Veda Skills Quantitative Aptitude Unit 15:
क्षेत्रमिति
क्षेत्रमिति is Unit 15 of
Veda Skills Quantitative Aptitude (Hindi medium).
This page has the complete chapter notes across 2 topics, 139 practice MCQs with answers and explanations, 10 important short and long questions and 31 flashcards, written for SSC, Bank, Railway and placement exams and free to read.
2 topics
139 MCQs
8 short answers
2 long answers
31 flashcards
2 games
~130 min read
Hindi
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समतल आकृतियों का क्षेत्रफल और परिमाप
आयत, वर्ग, त्रिभुज (हीरोन सहित), समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, समलंब, वृत्त, त्रिज्यखंड और वलय का क्षेत्रफल और परिमाप, साथ में रास्ते, सड़कें, ख़र्च और छायांकित भाग वाले सवाल।
What you will be able to do
आप आयत, वर्ग और त्रिभुज का क्षेत्रफल और परिमाप निकाल सकेंगे, हीरोन के सूत्र से भी।
आप समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब का क्षेत्रफल निकाल सकेंगे।
आप वृत्त, अर्धवृत्त, त्रिज्यखंड और वलय के सवाल हल कर सकेंगे।
आप छायांकित भाग, रास्ते का क्षेत्रफल और बाड़ या फ़र्श का ख़र्च निकाल सकेंगे।
आप भुजाएँ बदलने पर क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन निकाल सकेंगे।
Key points
आयत: क्षेत्रफल l × b, परिमाप 2(l + b)। वर्ग: क्षेत्रफल a² या d²/2, परिमाप 4a।
त्रिभुज: ½ × आधार × ऊँचाई। तीन भुजाएँ हों तो हीरोन: s = (a + b + c)/2, क्षेत्रफल = √(s(s − a)(s − b)(s − c))।
a भुजा वाला समबाहु त्रिभुज: क्षेत्रफल (√3/4)a², ऊँचाई (√3/2)a।
समांतर चतुर्भुज: आधार × ऊँचाई। समचतुर्भुज: ½ × d₁ × d₂। समलंब: ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई।
वृत्त: क्षेत्रफल πr², परिधि 2πr। अर्धवृत्त का परिमाप: πr + 2r।
θ कोण का त्रिज्यखंड: क्षेत्रफल (θ/360) × πr², चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr।
R और r त्रिज्याओं के बीच वलय: π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)।
छायांकित या रास्ते का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल − भीतरी क्षेत्रफल।
यदि दो भुजाएँ a% और b% बदलें, तो क्षेत्रफल a + b + ab/100 प्रतिशत बदलता है।
Full explanation
सुनीता के स्कूल का बगीचा
सुनीता के स्कूल में 40 मी × 25 मी का आयताकार बगीचा है। प्रधानाचार्य उसके चारों ओर 3 मी चौड़ा ईंटों का रास्ता, बीच में 7 मी त्रिज्या का एक गोल फव्वारा, और बाहर बाड़ चाहते हैं। कितने वर्ग मीटर ईंटें और कितने मीटर बाड़ लगेगी?
इस योजना का हर भाग क्षेत्रमिति का सवाल है। आओ एक-एक आकृति लेकर औज़ार बनाएँ।
परिमाप और क्षेत्रफल
परिमाप आकृति के चारों ओर की दूरी है, मी या सेमी में। क्षेत्रफल अंदर की सतह है, वर्ग मी या वर्ग सेमी में।
आयत: $A = l \times b$, $P = 2(l + b)$
वर्ग: $A = a^2 = \frac{d^2}{2}$, $P = 4a$
ख़र्च के सवाल: बाड़ का ख़र्च = परिमाप × प्रति मीटर दर; फ़र्श का ख़र्च = क्षेत्रफल × प्रति वर्ग मी दर।
रास्ते और सड़कें
$l \times b$ खेत के बाहर $w$ चौड़ा रास्ता हो तो बाहरी आयत $(l + 2w) \times (b + 2w)$ बनता है। रास्ते का क्षेत्रफल = बाहरी − भीतरी। रास्ता अंदर हो तो भीतरी आयत $(l - 2w) \times (b - 2w)$ होता है।
बीच से काटती $w$ चौड़ी दो सड़कें $w(l + b) - w^2$ घेरती हैं, क्योंकि बीच का वर्ग दो बार गिना जाता है।
त्रिभुज
आधार और ऊँचाई ज्ञात: $A = \frac{1}{2} b h$।
तीनों भुजाएँ ज्ञात: हीरोन का सूत्र, $s = \frac{a + b + c}{2}$:
$$A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$
$a$ भुजा वाला समबाहु: $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$।
चार भुजाओं वाली आकृतियाँ
समांतर चतुर्भुज: आधार × लंब ऊँचाई।
समचतुर्भुज: $\frac{1}{2} d_1 d_2$।
समलंब: $\frac{1}{2}(a + b) h$, जहाँ $a$, $b$ समांतर भुजाएँ हैं।
वृत्त, अर्धवृत्त और वलय
$A = \pi r^2$ और $C = 2\pi r$। $\pi = \frac{22}{7}$ के साथ $r$ को 7 का गुणज रखो: $r = 7$ से $A = 154$ और $C = 44$।
अर्धवृत्त का परिमाप $= \pi r + 2r$।
वलय: $\pi(R^2 - r^2)$।
पहिया सड़क के हर $2\pi r$ पर एक चक्कर लगाता है।
त्रिज्यखंड और चाप
$\theta$ कोण का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का $\frac{\theta}{360}$ भाग है:
छायांकित क्षेत्रफल = पूरी आकृति − सफ़ेद भाग। 14 भुजा वाले वर्ग में 7 त्रिज्या का वृत्त हो तो कोनों के टुकड़े $196 - 154 = 42$ हैं। उसी वर्ग के कोनों पर 7 त्रिज्या के चार चौथाई वृत्त भी मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं, इसलिए बीच का टुकड़ा भी 42 है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन
यदि लंबाई $a%$ और चौड़ाई $b%$ बढ़े, तो क्षेत्रफल $a + b + \frac{ab}{100}$ प्रतिशत बदलता है। वर्ग की भुजा 10% बढ़े: $10 + 10 + 1 = 21%$। लंबाई +20%, चौड़ाई −20%: $0 - 4 = -4%$।
सुनीता के उत्तर
रास्ता: $46 \times 31 - 40 \times 25 = 426$ वर्ग मी ईंटें। बाड़: $2(46 + 31) = 154$ मी। 7 मी त्रिज्या का फव्वारा घास के $154$ वर्ग मी लेता है। तीन सवाल, तीन सूत्र, और उन्हें जोड़ने वाला घटाने का विचार।
Concepts and terms
क्षेत्रफल बनाम परिमाप
परिमाप आकृति के चारों ओर की लंबाई (मी) है; क्षेत्रफल वह सतह है जो वह घेरती है (वर्ग मी)। बाड़ में परिमाप, फ़र्श में क्षेत्रफल लगता है।
हीरोन का सूत्र
तीन भुजाओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल देता है, ऊँचाई की ज़रूरत नहीं।
त्रिज्यखंड
दो त्रिज्याओं के बीच वृत्त का एक टुकड़ा। यह पूरे वृत्त का θ/360 भाग है।
घटाने की विधि
किसी भी छायांकित भाग के लिए पूरी आकृति का क्षेत्रफल निकालो और बिना छायांकित भाग घटाओ।
Did you know
समान परिमाप वाली सभी आकृतियों में वृत्त सबसे अधिक क्षेत्रफल घेरता है; इसीलिए कई टंकियाँ गोल होती हैं।
