं आता!” रिया कहती है: “औसतन छह फेंकों में एक बार आता है। और दो पासों में योग 7, योग 12 से अधिक संभावित है।”
कौन सही है, और “संभावित” को संख्या में कैसे बताएँ? वह संख्या प्रायिकता है।
अनुकूल बटा कुल
यदि हर परिणाम समसंभाव्य हो,
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}$
पासे के 6 समसंभाव्य फलक हैं और उनमें से एक 6 है, इसलिए P(6) = 1/6। सम संख्या के 3 फलक: P = 3/6 = 1/2।
0 से 1 तक
प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं और कभी 1 से अधिक नहीं। असंभव का अर्थ 0; निश्चित का अर्थ 1; निष्पक्ष सिक्के पर चित बीच में 1/2 पर है।
सिक्के
एक सिक्का: चित या पट। दो सिक्के: HH, HT, TH, TT, यानी 4 परिणाम (HT और TH अलग हैं)। तीन सिक्के: 2 × 2 × 2 = 8। सामान्यतः n सिक्कों के $2^n$ परिणाम।
(यहाँ H = चित, T = पट।) 3 सिक्कों में ठीक 2 चित की प्रायिकता 3/8, क्योंकि HHT, HTH और THH अनुकूल हैं।
दो पासे: 36 का ग्रिड
पहला पासा बगल में और दूसरा ऊपर लिखो। 36 खाने समसंभाव्य हैं। योग 7 छह खानों में है, इसलिए P(योग 7) = 6/36 = 1/6; योग 12 एक बार: 1/36।
तो रिया सही है: 7, 12 से छह गुना अधिक संभावित है।
E नहीं: पूरक
P(E नहीं) = 1 − P(E)। “दो पासों में कम से कम एक 6” गिनना धीमा है, पर कोई 6 नहीं = (5/6) × (5/6) = 25/36, इसलिए कम से कम एक 6 = 1 − 25/36 = 11/36।
ताश की गड्डी
52 पत्ते = 4 रंग (सूट) × 13 पत्ते (इक्का, 2 से 10, ग़ुलाम, बेगम, बादशाह)। हुकुम ♠ और चिड़ी ♣ काले; पान ♥ और ईंट ♦ लाल। तस्वीर वाले 12 पत्ते और 4 इक्के हैं।
P(बादशाह) = 4/52 = 1/13; P(लाल पत्ता) = 26/52 = 1/2; P(तस्वीर वाला) = 12/52 = 3/13।
दोहरी गिनती के बिना “या”
P(इक्का या पान): 4 इक्के + 13 पान में पान का इक्का दो बार गिना जाता है। इसलिए अनुकूल = 4 + 13 − 1 = 16 और P = 16/52 = 4/13।
संयोगानुपात
पक्ष में संयोगानुपात अनुकूल की तुलना प्रतिकूल से करता है। दो पासों में योग 7: 6 अनुकूल, 30 प्रतिकूल, इसलिए पक्ष में 6 : 30 = 1 : 5 और विपक्ष में 5 : 1। वापस जाने के लिए: a : b से P = a ÷ (a + b)।
फिर लूडो पर
कबीर के एक फेंक में 6 की प्रायिकता 1/6 है, और दो फेंकों में कम से कम एक 6 की 11/36, लगभग तीन में एक। रिया योग 7 के बारे में भी सही थी।
समसंभाव्य परिणाम लिखो, चाहे हुए गिनो, भाग दो, और सरल करो।
Concepts and terms
सभी संभव परिणामों की सूची। दो सिक्कों के लिए: HH, HT, TH, TT।
जब सभी परिणाम समसंभाव्य हों, P(E) = अनुकूल ÷ कुल।
“E नहीं” में वे सभी परिणाम हैं जो E में नहीं, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1।
संयोगानुपात अनुकूल की तुलना प्रतिकूल से करता है; प्रायिकता अनुकूल की तुलना सभी परिणामों से।
Did you know
प्रायिकता का सिद्धांत 1654 में पास्कल और फ़र्मा के पत्रों से शुरू हुआ, जो बीच में रुके एक पासे के खेल के बारे में थे।
मानक पासे के आमने-सामने के फलकों का योग सदा 7 होता है।
Memory tricks
प्रायिकता — चाहे हुए बटा सब — ऊपर: जो परिणाम चाहिए। नीचे: सभी समसंभाव्य परिणाम।
ताश की गड्डी — 4 × 13, 12 तस्वीरें, 4 इक्के — ये तीन संख्याएँ याद रखो, तो पत्तों के ज़्यादातर सवाल केवल गिनती हैं।
Practice MCQs with answers (61)
- A 1/4
- B 1/2
- C 3/4
- D 1/3
Show answer
Why:
2 सिक्कों के 2^2 = 4 समसंभाव्य परिणाम हैं। ठीक 1 चित वाले गिनो: 2। P = 2/4 = 1/2।
- A 1/4
- B 1
- C 3/4
- D 1/2
Show answer
Why:
