Veda Skills Logical Reasoning Unit 1: संख्या श्रेणी
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लुप्त पद
किसी श्रेणी की लुप्त या अगली संख्या एक तय क्रम में जाँच करके ज्ञात करो: अंतर, अनुपात, वर्ग और घन, मिले-जुले ×/+ चरण, एकांतर पद और अभाज्य संख्याएँ।
What you will be able to do
- आप किसी श्रेणी के अंतरों की पंक्ति लिखकर पहचान सकेंगे कि अंतर स्थिर हैं या बढ़ रहे हैं।
- आप श्रेणी की बढ़त देखकर तय कर सकेंगे कि पहले अंतर जाँचें या अनुपात।
- आप श्रेणी में छिपे वर्ग, घन और अभाज्य संख्याएँ पहचान सकेंगे।
- आप ऊपर-नीचे चलती श्रेणी को दो गुँथी हुई श्रेणियों में बाँट सकेंगे।
- आप श्रेणी के बीच का लुप्त पद भी ज्ञात कर सकेंगे, केवल अंत का नहीं।
Key points
संख्या श्रेणी एक नियम से बनी संख्याओं की सूची है; प्रश्न में एक पद ? से छिपा होता है।
धीमी बढ़त (पद थोड़ा-थोड़ा बढ़ें) अंतर की ओर इशारा करती है; तेज़ बढ़त अनुपात की ओर।
यदि पहले अंतर स्थिर न हों, तो अंतरों के अंतर लिखो।
दूसरे अंतर स्थिर हों तो पद n² जैसे वर्ग पैटर्न पर चलते हैं।
अनुपात 2 या 3 के पास हो पर ठीक नहीं, तो प्रायः ×2 + k या ×3 − k होता है।
जो पद बारी-बारी से ऊपर-नीचे जाएँ, उनमें प्रायः विषम और सम स्थानों पर दो श्रेणियाँ छिपी होती हैं।
30 तक के वर्ग, 20 तक के घन और 100 से छोटी 25 अभाज्य संख्याएँ कंठस्थ रखो।
विकल्प चुनने से पहले अपना नियम हर दिए गए पद पर जाँचो।
Full explanation
अर्जुन की 40 सेकंड वाली समस्या
अर्जुन SSC CGL की तैयारी कर रहा है। मॉक टेस्ट में वह देखता है: 4, 7, 12, 19, 28, ? वह पहले 3 जोड़ता है, फिर 5, फिर अनुमान लगाता है और दो मिनट गँवा देता है।
संख्या श्रेणी के प्रश्न अनुमान के नहीं होते। इनमें कुछ नियमों की छोटी सूची को सही क्रम में जाँचना होता है। यह टॉपिक आपको वही क्रम देता है।
श्रेणी का प्रश्न क्या पूछता है
श्रेणी एक नियम से बनी संख्याओं की सूची है। हर संख्या एक पद है। एक पद ? से छिपा होता है, प्रायः अंतिम, कभी-कभी बीच वाला।
आपका काम: नियम ढूँढो, उसे हर पद पर जाँचो, फिर खाली स्थान पर लगाओ।
जाँच 1: अंतर
हर पद को अगले पद से घटाओ। अर्जुन की श्रेणी में अंतर +3, +5, +7, +9 हैं। ये हर बार 2 बढ़ते हैं, इसलिए अगला अंतर +11 है।
जाँच 2: तेज़ बढ़त पर अनुपात
यदि पद दुगुने या उससे तेज़ बढ़ें, तो हर पद को पिछले पद से भाग दो। 3, 6, 18, 72, 360 में गुणक ×2, ×3, ×4, ×5 हैं, इसलिए अगला ×6 है।
तेज़ जाँच: यदि अंतिम पद अपने पिछले पद के दुगुने से अधिक है, तो पहले अनुपात सोचो।
जाँच 3: वर्ग, घन और अभाज्य
कुछ पद प्रसिद्ध संख्याओं के पास होते हैं। 26, 50, 82, 122 हैं $5^2+1$, $7^2+1$, $9^2+1$, $11^2+1$। 7, 26, 63, 124 हैं $2^3-1$, $3^3-1$, $4^3-1$, $5^3-1$।
यदि 2, 3, 5, 7, 11, 13 या उनके वर्ग 4, 9, 25, 49, 121 दिखें, तो अभाज्य सोचो।
जाँच 4: मिश्रित चरण
3, 7, 15, 31, 63 में हर बार अनुपात 2 से थोड़ा अधिक है। यह ×2 + 1 का संकेत है: $3 \times 2 + 1 = 7$, $7 \times 2 + 1 = 15$, आदि। एक और पसंदीदा: ×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3, …
जाँच 5: एकांतर पद
जब श्रेणी ऊपर, नीचे, ऊपर, नीचे चले, तो प्रायः बारी-बारी से दो श्रेणियाँ होती हैं। 3, 20, 6, 17, 12, 14, 24, ? में विषम स्थान 3, 6, 12, 24 ×2 से चलते हैं और सम स्थान 20, 17, 14, −3 से, इसलिए ? = 14 − 3 = 11।