आर्यभट (499 ई.) ने π ≈ 3.1416 बताया, जो चार दशमलव स्थानों तक सही है।
Memory tricks
वृत्त के सूत्र — क्षेत्रफल में वर्ग, परिधि में दुगुना — क्षेत्रफल πr² में r का वर्ग; परिधि 2πr में आगे 2।
क्षेत्रफल परिवर्तन — a + b + ab/100 — +20% और −10% से 20 − 10 − 2 = +8%।
Practice MCQs with answers (60)
Q1
एक आयताकार भूखंड 18 मी लंबा और 12 मी चौड़ा है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग मी में) ज्ञात करो।
beginner
A60
B234
C216
D232
Show answer
Answer: 216
Why:
18 × 12 = 216 वर्ग मी।
Q2
एक आयत का क्षेत्रफल 400 वर्ग मी और लंबाई 25 मी है। उसका परिमाप (मी में) ज्ञात करो।
beginner
Q6
एक वर्ग का विकर्ण 12 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A144
B36
C24
D72
Show answer
Answer: 72
Why:
क्षेत्रफल = d²/2 = 144/2 = 72।
Q7
एक वर्ग का विकर्ण 9 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो।
intermediate
A40.5
B81
C20.25
D18
Show answer
Answer: 40.5
Why:
क्षेत्रफल = d²/2 = 81/2 = 40.5।
Q8
एक आयत की लंबाई 20% बढ़ाई जाती है और चौड़ाई 10% घटाई जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन क्या है?
intermediate
A+10%
B+8%
C-8%
D-2%
Show answer
Answer: +8%
Why:
a + b + ab/100 = 20 + (-10) + (20 × -10)/100 = +8%।
Q9
एक वर्ग की भुजा 10% बढ़ाई जाती है। उसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बदलता है?
intermediate
A-21%
B+20%
C+21%
D+23%
Show answer
Answer: +21%
Why:
a + b + ab/100 = 10 + (10) + (10 × 10)/100 = +21%।
Q10
एक आयत की लंबाई 25% बढ़ाई जाती है और चौड़ाई 20% घटाई जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन क्या है?
advanced
A+1%
B+5%
C+2%
D0%
Show answer
Answer: 0%
Why:
a + b + ab/100 = 25 + (-20) + (25 × -20)/100 = 0%।
Q11
5 मी × 4 मी फ़र्श को ढकने के लिए 25 सेमी भुजा वाली कितनी वर्गाकार टाइलें लगेंगी?
intermediate
A320
B3200
C80
D32
Show answer
Answer: 320
Why:
फ़र्श = 500 × 400 = 2,00,000 वर्ग सेमी; टाइल = 625 वर्ग सेमी; 2,00,000 ÷ 625 = 320।
Q12
40 मी × 25 मी के बगीचे में किनारों के साथ बाहर 3 मी चौड़ा रास्ता (छायांकित) है। रास्ते का क्षेत्रफल (वर्ग मी में) ज्ञात करो।
intermediate
A204
B426
C390
D462
Show answer
Answer: 426
Why:
बाहरी = 46 × 31 = 1426; रास्ता = उसमें से 40 × 25 घटाकर = 426 वर्ग मी।
Q13
30 मी × 20 मी के बगीचे में किनारों के साथ अंदर 2.5 मी चौड़ा रास्ता (छायांकित) है। रास्ते का क्षेत्रफल (वर्ग मी में) ज्ञात करो।
intermediate
A250
B220
C225
D118.75
Show answer
Answer: 225
Why:
भीतरी = 25 × 15 = 375; रास्ता = 600 − उसे = 225 वर्ग मी।
Q14
50 मी × 35 मी के बगीचे में किनारों के साथ बाहर 2 मी चौड़ा रास्ता (छायांकित) है। रास्ते का क्षेत्रफल (वर्ग मी में) ज्ञात करो।
beginner
A174
B340
C372
D356
Show answer
Answer: 356
Why:
बाहरी = 54 × 39 = 2106; रास्ता = उसमें से 50 × 35 घटाकर = 356 वर्ग मी।
Q15
60 मी × 40 मी के पार्क में 3 मी चौड़ी दो सड़कें भुजाओं के समांतर बीच में काटती हैं (छायांकित)। सड़कों का क्षेत्रफल (वर्ग मी में) ज्ञात करो।
intermediate
A291
B309
C180
D300
Show answer
Answer: 291
Why:
सड़कें = 3 × 60 + 3 × 40 − 3 × 3 = 291 वर्ग मी।
Q16
80 मी × 50 मी के पार्क में 4 मी चौड़ी दो सड़कें बीच में काटती हैं (छायांकित)। बजरी बिछाने का ख़र्च ₹12 प्रति वर्ग मी है। कुल ख़र्च (₹ में) ज्ञात करो।
advanced
Q17
त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं।
beginner
A20
B60
C48
D96
Show answer
Answer: 48
Why:
½ × 12 × 8 = 48 वर्ग सेमी।
Q18
त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं।
beginner
A135
B24
C82.5
D67.5
Show answer
Answer: 67.5
Why:
½ × 15 × 9 = 67.5 वर्ग सेमी।
Q19
त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं।
intermediate
Q20
त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं।
intermediate
Q21
त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं।
advanced
Q23
8 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो।
beginner
A16√3 cm²
B32√3 cm²
C64 cm²
D8√3 cm²
Show answer
Answer: 16√3 cm²
Why:
(√3/4) × 8² = (√3/4) × 64 = 16√3।
Q24
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 36√3 वर्ग सेमी है। उसका परिमाप (सेमी में) ज्ञात करो।
advanced
A108
B36
C12
D18
Show answer
Answer: 36
Why:
(√3/4)a² = 36√3 से a² = 144, a = 12, परिमाप = 36।
Q25
समचतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ = 16 सेमी और $BD$ = 12 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A112
B192
C96
D56
Show answer
Answer: 96
Why:
½ × 16 × 12 = 96।
Q26
समचतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ = 24 सेमी और $BD$ = 10 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A240
B68
C144
D120
Show answer
Answer: 120
Why:
½ × 24 × 10 = 120।
Q27
AB ∥ DC है। समलंब का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं।
intermediate
A66
B132
C84
D72
Show answer
Answer: 66
Why:
½ × (14 + 8) × 6 = 66।
Q28
AB ∥ DC है। समलंब का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं।
intermediate
A180
B144
C153
D288
Show answer
Answer: 144
Why:
½ × (20 + 12) × 9 = 144।
Q29
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं।
beginner
A66
B30
C60
D32
Show answer
Answer: 60
Why:
आधार × ऊँचाई = 10 × 6 = 60।
Q30
7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
beginner
A44
B616
C168
D154
Show answer
Answer: 154
Why:
(22/7) × 7² = 154 वर्ग सेमी।
Q31