2 सिक्कों के 2^2 = 4 समसंभाव्य परिणाम हैं। कम से कम 1 चित वाले गिनो: 3। P = 3/4। तेज़: 1 − P(कोई चित नहीं) = 1 − 1/4 = 3/4।
- A 2/3
- B 1/2
- C 5/8
- D 3/8
Show answer
Why:
3 सिक्कों के 2^3 = 8 समसंभाव्य परिणाम हैं। ठीक 2 चित वाले गिनो: 3। P = 3/8।
- A 1/2
- B 2/3
- C 5/8
- D 3/8
Show answer
Why:
3 सिक्कों के 2^3 = 8 समसंभाव्य परिणाम हैं। अधिक से अधिक 1 चित वाले गिनो: 4। P = 4/8 = 1/2।
- A 5/8
- B 3/8
- C 1/2
- D 3/4
Show answer
Why:
4 सिक्कों के 2^4 = 16 समसंभाव्य परिणाम हैं। ठीक 2 चित वाले गिनो: 6। P = 6/16 = 3/8।
- A 1/4
- B 1/16
- C 15/16
- D 1
Show answer
Why:
4 सिक्कों के 2^4 = 16 समसंभाव्य परिणाम हैं। कम से कम 1 चित वाले गिनो: 15। P = 15/16। तेज़: 1 − P(कोई चित नहीं) = 1 − 1/16 = 15/16।
- A 1/6
- B 5/16
- C 17/32
- D 1/2
Show answer
Why:
5 सिक्कों के 2^5 = 32 समसंभाव्य परिणाम हैं। पट से अधिक चित वाले गिनो: 16। P = 16/32 = 1/2।
- A 1/8
- B 1/16
- C 1/4
- D 7/8
Show answer
Why:
4 सिक्कों के 2^4 = 16 समसंभाव्य परिणाम हैं। सभी चित या सभी पट वाले गिनो: 2। P = 2/16 = 1/8।
- A 5/16
- B 13/16
- C 3/16
- D 27/32
Show answer
Why:
5 सिक्कों के 2^5 = 32 समसंभाव्य परिणाम हैं। कम से कम 2 चित वाले गिनो: 26। P = 26/32 = 13/16।
- A 2/3
- B 1/6
- C 1/2
- D 3/5
Show answer
Why:
अनुकूल फलक: 2, 3, 5 (6 में से 3)। P = 3/6 = 1/2।
- A 2/3
- B 1/2
- C 1/6
- D 1/3
Show answer
Why:
अनुकूल फलक: 5, 6 (6 में से 2)। P = 2/6 = 1/3।
- A 2/3
- B 1/3
- C 5/6
- D 1/6
Show answer
Why:
अनुकूल फलक: 1, 2, 4, 6 (6 में से 4)। P = 4/6 = 2/3।
- A 1
- B 0
- C 1/6
- D 1/7
Show answer
Why:
पासे पर केवल 1 से 6 हैं, इसलिए 7 असंभव है: P = 0।
- A 31/36
- B 1/6
- C 5/36
- D 1/9
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 5 में यह गुण है: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)। P = 5/36।
- A 1/10
- B 1/9
- C 1/18
- D 1/12
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 3 में यह गुण है: (4, 6), (5, 5), (6, 4)। P = 3/36 = 1/12।
- A 1/6
- B 5/36
- C 1/5
- D 7/36
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 6 में यह गुण है: (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)। P = 6/36 = 1/6।
- A 5/36
- B 1/6
- C 1/5
- D 7/36
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 6 में यह गुण है: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)। P = 6/36 = 1/6।
- A 9/10
- B 7/9
- C 3/4
- D 13/18
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 27 में यह गुण है। P = 27/36 = 3/4।
- A 4/9
- B 7/18
- C 1/2
- D 5/12
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 15 में यह गुण है। P = 15/36 = 5/12।
- A 11/36
- B 5/18
- C 11/30
- D 1/3
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 11 में यह गुण है। P = 11/36। तेज़ जाँच: 1 − (5/6)² = 11/36।
- A 1/4
- B 2/9
- C 7/36
- D 4/15
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 8 में यह गुण है: (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)। P = 8/36 = 2/9।
- A 2/9
- B 3/10
- C 1/4
- D 5/18
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 9 में यह गुण है। P = 9/36 = 1/4।
- A 2/3
- B 5/6
- C 13/18
- D 25/36
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 25 में यह गुण है। P = 25/36। तेज़ जाँच: (5/6)² = 25/36।