बीच में लुप्त पद
5, 11, ?, 29, 41 में दोनों ओर से काम करो। अंतर 6, फिर ?, फिर 12। यदि अंतर 6, 8, 10, 12 हों, तो ? = 11 + 8 = 19, और 19 + 10 = 29 इसकी पुष्टि करता है।
खाली स्थान के बाद वाले पद से सदा पुष्टि करो।
अर्जुन के पास वापस
अंतर, अनुपात, घात, मिश्रित, एकांतर वाले क्रम से अर्जुन अब श्रेणी के नीचे +3, +5, +7, +9 लिखता है, देखता है कि अंतर 2-2 बढ़ रहे हैं, और पंद्रह सेकंड में उत्तर 39 देता है। एक प्रश्न पर बचे दो मिनट यानी दो और प्रश्न।
Concepts and terms
पास-पास के पदों के बीच के अंतरों की पंक्ति। 4, 7, 12, 19 के अंतर 3, 5, 7 हैं।
हर पद को उससे पहले के पद से भाग देना। 3, 6, 18, 72 से अनुपात 2, 3, 4 मिलते हैं।
एक ही चरण में गुणा और जोड़, जैसे ×2 + 1: 3, 7, 15, 31।
दो श्रेणियाँ बारी-बारी से लिखी गईं: 2, 20, 4, 17, 6, 14 में 2, 4, 6 और 20, 17, 14 हैं।
Did you know
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 श्रेणी फिबोनाची श्रेणी कहलाती है, पर भारत में पिंगल और हेमचंद्र ने छंदों की गिनती करते समय इसे सदियों पहले बता दिया था।
लगभग हर SSC, बैंक और रेलवे प्रश्नपत्र में 3 से 5 श्रेणी प्रश्न होते हैं, और सही क्रम से जाँचने पर हर एक 40 सेकंड से कम में हल हो जाता है।
Memory tricks
जाँच का क्रम — अं-अनु-घा-मि-ए — अंतर, अनुपात, घात (वर्ग, घन), मिश्रित ×/+, एकांतर पद।
धीमा या तेज़ — धीमा: घटाओ। तेज़: भाग दो। — पद धीरे बढ़ें तो अंतर देखो; दुगुने या अधिक हों तो अनुपात देखो।
Practice MCQs with answers (74)
- A 31
- B 37
- C 38
- D 43
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या जुड़ती है: +6। इसलिए ? = 31 + 6 = 37।
- A 59
- B 67
- C 58
- D 49
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या जुड़ती है: +9। इसलिए ? = 49 + 9 = 58।
- A 61
- B 67
- C 53
- D 60
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या घटती है: −7। इसलिए ? = 67 − 7 = 60।
- A 70
- B 71
- C 81
- D 59
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या जुड़ती है: +11। इसलिए ? = 59 + 11 = 70।
- A 13
- B 21
- C 22
- D 29
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या घटती है: −8। इसलिए ? = 29 − 8 = 21।
- A 243
- B 405
- C 729
- D 1215
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3 है। इसलिए ? = 243 × 3 = 729।
- A 896
- B 128
- C 224
- D 512
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×4 है। इसलिए ? = 128 × 4 = 512।
- A 224
- B 112
- C 168
- D 336
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2 है। इसलिए ? = 112 × 2 = 224।
- A 33
- B 32
- C 31
- D 0
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ÷2 है। इसलिए ? = 64 ÷ 2 = 32।
- A 80
- B 48
- C 64
- D 62
Show answer
Why:
3, 4, 5, … के वर्ग। इसलिए ? = 8² = 64।
- A 357
- B 329
- C 307
- D 343
Show answer
Why:
2, 3, 4, … के घन। इसलिए ? = 7³ = 343।
- A 82
- B 64
- C 80
- D 100
Show answer
Why:
4, 5, 6, … के वर्ग, फिर +1। इसलिए ? = 9² + 1 = 82।
- A 29
- B 31
- C 35