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि (सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
beginner
A88
B616
C44
D95
Show answer
Answer: 88
Why:
2 × (22/7) × 14 = 88 सेमी।
Q32
एक गोल भूखंड का व्यास 42 मी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग मी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A1407
B1386
C5544
D132
Show answer
Answer: 1386
Why:
r = 21; क्षेत्रफल = (22/7) × 21² = 1386 वर्ग मी।
Q33
एक वृत्त की परिधि 220 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A7700
B4070
C3850
D15,400
Show answer
Answer: 3850
Why:
2πr = 220 से r = 35; क्षेत्रफल = (22/7) × 35² = 3850।
Q34
एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 1.1 किमी चलने में वह कितने पूरे चक्कर लगाएगा? π = 22/7 लो।
intermediate
A5000
B1000
C250
D500
Show answer
Answer: 500
Why:
एक चक्कर = π × 70 = 220 सेमी; 110000 ÷ 220 = 500।
Q35
एक पहिए का व्यास 56 सेमी है। 2.2 किमी चलने में वह कितने पूरे चक्कर लगाएगा? π = 22/7 लो।
advanced
Q36
22 सेमी भुजा वाले वर्ग के आकार में मुड़ा तार दोबारा वृत्त बनाया जाता है। वृत्त का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A88
B616
C484
D154
Show answer
Answer: 616
Why:
तार = 4 × 22 = 88 = 2πr, इसलिए r = 14 और क्षेत्रफल = 616।
Q37
चित्र एक अर्धवृत्त है जिसका व्यास दिखाया गया है। उसका परिमाप (सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं। π = 22/7 लो।
intermediate
A44
B29
C36
D22
Show answer
Answer: 36
Why:
πr + 2r = (22/7) × 7 + 14 = 22 + 14 = 36।
Q38
चित्र एक अर्धवृत्त है जिसका व्यास दिखाया गया है। उसका परिमाप (सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं। π = 22/7 लो।
beginner
A58
B44
C88
D72
Show answer
Answer: 72
Why:
πr + 2r = (22/7) × 14 + 28 = 44 + 28 = 72।
Q39
छायांकित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं। π = 22/7 लो।
intermediate
A231
B462
C22
D1386
Show answer
Answer: 231
Why:
(60/360) × (22/7) × 21² = 231।
Q40
छायांकित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं। π = 22/7 लो।
beginner
A308
B154
C22
D616
Show answer
Answer: 154
Why:
(90/360) × (22/7) × 14² = 154।
Q41
छायांकित त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं। π = 22/7 लो।
intermediate
A462
B132
C44
D88
Show answer
Answer: 44
Why:
चाप = (120/360) × 2 × (22/7) × 21 = 44।
Q42
छायांकित त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं। π = 22/7 लो।
advanced
A17.6
B30.8
C44
D8.8
Show answer
Answer: 8.8
Why:
चाप = (72/360) × 2 × (22/7) × 7 = 8.8।
Q43
घड़ी की मिनट की सुई 14 सेमी लंबी है। 15 मिनट में वह कितना क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) घेरती है? π = 22/7 लो।
intermediate
A154
B22
C308
D616
Show answer
Answer: 154
Why:
15 मिनट = 90°, चौथाई वृत्त: ¼ × 616 = 154।
Q44
छायांकित वलय का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। सभी लंबाइयाँ सेमी में हैं। π = 22/7 लो।
intermediate
A44
B462
C154
D616
Show answer
Answer: 462
Why:
π(R² − r²) = (22/7) × (196 − 49) = 462।
Q45
14 मी त्रिज्या वाले गोल पार्क के चारों ओर बाहर 7 मी चौड़ा ट्रैक है। ट्रैक का क्षेत्रफल (वर्ग मी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
Q46
28 सेमी भुजा वाले वर्ग के अंदर चारों भुजाओं को छूता वृत्त बना है। छायांकित क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A696
B616
C42
D168
Show answer
Answer: 168
Why:
784 − (22/7) × (14)² = 784 − 616 = 168।
Q47
21 सेमी भुजा वाले वर्ग के अंदर चारों भुजाओं को छूता वृत्त बना है। छायांकित क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
A94.5
B24
C375
D346.5
Show answer
Answer: 94.5
Why:
441 − (22/7) × (10.5)² = 441 − 346.5 = 94.5।
Q48
14 सेमी भुजा वाले वर्ग के कोनों पर 7 सेमी त्रिज्या के चार चौथाई वृत्त बने हैं। छायांकित क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A154
B42
C157.5
D168
Show answer
Answer: 42
Why:
चारों चौथाई मिलकर एक पूरा वृत्त: 196 − (22/7) × (7)² = 42।
Q49
28 सेमी भुजा वाले वर्ग के कोनों पर 14 सेमी त्रिज्या के चार चौथाई वृत्त बने हैं। छायांकित क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
A630
B672
C168
D616
Show answer
Answer: 168
Why:
चारों चौथाई मिलकर एक पूरा वृत्त: 784 − (22/7) × (14)² = 168।
Q50
7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर एक वर्ग है जिसके कोने वृत्त पर हैं। छायांकित क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A28
B105
C98
D56
Show answer
Answer: 56
Why:
वर्ग का विकर्ण = 14, इसलिए वर्ग = 14²/2 = 98। छायांकित = 154 − 98 = 56।
Q51
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर एक वर्ग है जिसके कोने वृत्त पर हैं। छायांकित क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
A224
B392
C112
D420
Show answer
Answer: 224
Why:
वर्ग का विकर्ण = 28, इसलिए वर्ग = 28²/2 = 392। छायांकित = 616 − 392 = 224।
Q52
20 सेमी × 14 सेमी आयत के सिरे पर 14 सेमी व्यास का अर्धवृत्त जोड़ा गया है, जैसा दिखाया है। कुल छायांकित क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A280
B357
C203
D434
Show answer
Answer: 357
Why:
20 × 14 + ½ × (22/7) × (7)² = 280 + 77 = 357।
Q53
यदि वृत्त की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए, तो उसका क्षेत्रफल हो जाता है
beginner
A8 गुना
Bअपरिवर्तित
C4 गुना
D2 गुना
Show answer
Answer: 4 गुना
Why:
क्षेत्रफल r² के अनुसार बदलता है, और 2² = 4।
Q54
एक वर्ग और एक वृत्त का परिमाप समान है। किसका क्षेत्रफल अधिक है?