- A 2/9
- B 1/4
- C 7/36
- D 4/15
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 8 में यह गुण है: (1, 1), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6)। P = 8/36 = 2/9।
- A 5/36
- B 1/6
- C 1/5
- D 7/36
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 6 में यह गुण है: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)। P = 6/36 = 1/6।
- A 35/36
- B 1/6
- C 1/36
- D 7/216
Show answer
Why:
तीन पासों के 6³ = 216 परिणाम; उनमें से 6 अनुकूल हैं। P = 6/216 = 1/36।
- A 1/6
- B 7/216
- C 35/36
- D 1/36
Show answer
Why:
तीन पासों के 6³ = 216 परिणाम; उनमें से 6 अनुकूल हैं। P = 6/216 = 1/36।
- A 5/9
- B 1/2
- C 121/216
- D 4/9
Show answer
Why:
तीन पासों के 6³ = 216 परिणाम; उनमें से 120 अनुकूल हैं। P = 120/216 = 5/9।
- A 7/8
- B 1/8
- C 3/4
- D 7/54
Show answer
Why:
तीन पासों के 6³ = 216 परिणाम; उनमें से 27 अनुकूल हैं। P = 27/216 = 1/8।
- A 3/4
- B 1/2
- C 1/4
- D 1/3
Show answer
Why:
2 × 6 = 12 समसंभाव्य परिणाम; 3 अनुकूल। P = 3/12 = 1/4।
- A 2/3
- B 5/12
- C 1/2
- D 7/12
Show answer
Why:
2 × 6 = 12 समसंभाव्य परिणाम; 7 अनुकूल। P = 7/12।
- A 1/13
- B 2/13
- C 5/52
- D 3/52
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 4। P = 4/52 = 1/13।
- A 1/52
- B 1/26
- C 1/13
- D 3/52
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 2। P = 2/52 = 1/26।
- A 7/26
- B 3/13
- C 1/4
- D 1/2
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 13। P = 13/52 = 1/4।
- A 5/52
- B 3/13
- C 7/52
- D 3/26
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 6। P = 6/52 = 3/26।
- A 4/13
- B 15/52
- C 8/13
- D 17/52
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 16। 13 पान और 4 इक्के जोड़ो, फिर दो बार गिना पान का इक्का घटाओ: 13 + 4 − 1 = 16। P = 16/52 = 4/13।
- A 1/4
- B 3/4
- C 10/13
- D 19/26
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 39। P = 39/52 = 3/4।
- A 1/52
- B 1/13
- C 1/26
- D 3/52
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 2। P = 2/52 = 1/26।
- A 1/4
- B 37/52
- C 35/52
- D 9/13
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 36। P = 36/52 = 9/13।
- A 7/13
- B 1/4
- C 29/52
- D 27/52
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 28। 26 लाल पत्ते + 4 बादशाह − 2 लाल बादशाह = 28। P = 28/52 = 7/13।
- A 1/4
- B 9/13
- C 37/52
- D 35/52
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 36। पान या बादशाह: 13 + 4 − 1 = 16, इसलिए दोनों नहीं: 52 − 16 = 36। P = 36/52 = 9/13।
- A 220/221
- B 2/221
- C 1/221
- D 3/1352
Show answer
Why:
2 पत्ते चुनने के तरीक़े: ⁵²C₂ = 1326। अनुकूल: ⁴C₂ ÷ ⁵²C₂ = 6 ÷ 1326 = 1/221।
- A 77/102
- B 25/51
- C 25/208
- D 25/102
Show answer
Why:
2 पत्ते चुनने के तरीक़े: ⁵²C₂ = 1326। अनुकूल: ²⁶C₂ ÷ ⁵²C₂ = 325 ÷ 1326 = 25/102।
- A 8/663
- B 1/169
- C 655/663
- D 16/663
Show answer
Why:
2 पत्ते चुनने के तरीक़े: ⁵²C₂ = 1326। अनुकूल: (4 × 4) ÷ ⁵²C₂ = 16 ÷ 1326 = 8/663।
- A 13/17
- B 4/17
- C 8/17
- D 3/26
Show answer
Why:
2 पत्ते चुनने के तरीक़े: ⁵²C₂ = 1326। अनुकूल: 4 × ¹³C₂ ÷ ⁵²C₂ = 312 ÷ 1326 = 4/17।