- D 33
Show answer
Why:
11 से लगातार अभाज्य संख्याएँ। इसलिए ? = 31।
- A 43
- B 47
- C 45
- D 46
Show answer
Why:
अंतर +2, +4, +6, … हर बार 2 से बदलते हैं। इसलिए ? = 33 + 12 = 45।
- A 64
- B 62
- C 58
- D 61
Show answer
Why:
अंतर +4, +7, +10, … हर बार 3 से बदलते हैं। इसलिए ? = 45 + 16 = 61।
- A 50
- B 46
- C 54
- D 51
Show answer
Why:
अंतर +1, +5, +9, … हर बार 4 से बदलते हैं। इसलिए ? = 33 + 17 = 50।
- A 57
- B 60
- C 61
- D 63
Show answer
Why:
अंतर −2, −5, −8, … हर बार −3 से बदलते हैं। इसलिए ? = 74 − 14 = 60।
- A 78
- B 88
- C 83
- D 84
Show answer
Why:
अंतर +5, +10, +15, … हर बार 5 से बदलते हैं। इसलिए ? = 58 + 25 = 83।
- A 97
- B 90
- C 102
- D 96
Show answer
Why:
अंतर +3, +9, +15, … हर बार 6 से बदलते हैं। इसलिए ? = 69 + 27 = 96।
- A 95
- B 71
- C 96
- D 94
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2+1 है। इसलिए ? = 47 × 2 + 1 = 95।
- A 732
- B 730
- C 406
- D 728
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3−2 है। इसलिए ? = 244 × 3 − 2 = 730।
- A 64
- B 70
- C 67
- D 51
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2−3 है। इसलिए ? = 35 × 2 − 3 = 67।
- A 365
- B 363
- C 202
- D 364
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3+1 है। इसलिए ? = 121 × 3 + 1 = 364।
- A 317
- B 320
- C 314
- D 237
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2+3 है। इसलिए ? = 157 × 2 + 3 = 317।
- A 192
- B 240
- C 241
- D 84
Show answer
Why:
गुणक ×1, ×2, ×3, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। इसलिए ? = 48 × 5 = 240।
- A 3601
- B 1080
- C 3600
- D 3000
Show answer
Why:
गुणक ×2, ×3, ×4, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। इसलिए ? = 600 × 6 = 3600।
- A 585
- B 2205
- C 2837
- D 2835
Show answer
Why:
गुणक ×1, ×3, ×5, … हर बार 2 से बढ़ते हैं। इसलिए ? = 315 × 9 = 2835।
- A 2
- B 3
- C 1
- D −12
Show answer
Why:
बारी-बारी से 7, 6, 5, … से भाग दो। इसलिए ? = 6 ÷ 3 = 2।
- A 5
- B 4
- C 3
- D −80
Show answer
Why:
बारी-बारी से 8, 7, 6, … से भाग दो। इसलिए ? = 20 ÷ 5 = 4।
- A 0
- B 37
- C 32
- D 27
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर +5; स्थान 2, 4, 6, … पर −6। इसलिए ? = 38 − 6 = 32।
- A 25
- B 76
- C 31
- D 28
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर ×3; स्थान 2, 4, 6, … पर −4। इसलिए ? = 32 − 4 = 28।
- A 17
- B 35
- C 21
- D 13
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर +4; स्थान 2, 4, 6, … पर ×2। इसलिए ? = 13 + 4 = 17।
- A 29
- B 27
- C 45
- D 60
Show answer
Why:
दो चरण बारी-बारी से आते हैं: पहले ×2, फिर −3। इसलिए ? = 30 − 3 = 27।
- A 711
- B 245
- C 241
- D 395
Show answer
Why:
दो चरण बारी-बारी से आते हैं: पहले +4, फिर ×3। इसलिए ? = 237 + 4 = 241।
- A 29
- B 47
- C 21
- D 34
Show answer
Why:
हर पद अपने से पहले के दो पदों का योग है। इसलिए ? = 13 + 21 = 34।
- A 80
- B 82
- C 98
- D 62
Show answer
Why:
4, 5, 6, … के वर्ग, बारी-बारी से +1 और −1 के साथ। इसलिए ? = 9² − 1 = 80।