intermediate
Aआकार पर निर्भर
Bवर्ग
Cदोनों बराबर
Dवृत्त
Show answer
Answer: वृत्त
Why:
परिमाप 88 पर: वृत्त 616, वर्ग 484। वृत्त सदा अधिक।
Q55
किसी वर्ग के अंतर्गत वृत्त और परिगत वृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?
advanced
A1 : 2
B1 : 4
C1 : √2
D2 : 3
Show answer
Answer: 1 : 2
Why:
त्रिज्याएँ a/2 और a/√2; वर्ग करने पर a²/4 : a²/2 = 1 : 2।
Q56
दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात 16 : 25 है। उनकी परिधियों का अनुपात क्या है?
intermediate
A16 : 25
B4 : 5
C2 : 5
D8 : 5
Show answer
Answer: 4 : 5
Why:
त्रिज्याओं का अनुपात = √(16/25) = 4/5, और परिधि r के अनुसार।
Q57
अभिकथन (A): वर्ग की हर भुजा में 10% वृद्धि से उसका क्षेत्रफल 21% बढ़ता है।
कारण (R): वर्ग का क्षेत्रफल भुजा के वर्ग पर निर्भर है।
intermediate
AA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
BA और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
CA सत्य है पर R असत्य है
DA असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Answer: A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Why:
1.1² = 1.21, इसलिए A सत्य है और R से निकलता है।
Q58
अभिकथन (A): 7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का परिमाप 22 सेमी है।
कारण (R): 7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का वक्र भाग 22 सेमी लंबा है।
intermediate
AA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
BA और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
CA सत्य है पर R असत्य है
DA असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Answer: A असत्य है पर R सत्य है
Why:
R सत्य है (π × 7 = 22), पर परिमाप में व्यास भी जुड़ता है: 22 + 14 = 36। इसलिए A असत्य है।
Q59
कथनों पर विचार करो:
1. 10 सेमी और 24 सेमी विकर्णों वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 120 वर्ग सेमी है।
2. 5, 12 और 13 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है।
intermediate
Aकेवल 1
Bकेवल 2
C1 और 2 दोनों
Dन 1, न 2
Show answer
Answer: केवल 1
Why:
½ × 10 × 24 = 120, सत्य। 5-12-13 समकोण त्रिभुज है: ½ × 5 × 12 = 30, इसलिए 2 असत्य।
Q60
इनमें से कौन-सा/कौन-से कथन सत्य है/हैं?
1. आयत की लंबाई और चौड़ाई दुगुनी करने से क्षेत्रफल दुगुना होता है।
2. 90° का त्रिज्यखंड वृत्त का चौथाई भाग है।
beginner
Aकेवल 1
Bकेवल 2
C1 और 2 दोनों
Dन 1, न 2
Show answer
Answer: केवल 2
Why:
दोनों दुगुना करने पर क्षेत्रफल 4 गुना होता है, इसलिए 1 असत्य। 90/360 = ¼, इसलिए 2 सत्य।
Important short questions (4)
9 सेमी, 10 सेमी और 17 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो।
s = 18; क्षेत्रफल = √(18 × 9 × 8 × 1) = √1296 = 36 वर्ग सेमी।
एक गोल खेत की परिधि 132 मी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात करो (π = 22/7)।
2πr = 132 से r = 21; क्षेत्रफल = (22/7) × 441 = 1386 वर्ग मी।
100 मी × 80 मी के खेत के बीच में भुजाओं के समांतर 5 मी चौड़ी दो सड़कें काटती हैं। उनका क्षेत्रफल ज्ञात करो।
5 × 100 + 5 × 80 − 5 × 5 = 875 वर्ग मी।
28 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 45° के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करो।
एक आयताकार लॉन 50 मी × 35 मी है। उसके चारों ओर बाहर 2.5 मी चौड़ा रास्ता है, और लॉन के बीच 7 मी त्रिज्या की गोल क्यारी बनी है। (a) रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात करो। (b) ₹40 प्रति वर्ग मी की दर से रास्ता बनाने का ख़र्च ज्ञात करो। (c) घास के लिए बचे लॉन का क्षेत्रफल ज्ञात करो।
समलंब की समांतर भुजाएँ 10 और 6, ऊँचाई 4: क्षेत्रफल?
32
14 त्रिज्या में 90° का त्रिज्यखंड: क्षेत्रफल?
154
R = 14, r = 7 वाला वलय: क्षेत्रफल?
462
वर्ग की भुजा +20%: क्षेत्रफल परिवर्तन?
+44%
त्रिज्या दुगुनी: क्षेत्रफल हो जाता है?
4 गुना
r त्रिज्या वाले पहिए के एक चक्कर में दूरी?