- A 1 : 10
- B 8 : 1
- C 1 : 8
- D 1 : 9
Show answer
Why:
4 अनुकूल और 32 प्रतिकूल परिणाम। पक्ष में संयोगानुपात = अनुकूल : प्रतिकूल = 4 : 32 = 1 : 8।
- A 1 : 7
- B 1 : 5
- C 5 : 6
- D 5 : 1
Show answer
Why:
6 अनुकूल और 30 प्रतिकूल परिणाम। विपक्ष में संयोगानुपात = प्रतिकूल : अनुकूल = 30 : 6 = 5 : 1।
- A 1/9
- B 5/36
- C 1/12
- D 2/15
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 4 में यह गुण है: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)। P = 4/36 = 1/9।
- A 4/9
- B 5/12
- C 7/18
- D 1/2
Show answer
Why:
दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य परिणाम हैं। इनमें से 15 में यह गुण है। P = 15/36 = 5/12।
- A 11/13
- B 23/52
- C 11/26
- D 21/52
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 22। 12 तस्वीर वाले + 13 हुकुम − 3 हुकुम के तस्वीर वाले = 22। P = 22/52 = 11/26।
- A 3/52
- B 2/13
- C 5/52
- D 1/13
Show answer
Why:
अनुकूल पत्ते: 52 में से 4। P = 4/52 = 1/13।
- A 1/2
- B 1/4
- C 3/8
- D 2/3
Show answer
Why:
कम से कम दो चित: HHH, HHT, HTH, THH, यानी 8 में से 4। P = 1/2।
- A 7/8
- B 3/4
- C 1/2
- D 3/8
Show answer
Why:
सम: 2, 4, 6, 8। लाल: 1, 3, 6। 6 को दोहराए बिना मिलाकर: 1, 2, 3, 4, 6, 8, यानी 8 में से 6। P = 3/4।
- A 3/7
- B 0
- C 5/4
- D 1
Show answer
Why:
प्रायिकता 0 से 1 के बीच होती है; 5/4, 1 से अधिक है।
- A 0.35
- B 0.75
- C 1.35
- D 0.65
Show answer
Why:
1 − 0.35 = 0.65।
- A क्रमित जोड़े समसंभाव्य हैं, पर योग नहीं
- B क्योंकि योग 2 और 12 असंभव हैं
- C क्योंकि 11 एक अभाज्य संख्या है
- D क्योंकि पासे के 6 फलक हैं और 6 × 6 = 11
Show answer
Why:
योग 7 छह तरीक़ों से और योग 2 केवल 1 तरीक़े से आ सकता है, इसलिए 11 योग समसंभाव्य नहीं; 36 जोड़े हैं।
- A 2/7
- B 1/7
- C 1/53
- D 0
Show answer
Why:
365 दिन = 52 सप्ताह + 1 दिन। वह अतिरिक्त दिन 1/7 प्रायिकता से रविवार है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
4 में से 2 परिणाम: P = 1/2, और R ही इसका कारण है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
A असत्य है: पान का बादशाह दो बार गिना गया, इसलिए 16/52 = 4/13। R सत्य है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
योग 7: 36 में से 6 = 1/6, सत्य। योग 12: केवल (6, 6), इसलिए 1/36, 1/11 नहीं।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
लाल बेगम: 52 में से 2 = 1/26। चिड़ी: 52 में से 13 = 1/4। दोनों सत्य।
Important short questions (5)
TTT, HTT, THT, TTH: 8 में से 4। P = 1/2।
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3): 36 में से 4। P = 1/9।
हुकुम और चिड़ी में J, Q, K: 6 पत्ते। P = 6/52 = 3/26।
अनुकूल 3, प्रतिकूल 7: P = 3 ÷ 10 = 3/10।
केवल $\text{TTTTT}$ में कोई चित नहीं: P(कोई नहीं) = 1/32, इसलिए कम से कम एक = 1 − 1/32 = 31/32।
Long answer questions (2)
(a) (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2): 5/36।
(b) योग 10, 11, 12: 3 + 2 + 1 = 6 तरीक़े, इसलिए 6/36 = 1/6।
(c) 6 जोड़े: 6/36 = 1/6।
(d) 5 + 6 − 1 = 10, क्योंकि (4, 4) दोनों में है: 10/36 = 5/18।
(a) 26/52 = 1/2।
(b) 12/52 = 3/13।
(c) 6/52 = 3/26।
(d) 26 + 12 − 6 = 32, इसलिए 32/52 = 8/13।
Flashcards (14)
Play this topic
- संभावना या नहीं?