- A 684
- B 685
- C 239
- D 686
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या जोड़ो: ×1+1, ×2+2, ×3+3, …। इसलिए ? = 136 × 5 + 5 = 685।
- A 62
- B 68
- C 66
- D 64
Show answer
Why:
अंतर लगातार अभाज्य संख्याएँ हैं: 3, 5, 7, …। इसलिए ? = 49 + 17 = 66।
- A 22
- B 19
- C 23
- D 21
Show answer
Why:
अंतर +3, +5, +7, … हर बार 2 से बदलते हैं। इसलिए ? = 14 + 7 = 21।
- A 18
- B −2
- C 20
- D 13
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2+2 है। इसलिए ? = 8 × 2 + 2 = 18।
- A 945
- B 135
- C 75
- D −405
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3 है। इसलिए ? = 45 × 3 = 135।
- A 58
- B 78
- C 80
- D 102
Show answer
Why:
5, 6, 7, … के वर्ग, फिर −1। इसलिए ? = 9² − 1 = 80।
- A 19
- B 20
- C 14
- D 17
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर +3; स्थान 2, 4, 6, … पर +4। इसलिए ? = 13 + 4 = 17।
- A 131
- B 133
- C 129
- D 99
Show answer
Why:
अंतर +2, +4, +8, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 67 + 64 = 131।
- A 129
- B 128
- C 127
- D 74
Show answer
Why:
अंतर +1, +3, +9, … हर बार 3 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 47 + 81 = 128।
- A 102
- B 86
- C 94
- D 83
Show answer
Why:
बारी-बारी से 1, 2, 3, … के वर्ग जोड़ो। इसलिए ? = 58 + 6² = 94।
- A 228
- B 174
- C 242
- D 235
Show answer
Why:
बारी-बारी से 1, 2, 3, … के घन जोड़ो। इसलिए ? = 110 + 5³ = 235।
- A 153
- B 154
- C 152
- D 113
Show answer
Why:
2 से गुणा करो और बारी-बारी से 1, 2, 3, … जोड़ो। इसलिए ? = 74 × 2 + 5 = 153।
- A −29
- B −85
- C −84
- D −86
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या घटाओ: ×1−1, ×2−2, ×3−3, …। इसलिए ? = −16 × 5 − 5 = −85।
- A 54
- B 99
- C 68
- D 37
Show answer
Why:
हर पद अपने से पहले के तीन पदों का योग है। इसलिए ? = 11 + 20 + 37 = 68।
- A 600
- B 721
- C 384
- D 720
Show answer
Why:
गुणक ÷2, ×1, ×1.5, … हर बार 0.5 से बढ़ते हैं। इसलिए ? = 240 × 3 = 720।
- A 529
- B 433
- C 531
- D 527
Show answer
Why:
लगातार अभाज्य संख्याओं 5, 7, 11, … के वर्ग। इसलिए ? = 23² = 529।
- A 3967
- B 3968
- C 3969
- D 118
Show answer
Why:
पिछले पद का वर्ग, फिर −1। इसलिए ? = 63² − 1 = 3968।
- A 349
- B 314
- C 350
- D 351
Show answer
Why:
हर पद n³ + n है, जहाँ n = 2, 3, 4, …। इसलिए ? = 7³ + 7 = 350।
- A −1
- B 50
- C 35
- D 47
Show answer
Why:
अंतर +3, +6, +12, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 23 + 24 = 47।
- A 49
- B 46
- C 52
- D 50
Show answer
Why:
अंतर +2, +5, +8, … हर बार 3 से बदलते हैं। इसलिए ? = 35 + 14 = 49।
- A 288
- B 192
- C 96
- D 144
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2 है। इसलिए ? = 96 × 2 = 192।
- A −11
- B 61
- C 54
- D 47
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर +7; स्थान 2, 4, 6, … पर −9। इसलिए ? = 63 − 9 = 54।
- A 68
- B 37
- C −203
- D 67
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3+1 है। इसलिए ? = 22 × 3 + 1 = 67।