2πr
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क्षेत्रफल जाँच
ठोसों का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल
घनाभ, घन, बेलन, शंकु, गोले और अर्धगोले का आयतन, वक्र और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल; पिघलाकर दोबारा ढालना, पानी का स्तर बढ़ना, आयतन में प्रतिशत परिवर्तन, मिश्रित ठोस, और कठिन परीक्षाओं के रंगे घन व छिन्नक वाले सवाल।
What you will be able to do
आप घनाभ और घन का आयतन, पृष्ठीय क्षेत्रफल और विकर्ण निकाल सकेंगे।
आप बेलन, शंकु, गोले और अर्धगोले के सवाल हल कर सकेंगे, तिर्यक ऊँचाई सहित।
आप आयतन बराबर रखकर पिघलाने, ढालने और पानी के स्तर वाले सवाल हल कर सकेंगे।
आप तंबू और कैप्सूल जैसे मिश्रित ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकाल सकेंगे।
आप विमाएँ बदलने पर आयतन का प्रतिशत परिवर्तन और अनुपात निकाल सकेंगे।
Key points
घनाभ: V = lbh, संपूर्ण पृष्ठ = 2(lb + bh + hl), चार दीवारें = 2h(l + b), विकर्ण = √(l² + b² + h²)।
a भुजा वाला घन: V = a³, संपूर्ण पृष्ठ = 6a², विकर्ण = a√3।
बेलन: V = πr²h, वक्र पृष्ठ 2πrh, संपूर्ण 2πr(r + h)।
शंकु: V = ⅓πr²h, तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²), वक्र πrl, संपूर्ण πr(l + r)।
गोला: V = ⁴⁄₃πr³, S = 4πr²। अर्धगोला: V = ⅔πr³, वक्र 2πr², संपूर्ण 3πr²।
पिघलाकर ढालने में आयतन वही रहता है; पृष्ठीय क्षेत्रफल बदलता है।
पानी के स्तर में वृद्धि = डाला गया आयतन ÷ बर्तन के आधार का क्षेत्रफल।
1 घन मी = 1000 लीटर और 1 लीटर = 1000 घन सेमी।
हर लंबाई k गुनी हो तो क्षेत्रफल k² गुना और आयतन k³ गुना होता है।
समान त्रिज्या r और ऊँचाई r वाले शंकु, अर्धगोले और बेलन के आयतन 1 : 2 : 3 के अनुपात में हैं।
Full explanation
राजू का आइसक्रीम ठेला
राजू कोन में कुल्फ़ी और बेलनाकार टब से आइसक्रीम बेचता है। वह जानना चाहता है कि एक टब से कितने कोन भरेंगे, हर कोन पर कितना काग़ज़ लगेगा, और टब 10% चौड़ा करने पर ख़र्च का क्या होगा।
हर सवाल एक ठोस के बारे में है: वह कितना रखता है (आयतन) और उसे कितना ढकता है (पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
घनाभ और घन
लंबाई $l$, चौड़ाई $b$, ऊँचाई $h$ वाला घनाभ:
आयतन $= lbh$
संपूर्ण पृष्ठ $= 2(lb + bh + hl)$
चार दीवारें $= 2h(l + b)$
सबसे लंबा विकर्ण $= \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$
$a$ भुजा वाला घन: आयतन $a^3$, पृष्ठ $6a^2$, विकर्ण $a\sqrt{3}$।
बेलन
बेलन वृत्तों का ढेर है: आयतन $= \pi r^2 h$। उसकी बगल खोलो तो $2\pi r$ × $h$ का आयत बनता है, इसलिए वक्र पृष्ठ $2\pi r h$ है। दोनों गोल सिरे जोड़ो तो संपूर्ण: $2\pi r(r + h)$।
शंकु
शंकु समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन का एक-तिहाई रखता है: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$। उसकी तिर्यक ऊँचाई अंदर के समकोण त्रिभुज से आती है: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$। वक्र पृष्ठ $= \pi r l$; संपूर्ण $= \pi r(l + r)$।
गोला और अर्धगोला
गोला: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, $S = 4\pi r^2$।
अर्धगोला: $V = \frac{2}{3}\pi r^3$, वक्र $2\pi r^2$, संपूर्ण $3\pi r^2$ (वक्र और सपाट वृत्त)।
पिघलाना और दोबारा ढालना
पिघलाकर नई आकृति में ढाली गई धातु का आयतन वही रहता है। 6 त्रिज्या का गोला 4 त्रिज्या के बेलन में:
$$\tfrac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \pi \cdot 4^2 \cdot h \Rightarrow h = 18$$
12 त्रिज्या की गेंद से 3 त्रिज्या की $(12/3)^3 = 64$ गेंदें बनती हैं। आयतन का अनुपात सदा लंबाई के अनुपात का घन होता है।
पानी का स्तर बढ़ना
बर्तन में ठोस डालने पर पानी (ठोस का आयतन) ÷ (बर्तन के आधार का क्षेत्रफल) जितना ऊपर उठता है। 50 सेमी × 40 सेमी की टंकी में 20 सेमी भुजा का घन पानी को $8000 \div 2000 = 4$ सेमी उठाता है।
मिश्रित ठोस
भागों के आयतन जोड़ो। पृष्ठ के लिए केवल वे फलक जोड़ो जिन्हें बाहर से छू सको। तंबू (बेलन और शंकु) में $2\pi r h + \pi r l$ कैनवास लगता है: न आधार, न जोड़ वाला वृत्त।
आयतन में प्रतिशत परिवर्तन
हर लंबाई $k$ गुनी करो तो आयतन $k^3$ गुना होता है। घन की भुजा 10% बढ़े: $1.1^3 = 1.331$, आयतन 33.1% बढ़ा। बेलन की त्रिज्या 10% बढ़े और ऊँचाई वही रहे: $1.1^2 = 1.21$, आयतन 21% बढ़ा।
दो कठिन विचार
रंगा घन। बाहर से रंगे घन को $n^3$ छोटे घनों में काटें तो 8 घनों के तीन फलक, $12(n - 2)$ के दो, $6(n - 2)^2$ का एक और $(n - 2)^3$ का कोई फलक रंगा नहीं होता।
छिन्नक। ऊपर से कटा शंकु: $V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$, वक्र पृष्ठ $\pi(R + r)l$, जहाँ $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$।
राजू के उत्तर
14 सेमी त्रिज्या और 21 सेमी ऊँचाई का टब $\frac{22}{7} \cdot 196 \cdot 21 = 12{,}936$ घन सेमी रखता है; 3.5 सेमी त्रिज्या और 12 सेमी ऊँचाई का हर कोन 154 घन सेमी, इसलिए एक टब से 84 कोन भरते हैं। हर कोन की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{3.5^2 + 12^2} = 12.5$ सेमी है, इसलिए उसे लपेटने का कागज़ $\pi r l = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 = 137.5$ वर्ग सेमी। 10% अधिक त्रिज्या वाला टब 21% अधिक रखता है। आयतन के सवाल एक ही विचार पर हैं: जगह निकालो, फिर तुलना करो।
Concepts and terms
आयतन
ठोस द्वारा घेरी गई जगह, घन इकाइयों में। किसी भी प्रिज़्म या बेलन के लिए यह आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई है।
वक्र बनाम संपूर्ण पृष्ठ
वक्र पृष्ठ में सपाट सिरे नहीं गिनते; संपूर्ण पृष्ठ में वे जुड़ते हैं। नली या तंबू में केवल वक्र भाग लगता है।
तिर्यक ऊँचाई
शंकु में त्रिज्या, ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई समकोण त्रिभुज बनाते हैं: l² = r² + h²।
आयतन का संरक्षण
ठोस पिघलाकर दोबारा ढाला जाए या पानी हटे, तो पहले का आयतन बाद के आयतन के बराबर रहता है।
पैमाना बदलना
लंबाइयाँ k से, क्षेत्रफल k² से, आयतन k³ से बदलते हैं।
Did you know
आर्किमिडीज़ ने सिद्ध किया कि गोले का आयतन उसे ठीक घेरने वाले बेलन का ठीक दो-तिहाई है, और चाहा कि यह उनकी समाधि पर खुदवाया जाए।
1 लीटर का डिब्बा ठीक 1000 घन सेमी रखता है, यानी 10 सेमी भुजा वाला घन।
Memory tricks