थैले, गेंदें और घटनाएँ
थैलों से गेंदें निकालना, एक-एक करके, एक साथ, वापस रखकर और बिना रखे; चयन के लिए संचय का उपयोग; “A या B” के लिए योग नियम, स्वतंत्र घटनाएँ और गुणन नियम, पूरक से “कम से कम एक”, और गेंद से पहले थैला चुनना।
What you will be able to do
- आप किसी दिए गए रंग की गेंद निकलने की प्रायिकता निकाल सकेंगे।
- आप वापस रखकर और बिना रखे निकासियों में अंतर कर सकेंगे।
- आप एक साथ कई गेंदें निकालने पर ⁿCᵣ से प्रायिकता निकाल सकेंगे।
- आप P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B) का उपयोग कर सकेंगे।
- आप स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकताएँ गुणा कर सकेंगे और “कम से कम एक” के लिए पूरक ले सकेंगे।
Key points
एक गेंद: P(रंग) = उस रंग की गेंदें ÷ सभी गेंदें।
दो गेंदें एक साथ: P = अनुकूल चयन ÷ ⁿC₂।
वापस रखने पर हर बार थैला वैसा ही रहता है, इसलिए वही भिन्न गुणा करो।
बिना वापस रखे, दूसरी भिन्न के हर में एक गेंद कम होती है।
दो एक साथ निकालना और बिना वापस रखे एक के बाद एक निकालना समान प्रायिकता देते हैं।
P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)। जो घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं, उनमें अंतिम पद 0 है।
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A और B) = P(A) × P(B)।
कई स्वतंत्र घटनाओं में कम से कम एक = 1 − विफलता की प्रायिकताओं का गुणनफल।
पहले यादृच्छिक थैला चुनना: P = ½ × P(थैला 1 से) + ½ × P(थैला 2 से)।
Full explanation
मीरा का लकी डिप
स्कूल मेले में मीरा एक लकी डिप चलाती है: कपड़े के थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं, और लाल गेंद पर टॉफ़ी मिलती है। उसकी सहेलियाँ पूछती हैं: “मेरे लाल निकालने की क्या संभावना है? और दो निकालूँ, तो दोनों के लाल होने की?”
एक गेंद
8 गेंदें हैं और 5 लाल, इसलिए P(लाल) = 5/8 और P(नीली) = 3/8। एक गेंद लाल और नीली दोनों नहीं हो सकती, इसलिए P(लाल या नीली) = 5/8 + 3/8 = 1।
दो गेंदें: वापस रखें या नहीं?
यदि पहली गेंद वापस जाए, तो थैला वैसा ही: P(दोनों लाल) = 5/8 × 5/8 = 25/64।
यदि बाहर रहे, तो 7 में केवल 4 लाल बचीं: P(दोनों लाल) = 5/8 × 4/7 = 5/14। दो एक साथ निकालना, बिना वापस रखे जैसा ही है: $\frac{^5C_2}{^8C_2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$।
हर रंग की एक
दो गेंदें एक साथ, एक लाल और एक नीली: 1 लाल (5 तरीक़े) और 1 नीली (3 तरीक़े) = ⁸C₂ = 28 में से 15, इसलिए P = 15/28।
क्रम में बिना वापस रखे, दोनों क्रम याद रखो: 5/8 × 3/7 + 3/8 × 5/7 = 30/56 = 15/28। वही उत्तर।
कम से कम एक
एक साथ दो निकासियों में P(कम से कम एक नीली) = 1 − P(कोई नीली नहीं) = 1 − ⁵C₂/⁸C₂ = 1 − 10/28 = 9/14। पूरक से स्थितियाँ लिखने की बचत होती है।
A या B: योग नियम
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
40 की कक्षा में 20 चाय, 18 कॉफ़ी और 6 दोनों पीते हैं। P(चाय या कॉफ़ी) = 20/40 + 18/40 − 6/40 = 32/40 = 4/5।
स्वतंत्र घटनाएँ
अनिल एक पहेली 1/2 और बीना 1/3 प्रायिकता से अलग-अलग हल करते हैं। दोनों हल करें: 1/2 × 1/3 = 1/6। दोनों विफल: 1/2 × 2/3 = 1/3। इसलिए पहेली 1 − 1/3 = 2/3 प्रायिकता से हल होगी। 1/2 + 1/3 जोड़ने पर “दोनों” वाली स्थिति दो बार गिनी जाती।
पहले थैला, फिर गेंद