- A 2
- B 4
- C 5
- D 1
Show answer
Why:
पहले अंतर: 5, 7, 9, 11, 13। इनके अंतर सब 2 हैं।
- A अभाज्य संख्याओं की सूची
- B पदों के बीच अनुपात
- C पदों के अंकों का योग
- D पदों के बीच अंतर
Show answer
Why:
इतनी तेज़ बढ़त गुणा से आती है, इसलिए हर पद को पिछले पद से भाग दो।
- A दूसरे अंतर ज्ञात करो
- B घन ढूँढो
- C इसे विषम और सम स्थानों में बाँटो
- D पास-पास के पदों का अनुपात ज्ञात करो
Show answer
Why:
यह ऊपर-नीचे उछलती है। विषम स्थान 40, 36, 32, 4-4 घटते हैं; सम स्थान 3, 6, 12 दुगुने होते हैं।
- A 1, 3, 6, 11, 19
- B 5, 7, 10, 15, 21
- C 2, 4, 8, 16, 32
- D 3, 6, 11, 18, 27
Show answer
Why:
3, 6, 11, 18, 27: पहले अंतर 3, 5, 7, 9, दूसरे अंतर सब 2। बाक़ी में बदलते हैं।
- A 2, 7, 17, 37, 77
- B 2, 5, 11, 23, 47
- C 2, 9, 30, 93, 282
- D 2, 3, 6, 15, 42
Show answer
Why:
2 × 2 + 3 = 7, 7 × 2 + 3 = 17, 17 × 2 + 3 = 37, 37 × 2 + 3 = 77।
- A 3n − 1
- B n(n + 1)
- C n² + 1
- D 2n²
Show answer
Why:
1 × 2 = 2, 2 × 3 = 6, 3 × 4 = 12, 4 × 5 = 20, 5 × 6 = 30। बाक़ी n = 2 या n = 3 पर ग़लत हो जाते हैं।
- A 36
- B 81
- C 64
- D 125
Show answer
Why:
64 = 8² = 4³। 36 और 81 केवल वर्ग हैं; 125 केवल घन है।
- A 99
- B 91
- C 93
- D 97
Show answer
Why:
91 = 7 × 13, 93 = 3 × 31, 95 = 5 × 19, इसलिए अगली अभाज्य संख्या 97 है।
- A 34
- B 37
- C 31
- D 90
Show answer
Why:
हर दिन 3 जोड़ो: नौवाँ दिन = 10 + 8 × 3 = 34। (नौवाँ दिन पहले दिन से 8 कदम आगे है, 9 नहीं।)
- A 59
- B 61
- C 57
- D 65
Show answer
Why:
अंतर 4, 8, 12, 16, 4-4 बढ़ते हैं, अगला 20: 41 + 20 = 61।
- A 480
- B 60
- C 30
- D 15
Show answer
Why:
960 → 480 → 240 → 120 → 60 → 30। हर घंटा ÷2, पाँच बार।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
6 × 7 = 42, इसलिए A सत्य है, और R ठीक वही नियम है जिससे यह मिलता है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
पहले अंतर 5, 7, 9, 11 हैं, स्थिर नहीं, इसलिए A असत्य है। R सत्य है: दूसरे अंतर सब 2 हैं।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
3 × 2 − 1 = 5, 5 × 2 − 1 = 9, … और अंतर 2, 4, 8, 16 हैं। दोनों सही।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
6³ = 216, इसलिए 1 सत्य है। दूसरे अंतर 12, 18, 24 हैं, इसलिए 2 असत्य है (घनों के तीसरे अंतर स्थिर होते हैं)।
Important short questions (4)
अंतर 5, 10, 15, 20, 5-5 बढ़ते हैं, अगला 25: 56 + 25 = 81।
हर पद ×2 + 1 है: 47 × 2 + 1 = 95।
पद n³ − 1 हैं, n = 2 से 7, इसलिए ? = 6³ − 1 = 215।
विषम स्थान 2, 4, 8 दुगुने होते हैं; सम स्थान 15, 12, 9, 3-3 घटते हैं। ? विषम स्थान पर है: 8 × 2 = 16।
Long answer questions (1)
क्रम: अंतर, अनुपात, घात, मिश्रित चरण, एकांतर पद।
अंतर 1, 8, 31, 139 में कोई सरल पैटर्न नहीं। अनुपात 1.2, 2.3, 3.2, 4.1 लगभग 1, 2, 3, 4 हैं, जो मिश्रित चरण बताते हैं: 5 × 1 + 1 = 6, 6 × 2 + 2 = 14, 14 × 3 + 3 = 45, 45 × 4 + 4 = 184।
इसलिए ? = 184 × 5 + 5 = 925।
Flashcards (14)
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- अगला पद: सही या ग़लत?