शंकु बनाम बेलन — शंकु अपने बेलन का एक-तिहाई — समान आधार और ऊँचाई: तीन शंकु पानी से एक बेलन भरता है।
गोला — चार-तिहाई पाई r घन, चार पाई r वर्ग — आयतन में घन, पृष्ठ में वर्ग, दोनों में 4।
शंकु, अर्धगोला, बेलन — 1 : 2 : 3 — त्रिज्या r और ऊँचाई r के साथ आयतन πr³ के ⅓, ⅔ और 1 गुना हैं।
Practice MCQs with answers (79)
Q1
दिखाया गया घनाभ 12 सेमी लंबा, 8 सेमी चौड़ा और 5 सेमी ऊँचा है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A480
B392
C576
D960
Show answer
Answer: 480
Why:
V = 12 × 8 × 5 = 480 घन सेमी।
Q2
दिखाया गया घनाभ 10 सेमी लंबा, 6 सेमी चौड़ा और 4 सेमी ऊँचा है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A240
B248
C128
D124
Show answer
Answer: 248
Why:
2(60 + 24 + 40) = 2 × 124 = 248 वर्ग सेमी।
Q3
दिखाया गया घनाभ 15 सेमी लंबा, 10 सेमी चौड़ा और 6 सेमी ऊँचा है। ऊपर और नीचे को छोड़कर उसके चार पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो।
intermediate
A450
B600
C300
D150
Show answer
Answer: 300
Why:
चार दीवारें = 2h(l + b) = 2 × 6 × 25 = 300 वर्ग सेमी।
Q4
दिखाया गया घनाभ 12 सेमी लंबा, 4 सेमी चौड़ा और 3 सेमी ऊँचा है। लाल रंग में दिखाए विकर्ण की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A19
B15
C12
D13
Show answer
Answer: 13
Why:
d = √(12² + 4² + 3²) = √169 = 13 सेमी।
Q5
दिखाया गया घनाभ 9 सेमी लंबा, 6 सेमी चौड़ा और 2 सेमी ऊँचा है। लाल रंग में दिखाए विकर्ण की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो।
intermediate
A11
B13
C10
D17
Show answer
Answer: 11
Why:
d = √(9² + 6² + 2²) = √121 = 11 सेमी।
Q6
दिखाया गया घनाभ 12 सेमी लंबा, 9 सेमी चौड़ा और 8 सेमी ऊँचा है। लाल रंग में दिखाए विकर्ण की लंबाई (सेमी में) ज्ञात करो।
intermediate
A16
B17
C29
D19
Show answer
Answer: 17
Why:
d = √(12² + 9² + 8²) = √289 = 17 सेमी।
Q7
दिखाया गया घनाभ 20 सेमी लंबा, 14 सेमी चौड़ा और 7 सेमी ऊँचा है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो।
intermediate
A1960
B476
C1036
D518
Show answer
Answer: 1036
Why:
2(280 + 98 + 140) = 2 × 518 = 1036 वर्ग सेमी।
Q8
7 सेमी भुजा वाले दिखाए गए घन का आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A294
B147
C49
D343
Show answer
Answer: 343
Why:
a³ = 7³ = 343 घन सेमी।
Q9
9 सेमी भुजा वाले दिखाए गए घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A486
B81
C324
D729
Show answer
Answer: 486
Why:
6a² = 6 × 81 = 486 वर्ग सेमी।
Q10
दिखाए गए घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 216 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो।
intermediate
A343
B216
C36
D252
Show answer
Answer: 216
Why:
6a² = 216 से a² = 36, a = 6; आयतन = 216 घन सेमी।
Q11
दिखाए गए घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 726 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो।
intermediate
A1452
B1728
C1331
D726
Show answer
Answer: 1331
Why:
6a² = 726 से a² = 121, a = 11; आयतन = 1331 घन सेमी।
Q12
4 सेमी भुजा वाले घन के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई ज्ञात करो।
beginner
A4√2 cm
B12 cm
C4√6 cm
D4√3 cm
Show answer
Answer: 4√3 cm
Why:
d = a√3 = 4√3 सेमी।
Q13
एक कमरा 6 मी लंबा, 4 मी चौड़ा और 3 मी ऊँचा है। ₹25 प्रति वर्ग मी की दर से उसकी चार दीवारें रंगने का ख़र्च (₹ में) ज्ञात करो।
intermediate
Q14
एक कमरा 8 मी लंबा, 5 मी चौड़ा और 4 मी ऊँचा है। ₹30 प्रति वर्ग मी की दर से उसकी चार दीवारें रंगने का ख़र्च (₹ में) ज्ञात करो।
intermediate
Q19
एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
beginner
A770
B440
C1540
D3080
Show answer
Answer: 1540
Why:
πr²h = (22/7) × 49 × 10 = 1540 घन सेमी।
Q20
एक बेलन की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
beginner
A2992
B880
C12,320
D1760
Show answer
Answer: 1760
Why:
2πrh = 2 × (22/7) × 14 × 20 = 1760 वर्ग सेमी।
Q21
एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A968
B814
C1276
D660
Show answer
Answer: 968
Why:
2πr(r + h) = 2 × (22/7) × 7 × 22 = 968 वर्ग सेमी।
Q22
एक बेलन की त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A616
B308
C154
D176
Show answer
Answer: 308
Why:
πr²h = (22/7) × 12.25 × 8 = 308 घन सेमी।
Q23
एक बेलन की त्रिज्या 21 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
beginner
A13,860
B4092
C1320
D660
Show answer
Answer: 1320
Why:
2πrh = 2 × (22/7) × 21 × 10 = 1320 वर्ग सेमी।
Q24
एक बेलन की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
Q25
9 सेमी ऊँचे बेलन का आयतन 1386 घन सेमी है। उसकी त्रिज्या (सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A7
B49
C9
D14
Show answer
Answer: 7
Why:
r² = 1386 ÷ ((22/7) × 9) = 49, इसलिए r = 7 सेमी।
Q26
एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसकी तिर्यक ऊँचाई (सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A26
B25
C23
D31
Show answer
Answer: 25
Why:
l = √(7² + 24²) = √625 = 25 सेमी।
Q27
एक शंकु की त्रिज्या 21 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसकी तिर्यक ऊँचाई (सेमी में) ज्ञात करो।
beginner
A30
B21
C29
D41
Show answer
Answer: 29
Why:
l = √(21² + 20²) = √841 = 29 सेमी।
Q28
एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A1283
B550
C3696
D1232
Show answer
Answer: 1232
Why:
⅓πr²h = ⅓ × (22/7) × 49 × 24 = 1232 घन सेमी।
Q29
एक शंकु की त्रिज्या 21 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 29 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A1914
B3828
C3300
D1320
Show answer
Answer: 1914
Why:
πrl = (22/7) × 21 × 29 = 1914 वर्ग सेमी।
Q30
एक शंकु की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 48 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
A29,568
B9856
C10,267
D2200
Show answer
Answer: 9856
Why:
⅓πr²h = ⅓ × (22/7) × 196 × 48 = 9856 घन सेमी।
Q31
एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
A858
B550
C704
D682
Show answer
Answer: 704
Why:
l = √(7² + 24²) = 25; πr(l + r) = (22/7) × 7 × 32 = 704 वर्ग सेमी।