थैले 1 में 3 लाल और 1 नीली; थैले 2 में 1 लाल और 3 नीली। सिक्का उछालकर थैला चुनो, फिर गेंद निकालो। P(लाल) = ½ × 3/4 + ½ × 1/4 = 1/2।
उलटकर: यदि गेंद लाल है, तो उसके थैले 1 से आने की संभावना (½ × 3/4) ÷ (1/2) = 3/4। यह बेज़ नियम है।
फिर लकी डिप पर
एक निकासी: लाल 5/8। बिना वापस रखे दो: दोनों लाल 5/14, कम से कम एक नीली 9/14। मीरा हर गेंद वापस रखने का निर्णय लेती है, जिससे दोनों लाल 25/64 हो जाता है।
थैला गिनो, देखो कि वह बदलता है या नहीं, “और” पर गुणा, “या” पर जोड़, और कम से कम एक के लिए 1 − कोई नहीं।
Concepts and terms
गेंद वापस रखने से थैला नहीं बदलता, इसलिए निकासियाँ स्वतंत्र हैं। बाहर रखने से दूसरी निकासी बदल जाती है।
जो घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं, जैसे एक गेंद के लिए “लाल” और “नीली”। तब P(A या B) = P(A) + P(B)।
एक घटना दूसरी की संभावना नहीं बदलती, जैसे दो अलग सिक्के। तब P(A और B) = P(A) × P(B)।
यदि पहले थैला चुना जाए, तो सभी थैलों पर (थैले की संभावना) × (उस थैले से गेंद की संभावना) जोड़ो।
Did you know
केवल 23 लोगों के कमरे में दो लोगों का जन्मदिन एक होने की प्रायिकता 1/2 से अधिक है।
बेज़ नियम, जो “थैला 1 दिया हो तो लाल” को “लाल दिया हो तो थैला 1” में बदलता है, ईमेल स्पैम फ़िल्टर का आधार है।
Memory tricks
और या या — और गुणा करे, या जोड़े — लाल और फिर नीली: गुणा। लाल या नीली (एक गेंद): जोड़।
कम से कम एक — एक घटा कोई नहीं — P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)।
Practice MCQs with answers (50)
- A 3/5
- B 2/3
- C 1/2
- D 2/5
Show answer
Why:
कुल 10 गेंदें; 4 लाल हैं। P = 4/10 = 2/5।
- A 2/3
- B 1/12
- C 3/4
- D 1/3
Show answer
Why:
कुल 12 गेंदें; 8 हरी न हैं। P = 8/12 = 2/3।
- A 2/3
- B 7/12
- C 5/12
- D 1/12
Show answer
Why:
कुल 12 गेंदें; 7 लाल या सफ़ेद हैं। P = 7/12।
- A 8/15
- B 7/8
- C 7/15
- D 1/3
Show answer
Why:
कुल 15 गेंदें; 7 काली हैं। P = 7/15।
- A 5/6
- B 1/3
- C 2/27
- D 1/6
Show answer
Why:
$^{4}C_2 ÷ {}^{9}C_2$ = 6/36 = 1/6।
- A 8/15
- B 7/15
- C 4/15
- D 6/25
Show answer
Why:
एक लाल (6 तरीक़े) और एक नीली (4 तरीक़े): $^{10}C_2$ = 45 में से 24। P = 8/15।
- A 5/9
- B 5/18
- C 10/81
- D 13/18
Show answer
Why:
एक ही रंग: $^{3}C_2$ + $^{4}C_2$ + $^{2}C_2$ = 36 में से 10। P = 5/18।
- A 13/36
- B 26/81
- C 13/18
- D 5/18
Show answer
Why:
पूरक: कोई भी हरी नहीं, 36 में से $^{5}C_2$ = 10 तरीक़े। P = 1 − 10/36 = 13/18।
- A 4/25
- B 3/20
- C 2/3
- D 1/3
Show answer
Why:
10 में से 2 गेंदें चुनने के तरीक़े: $^{10}C_2$ = 45। अनुकूल चयन: 15। P = 15/45 = 1/3।
- A 13/18
- B 13/36
- C 26/81
- D 5/18
Show answer
Why:
9 में से 2 गेंदें चुनने के तरीक़े: $^{9}C_2$ = 36। अनुकूल चयन: 26। P = 26/36 = 13/18।
- A 25/32
- B 25/64
- C 25/28
- D 39/64
Show answer
Why:
वापस रखने पर निकासियाँ स्वतंत्र हैं: 5/8 × 5/8 = 25/64।
- A 19/25
- B 12/25
- C 6/25
- D 8/15
Show answer
Why:
वापस रखने पर निकासियाँ स्वतंत्र हैं: 4/10 × 6/10 = 6/25।
- A 35/144
- B 97/132
- C 35/66
- D 35/132
Show answer
Why:
पहली लाल: 5/12। एक गेंद निकल चुकी, इसलिए दूसरी नीली: 7/11। गुणा: 5/12 × 7/11 = 35/132।
- A 2/15
- B 3/25
- C 13/15
- D 4/15
Show answer
Why:
पहली पीली: 4/10। एक गेंद निकल चुकी, इसलिए दूसरी पीली: 3/9। गुणा: 4/10 × 3/9 = 2/15।