गलत पद
श्रेणी का पैटर्न तोड़ने वाली एक संख्या ज्ञात करो: साफ़ हिस्से से नियम निकालो, देखो कहाँ दो पड़ोसी अंतर या अनुपात बिगड़ते हैं, और पद सुधारकर पुष्टि करो।
What you will be able to do
- आप श्रेणी के बिना गलती वाले हिस्से से उसका नियम ज्ञात कर सकेंगे।
- आप गलत पद को उन दो अंतरों या अनुपातों से पहचान सकेंगे जिन्हें वह बिगाड़ता है।
- आप बता सकेंगे कि गलत पद की जगह कौन-सा सही मान आएगा।
- आप उस सही पद को गलत चुनने से बचेंगे जो केवल अजीब दिखता है।
Key points
ठीक एक पद गलत है; बाक़ी हर पद नियम मानता है।
नियम तीन-चार पदों के साफ़ हिस्से से ढूँढो, शुरू में या अंत में।
गलत पद दो पड़ोसी अंतर बिगाड़ता है: एक उतना ही बड़ा और दूसरा उतना ही छोटा।
अनुपात श्रेणी में गलत पद दो पड़ोसी अनुपात बिगाड़ता है।
यदि केवल अंतिम अंतर गलत दिखे, तो अंतिम पद ही गलत है।
पुष्टि: सुधारने के बाद पूरी श्रेणी एक ही नियम पर चलनी चाहिए।
गलत पद प्रायः सही मान के पास होते हैं: 1, 2 या एक चरण से हटकर।
Full explanation
मीना बिल बुक जाँचती है
मीना अपने पिता की दुकान पर मदद करती है। एक सप्ताह के बिल नंबर एक तय नियम से बढ़ने चाहिए, पर एक पन्ने पर 5, 8, 13, 20, 31, 40, 53 लिखा है। एक संख्या गलत लिखी गई है। कौन-सी?