Q32
एक शंकु की त्रिज्या 28 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 35 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A5544
B1848
C6160
D3080
Show answer
Answer: 3080
Why:
πrl = (22/7) × 28 × 35 = 3080 वर्ग सेमी।
Q33
एक गोले की त्रिज्या 21 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A38,808
B5544
C19,404
D29,106
Show answer
Answer: 38,808
Why:
⁴⁄₃πr³ = ⁴⁄₃ × (22/7) × 9261 = 38,808 घन सेमी।
Q34
एक गोले की त्रिज्या 7 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
beginner
A462
B616
C308
D154
Show answer
Answer: 616
Why:
4πr² = 4 × (22/7) × 49 = 616 वर्ग सेमी।
Q35
एक गोले की त्रिज्या 3.5 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A77
B38.5
C154
D115.5
Show answer
Answer: 154
Why:
4πr² = 4 × (22/7) × 12.25 = 154 वर्ग सेमी।
Q36
एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या 21 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
A29,106
B38,808
C4158
D19,404
Show answer
Answer: 19,404
Why:
⅔πr³ = ⅔ × (22/7) × 9261 = 19,404 घन सेमी।
Q37
एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या 7 सेमी है, जैसा दिखाया है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
Q47
पानी से आंशिक भरे 6 सेमी त्रिज्या वाले बेलनाकार जार में 3 सेमी त्रिज्या की 2 लोहे की गेंदें डाली जाती हैं। पानी का स्तर कितने सेमी बढ़ेगा?
intermediate
Q48
पानी से आंशिक भरे 12 सेमी त्रिज्या वाले बेलनाकार जार में 3 सेमी त्रिज्या की 16 लोहे की गेंदें डाली जाती हैं। पानी का स्तर कितने सेमी बढ़ेगा?
advanced
Q49
50 सेमी × 40 सेमी आधार वाली घनाभाकार टंकी में पानी है। 20 सेमी भुजा का ठोस घन डाला जाता है और पूरा डूब जाता है। पानी कितने सेमी ऊपर उठेगा?
intermediate
A4
B16
C2
D8
Show answer
Answer: 4
Why:
वृद्धि = 8000 ÷ (50 × 40) = 4 सेमी।
Q50
एक घन की हर कोर 10% बढ़ाई जाती है। उसका आयतन कितने प्रतिशत बदलता है?
intermediate
Q54
दो बेलनों की त्रिज्याएँ 2 : 3 और ऊँचाइयाँ 5 : 4 के अनुपात में हैं। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात करो।
intermediate
A4 : 9
B5 : 9
C16 : 45
D5 : 6
Show answer
Answer: 5 : 9
Why:
V ∝ r²h: 4 × 5 : 9 × 4 = 5 : 9।
Q55
दो शंकुओं की त्रिज्याएँ 3 : 4 और ऊँचाइयाँ 4 : 3 के अनुपात में हैं। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात करो।
advanced
A9 : 16
B27 : 64
C3 : 4
D1 : 1
Show answer
Answer: 3 : 4
Why:
V ∝ r²h: 9 × 4 : 16 × 3 = 3 : 4।
Q56
लकड़ी का एक घन सभी फलकों पर रंगकर 64 बराबर छोटे घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों के ठीक तीन फलक रंगे हैं?
advanced
A56
B14
C24
D8
Show answer
Answer: 8
Why:
n = 4: 8 कोने वाले घन।
Q57
लकड़ी का एक घन सभी फलकों पर रंगकर 125 बराबर छोटे घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों का ठीक एक फलक रंगा है?
advanced
A54
B27
C8
D36
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Answer: 54
Why:
n = 5: 6 फलक × (n − 2)² = 6 × 9 = 54।
Q58
लकड़ी का एक घन सभी फलकों पर रंगकर 216 बराबर छोटे घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों का एक भी नहीं फलक रंगा नहीं है?
advanced
A96
B64
C8
D48
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Answer: 64
Why:
n = 6: (n − 2)³ = 4³ = 64।
Q59
लकड़ी का एक घन सभी फलकों पर रंगकर 125 बराबर छोटे घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों के ठीक दो फलक रंगे हैं?
advanced
A27
B8
C36
D54
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Answer: 36
Why:
n = 5: 12 कोरें × (n − 2) = 12 × 3 = 36।
Q60
एक बाल्टी शंकु का छिन्नक है जिसके सिरों की त्रिज्याएँ 14 सेमी और 7 सेमी और गहराई 6 सेमी है। उसकी धारिता (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
Q61
शंकु के एक छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ 14 सेमी और 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
A1650
B550
C2420
D1584
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Answer: 1650
Why:
l = √(24² + 7²) = 25; π(R + r)l = (22/7) × 21 × 25 = 1650 वर्ग सेमी।
Q62
एक धातु की नली 21 सेमी लंबी है। उसकी बाहरी त्रिज्या 4 सेमी और भीतरी त्रिज्या 3 सेमी है। उसमें धातु का आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
intermediate
Q63
एक ठोस 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाला बेलन है जिसके ऊपर उसी त्रिज्या का अर्धगोला है, जैसा दिखाया है। सपाट आधार को छोड़कर उसका बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
A902
B1056
C748
D440
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Answer: 748
Why:
बेलन की बगल 2πrh = 440 + अर्धगोला 2πr² = 308; कुल 748 वर्ग सेमी।
Q64
एक ठोस 21 सेमी त्रिज्या और 20 सेमी ऊँचाई वाला बेलन है जिसके ऊपर उसी त्रिज्या का अर्धगोला है, जैसा दिखाया है। उसका आयतन (घन सेमी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
Q65
एक तंबू 6 मी त्रिज्या और 9 मी ऊँचाई वाला बेलन है जिसके ऊपर 8 मी ऊँचा शंकु है, जैसा दिखाया है। फ़र्श को छोड़कर कितना कैनवास लगेगा (वर्ग मी में)? π = 22/7 लो।
advanced
Q66
एक तंबू 21 मी त्रिज्या और 5 मी ऊँचाई वाला बेलन है जिसके ऊपर 20 मी ऊँचा शंकु है, जैसा दिखाया है। उसके अंदर हवा का आयतन (घन मी में) ज्ञात करो। π = 22/7 लो।
advanced
A6930
B16,170
C34,650
D20,328
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Answer: 16,170
Why:
πr²h + ⅓πr²hc = 6930 + 9240 = 16,170 घन मी।
Q67
एक तंबू 21 मी त्रिज्या और 5 मी ऊँचाई वाला बेलन है जिसके ऊपर 20 मी ऊँचा शंकु है, जैसा दिखाया है। फ़र्श को छोड़कर कितना कैनवास लगेगा (वर्ग मी में)? π = 22/7 लो।
advanced
Q68
7 मी व्यास का कुआँ 20 मी गहरा खोदा जाता है। कितनी मिट्टी निकलती है (घन मी में)? π = 22/7 लो।
intermediate
A385
B3080
C440
D770
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Answer: 770
Why:
r = 3.5; πr²h = (22/7) × 12.25 × 20 = 770 घन मी।
Q69
22 मी × 20 मी की सपाट छत पर 2 सेमी वर्षा होती है। छत पर कितने लीटर पानी गिरता है?