- A 17/28
- B 17/32
- C 15/32
- D 17/64
Show answer
Why:
गेंद वापस रखी जाती है, इसलिए हर बार 8 में से। क्रमित परिणाम: 8 × 8 = 64; अनुकूल 34। P = 34/64 = 17/32।
- A 5/12
- B 8/11
- C 3/11
- D 6/11
Show answer
Why:
12 में से 3 चुनने के तरीक़े: $^{12}C_3$ = 220। अनुकूल: 3 × 4 × 5 = 60। P = 60/220 = 3/11।
- A 5/32
- B 23/28
- C 5/14
- D 5/28
Show answer
Why:
8 में से 3 चुनने के तरीक़े: $^{8}C_3$ = 56। अनुकूल: $^{5}C_3$ = 10। P = 10/56 = 5/28।
- A 3/10
- B 7/10
- C 3/5
- D 12/13
Show answer
Why:
थैले स्वतंत्र हैं: 3/5 × 4/8 = 3/10।
- A 9/32
- B 9/16
- C 1/2
- D 7/16
Show answer
Why:
पहले से सफ़ेद और दूसरे से काली, या पहले से काली और दूसरे से सफ़ेद: 5/8 × 6/8 + 3/8 × 2/8 = 9/16।
- A 1/9
- B 2/3
- C 5/12
- D 5/6
Show answer
Why:
P = ½ × 2/3 + ½ × 1/6 = 5/12। हर थैला समसंभाव्य, फिर गेंद।
- A 3/10
- B 2/5
- C 1/2
- D 3/5
Show answer
Why:
P(1 और लाल) = ½ × 3/5 = 3/10; P(लाल) = 1/2। भाग दो: 3/10 ÷ 1/2 = 3/5 (बेज़ नियम)।
- A 7/15
- B 1/3
- C 1/15
- D 8/15
Show answer
Why:
3 के गुणज: 10; 5 के: 6; दोनों के: 2। अनुकूल = 10 + 6 − 2 = 14। P = 14/30 = 7/15।
- A 2/25
- B 8/25
- C 2/5
- D 6/25
Show answer
Why:
4 के गुणज: 12; 6 के: 8; दोनों के: 4। अनुकूल = 12 + 8 − 4 = 16। P = 16/50 = 8/25।
- A 1/2
- B 1/10
- C 3/5
- D 7/10
Show answer
Why:
2 के गुणज: 10; 5 के: 4; दोनों के: 2। अनुकूल = 10 + 4 − 2 = 12। P = 12/20 = 3/5।
- A 5/6
- B 1/6
- C 1/3
- D 2/3
Show answer
Why:
पूरक लो: P(दोनों विफल) = 1/2 × 2/3 = 1/3, इसलिए P = 1 − 1/3 = 2/3।
- A 5/12
- B 1/12
- C 11/12
- D 1/2
Show answer
Why:
केवल पहला या केवल दूसरा: 3/4 × 1/3 + 1/4 × 2/3 = 5/12।
- A 13/20
- B 1/10
- C 9/10
- D 9/20
Show answer
Why:
स्वतंत्र, इसलिए गुणा: 2/5 × 1/4 = 1/10।
- A 2/5
- B 7/20
- C 1/20
- D 3/5
Show answer
Why:
दोनों विफल: 1/5 × 1/4 = 1/20।
- A 2/15
- B 2/5
- C 3/5
- D 13/15
Show answer
Why:
पूरक लो: P(दोनों विफल) = 1/3 × 2/5 = 2/15, इसलिए P = 1 − 2/15 = 13/15।
- A 2/3
- B 1/2
- C 5/6
- D 1/6
Show answer
Why:
P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 2/3।
- A 4/5
- B 3/10
- C 7/10
- D 3/20
Show answer
Why:
P(A और B) = P(A) + P(B) − P(A या B) = 3/5 + 1/2 − 4/5 = 3/10।
- A 11/20
- B 13/20
- C 9/20
- D 1/10
Show answer
Why:
P(A या B) = 2/5 + 1/4 − 1/10 = 11/20; दोनों नहीं = 1 − 11/20 = 9/20।
- A 5/8
- B 1/2
- C 3/5
- D 3/8
Show answer
Why:
पक्ष में 3 : 5 का अर्थ 5 प्रतिकूल पर 3 अनुकूल, कुल 8 में से। P = 3/8।
- A 2/9
- B 2/7
- C 7/9
- D 1/4
Show answer
Why:
विपक्ष में 7 : 2 का अर्थ 7 प्रतिकूल पर 2 अनुकूल, कुल 9 में से। P = 2/9।
- A 6/7
- B 1/7
- C 3/7
- D 1/4
Show answer
Why:
सभी व्यवस्थाएँ: 5040। स्वरों को एक खंड में बाँधने पर: 720। P = 720/5040 = 1/7।
- A 7/10
- B 2/3
- C 3/10
- D 2/5
Show answer
Why:
अनुकूल: $^{4}C_{2} \times {}^{6}C_{1}$ = 36; कुल $^{10}C_{3}$ = 120। P = 3/10।
- A 1/210
- B 1/2
- C 41/42
- D 1/42
Show answer
Why:
अनुकूल: $^{5}C_{0} \times {}^{5}C_{4}$ = 5; कुल $^{10}C_{4}$ = 210। P = 1/42।
- A 3/4
- B 1/12
- C 5/6
- D 1/4
Show answer
Why:
कुल 12 गेंदें; 9 नीली न हैं। P = 9/12 = 3/4।
- A 4/7
- B 3/7
- C 6/7
- D 9/49
Show answer
Why:
एक ही रंग: $^{4}C_2$ + $^{3}C_2$ = 21 में से 9। P = 3/7।
- A 11/20
- B 9/10
- C 9/20
- D 1/2
Show answer
Why:
5 × 4 = 20 समसंभाव्य जोड़े; 9 अनुकूल। P = 9/20।
- A 7/40
- B 4/5
- C 11/20
- D 1/5
Show answer
Why:
आरेख पढ़ो: 40 में से 8 विद्यार्थी। P = 8/40 = 1/5।
- A 16/25
- B 6/25
- C 9/25
- D 3/5
Show answer
Why:
आरेख पढ़ो: 50 में से 32 विद्यार्थी। P = 32/50 = 16/25।
- A P(A) = P(B)
- B P(A और B) = 0
- C P(A और B) = P(A) × P(B)
- D P(A या B) = 1
Show answer
Why:
अपवर्जी घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं, इसलिए उनकी संयुक्त प्रायिकता 0 है।
- A बिना वापस रखे एक के बाद एक दो लाल गेंदें निकालना
- B एक पत्ते का बादशाह होना और उसी का तस्वीर वाला होना
- C सिक्के पर चित और पासे पर 6
- D पासे की एक फेंक में 2 और 5 आना
Show answer
Why:
सिक्का और पासा एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते। बाक़ी जुड़ी हुई या अपवर्जी हैं।
- A 3/7
- B 1/53
- C 1/7
- D 2/7
Show answer
Why:
366 दिन = 52 सप्ताह + 2 दिन। 7 समसंभाव्य जोड़ों (रवि-सोम, सोम-मंगल, …, शनि-रवि) में से 2 में रविवार है।
- A 0.3
- B 0.8
- C 1.1
- D 0.1
Show answer
Why:
स्वतंत्र: 0.6 × 0.5 = 0.3।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
दोनों सत्य और R कारण है: प्रतिदर्श समष्टियाँ मेल खाती हैं (हर जोड़ा 2 क्रमों में आता है)।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
A असत्य है: 7/6 > 1, इसलिए घटनाओं में साझा भाग होना चाहिए। R सत्य है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
5 में से 3, सत्य। वापस रखकर (3/5)² = 9/25; 3/10 बिना वापस रखे का उत्तर है।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
1/4 × 1/5 = 1/20, सत्य। दोनों नहीं: 3/4 × 4/5 = 3/5, सत्य।
Important short questions (4)
⁴C₂ ÷ ¹⁰C₂ = 6/45 = 2/15।
बिना वापस रखे पहली गेंद बाहर है, इसलिए दूसरी निकासी में एक गेंद कम और संभवतः चाहे रंग की भी एक कम।
P(A या B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7। क्योंकि 0.5 × 0.4 = 0.2, वे स्वतंत्र हैं।
सब चूकें: 1/2 × 2/3 × 3/4 = 1/4। भेदा जाए: 1 − 1/4 = 3/4।
Long answer questions (2)
कुल ⁹C₂ = 36।
(a) ⁴C₂ = 6: 6/36 = 1/6।
(b) 4 × 3 = 12: 12/36 = 1/3।
(c) 6 + 3 + 1 = 10: 10/36 = 5/18।
(d) कोई हरी नहीं: ⁷C₂ = 21, इसलिए 1 − 21/36 = 15/36 = 5/12।
(a) ½ × 5/8 + ½ × 2/8 = 7/16।
(b) (½ × 5/8) ÷ 7/16 = (5/16) ÷ (7/16) = 5/7।
Flashcards (13)
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- वापस रखें या नहीं?
Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 19 — frequently asked questions
TTT, HTT, THT, TTH: 8 में से 4। P = 1/2।
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3): 36 में से 4। P = 1/9।
हुकुम और चिड़ी में J, Q, K: 6 पत्ते। P = 6/52 = 3/26।
⁴C₂ ÷ ¹⁰C₂ = 6/45 = 2/15।
बिना वापस रखे पहली गेंद बाहर है, इसलिए दूसरी निकासी में एक गेंद कम और संभवतः चाहे रंग की भी एक कम।
P(A या B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7। क्योंकि 0.5 × 0.4 = 0.2, वे स्वतंत्र हैं।
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