intermediate
A8800
B880
C8.8
D88,000
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Answer: 8800
Why:
22 × 20 × 0.02 = 8.8 घन मी = 8800 लीटर।
Q70
एक शंकु, एक अर्धगोले और एक बेलन की त्रिज्या समान है, और शंकु व बेलन की ऊँचाई उस त्रिज्या के बराबर है। उनके आयतनों का अनुपात है
intermediate
A3 : 2 : 1
B1 : 2 : 3
C1 : 1 : 1
D1 : 3 : 2
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Answer: 1 : 2 : 3
Why:
⅓πr³ : ⅔πr³ : πr³ = 1 : 2 : 3।
Q71
यदि गोले की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए, तो उसका आयतन हो जाता है
beginner
A4 गुना
B6 गुना
C8 गुना
D2 गुना
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Answer: 8 गुना
Why:
आयतन r³ के अनुसार बदलता है और 2³ = 8।
Q72
एक शंकु और एक बेलन का आधार और ऊँचाई समान हैं। बेलन का आयतन शंकु के आयतन का कितना गुना है?
beginner
A4 गुना
B2 गुना
C1.5 गुना
D3 गुना
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Answer: 3 गुना
Why:
V(शंकु) = ⅓πr²h।
Q73
5 सेमी भुजा वाले दो घन सिरे से सिरा जोड़े जाते हैं। बने घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) क्या है?
intermediate
A250
B200
C300
D275
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Answer: 250
Why:
घनाभ 10 × 5 × 5: 2(50 + 25 + 50) = 250। जोड़ पर दो फलक छिप गए।
Q74
जब किसी ठोस को पिघलाकर दूसरी आकृति में ढाला जाता है, तो इनमें से क्या वही रहता है?
beginner
Aउसका पृष्ठीय क्षेत्रफल
Bउसका आयतन
Cउसकी ऊँचाई
Dउसका परिमाप
Show answer
Answer: उसका आयतन
Why:
धातु की मात्रा नहीं बदलती, इसलिए आयतन संरक्षित रहता है।
Q75
दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 : 9 के अनुपात में हैं। उनके आयतनों का अनुपात क्या है?
advanced
A16 : 81
B4 : 9
C8 : 27
D2 : 3
Show answer
Answer: 8 : 27
Why:
त्रिज्याएँ 2 : 3, इसलिए आयतन 2³ : 3³ = 8 : 27।
Q76
अभिकथन (A): 7 सेमी त्रिज्या और 24 सेमी ऊँचाई वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 528 वर्ग सेमी है।
कारण (R): शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl है, जहाँ l तिर्यक ऊँचाई है।
intermediate
AA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
BA और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
CA सत्य है पर R असत्य है
DA असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Answer: A असत्य है पर R सत्य है
Why:
R सत्य है। l = 25, इसलिए πrl = 550; 528 ग़लती से h = 24 लेने पर आता है। इसलिए A असत्य है।
Q77
अभिकथन (A): बेलन की त्रिज्या दुगुनी और ऊँचाई आधी करने पर उसका आयतन दुगुना हो जाता है।
कारण (R): बेलन का आयतन r²h के समानुपाती है।
intermediate
AA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
BA और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
CA सत्य है पर R असत्य है
DA असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Answer: A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Why:
2² × ½ = 2, इसलिए A सत्य है और R उसकी व्याख्या है।
Q78
कथनों पर विचार करो:
1. r त्रिज्या वाले ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² है।
2. 3 सेमी भुजा वाले घन का विकर्ण 2 सेमी × 3 सेमी × 6 सेमी वाले घनाभ के विकर्ण से लंबा है।
intermediate
Aकेवल 1
Bकेवल 2
C1 और 2 दोनों
Dन 1, न 2
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Answer: केवल 1
Why:
2πr² + πr² = 3πr², सत्य। घन का विकर्ण 3√3 ≈ 5.2; घनाभ का 7। इसलिए 2 असत्य।
Q79
इनमें से कौन-सा/कौन-से कथन सत्य है/हैं?
1. 1 घन मी 100 लीटर के बराबर है।
2. 3 सेमी त्रिज्या के गोले को 1 सेमी त्रिज्या के 27 गोलों में ढाला जा सकता है।
beginner
Aकेवल 1
Bकेवल 2
C1 और 2 दोनों
Dन 1, न 2
Show answer
Answer: केवल 2
Why:
1 घन मी = 1000 लीटर, इसलिए 1 असत्य। (3/1)³ = 27, इसलिए 2 सत्य।
Important short questions (4)
10 सेमी × 8 सेमी × 5 सेमी घनाभ का आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करो।
V = 400 घन सेमी; संपूर्ण पृष्ठ = 2(80 + 40 + 50) = 340 वर्ग सेमी।
एक शंकु की त्रिज्या 21 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है। उसकी तिर्यक ऊँचाई और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करो।
l = √(441 + 400) = 29; πrl = (22/7) × 21 × 29 = 1914 वर्ग सेमी।
4 सेमी त्रिज्या के ठोस गोले से 1 सेमी त्रिज्या की कितनी गेंदें बन सकती हैं?
(4/1)³ = 64।
एक घन सभी फलकों पर रंगकर 125 बराबर घनों में काटा जाता है। कितनों का कोई फलक रंगा नहीं है?
n = 5; (5 − 2)³ = 27।
Long answer questions (1)
एक खिलौना 3.5 सेमी त्रिज्या वाले अर्धगोले पर रखा उसी त्रिज्या का शंकु है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 सेमी है। (a) शंकु की ऊँचाई ज्ञात करो। (b) खिलौने का आयतन ज्ञात करो। (c) उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करो।
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