बैंक और SSC प्रश्नपत्रों के गलत संख्या वाले प्रश्न ठीक मीना की बिल बुक जैसे होते हैं।
प्रश्न का वादा
प्रश्न वादा करता है कि ठीक एक पद गलत है। बाक़ी हर पद नियम मानता है। इसलिए योजना है: भरोसेमंद पदों से नियम ढूँढो, फिर वह अकेला पद ढूँढो जो नियम नहीं मानता।
चरण 1: साफ़ हिस्सा
5, 8, 13, 20 में अंतर 3, 5, 7 हैं: 2-2 बढ़ती विषम संख्याएँ। यही नियम है। अगले अंतर 9, 11, 13 होने चाहिए।
चरण 2: दो-अंतर संकेत
असली अंतर 3, 5, 7, 11, 9, 13 हैं। 31 के दोनों ओर के अंतर उलटी दिशाओं में गलत हैं: 11, 2 अधिक है और 9, 2 कम। एक गलत पद सदा अपने दोनों ओर के अंतर बिगाड़ता है। इसलिए 31 दोषी है।
चरण 3: सुधारो और पुष्टि करो
20 के बाद अंतर 9 होना चाहिए, इसलिए पद $20 + 9 = 29$ होगा। जाँच: $29 + 11 = 40$ और $40 + 13 = 53$। सब बैठता है, इसलिए मीना जानती है कि पन्ने पर 31 नहीं, 29 होना चाहिए।
अनुपात श्रेणी भी ऐसे ही
2, 6, 18, 56, 162, 486 में ×3 नियम शुरू और अंत दोनों में बैठता है। 18 × 3 = 54, 56 नहीं, और 54 × 3 = 162 अगले पद से मेल खाता है। इसलिए 56 गलत है।
पड़ोसी का जाल
एक अजीब अंतर दिखने पर विद्यार्थी अक्सर उसके किसी भी सिरे का पद चुन लेते हैं। दोनों अंतर देखो: गलत पद वह है जो दो बिगड़े अंतरों में साझा है। यदि केवल अंतिम अंतर गलत हो, तो अंतिम पद गलत है।
वर्ग और मिश्रित पैटर्न
10, 17, 26, 38, 50, 65 में पद $3^2+1$, $4^2+1$, … , $8^2+1$ = 10, 17, 26, 37, 50, 65 होने चाहिए। इसलिए 38 गलत है। ×2 + 1 जैसे मिश्रित चरण में हर पद पर चरण लगाकर देखो कि कौन-सा अगला पद मेल नहीं खाता।
मीना के पास वापस
मीना अंतर लिखती है, 31 के दोनों ओर 11 और 9 की जोड़ी देखती है, और आधे मिनट से कम में उसे 29 कर देती है। पिता प्रभावित होते हैं। परीक्षा में आप भी यही कर सकते हो: नियम, टूटन, पुष्टि।
Concepts and terms
पदों का वह हिस्सा जो साफ़ तौर पर एक नियम मानता है; गलती खोजने से पहले इसी से नियम निकालते हैं।
एक गलत पद अपने पहले वाले और बाद वाले अंतर को उलटी दिशाओं में बदलता है।
गलत स्थान पर नियम से मिलने वाली संख्या। कुछ प्रश्न गलत संख्या के बजाय यही पूछते हैं।
Did you know
बैंक PO प्रारंभिक परीक्षा में अक्सर लगातार पाँच "गलत संख्या" प्रश्न आते हैं, और दो-अंतर संकेत जानने के बाद ये सबसे तेज़ अंक देते हैं।
Memory tricks
गलती पकड़ना — दो बिगड़े अंतर, एक बिगड़ा पद — गलत पद उन दो अंतरों के बीच बैठता है जो नहीं बैठते।
Practice MCQs with answers (65)
- A 16
- B 26
- C 11
- D 22
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या जुड़ती है: +5। पद 22 की जगह 21 होना चाहिए: 16 + 5 = 21।
- A 25
- B 28
- C 20
- D 32
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या घटती है: −4। पद 25 की जगह 24 होना चाहिए: 28 − 4 = 24।
- A 24
- B 49
- C 96
- D 12
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2 है। पद 49 की जगह 48 होना चाहिए: 24 × 2 = 48।
- A 135
- B 5
- C 46
- D 15
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3 है। पद 46 की जगह 45 होना चाहिए: 15 × 3 = 45।
- A 25
- B 4
- C 9
- D 17
Show answer
Why:
1, 2, 3, … के वर्ग। पद 17 की जगह 16 होना चाहिए: 4² = 16।
- A 28
- B 64
- C 1
- D 8
Show answer
Why:
1, 2, 3, … के घन। पद 28 की जगह 27 होना चाहिए: 3³ = 27।
- A 17
- B 20
- C 23
- D 13
Show answer
Why:
7 से लगातार अभाज्य संख्याएँ। पद 20 की जगह 19 होना चाहिए: 19।
- A 33
- B 40
- C 48
- D 54
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या जुड़ती है: +7। पद 48 की जगह 47 होना चाहिए: 40 + 7 = 47।
- A 256
- B 4
- C 16
- D 65
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×4 है। पद 65 की जगह 64 होना चाहिए: 16 × 4 = 64।
- A 24
- B 15
- C 33
- D 9
Show answer
Why:
अंतर +2, +4, +6, … हर बार 2 से बदलते हैं। पद 24 की जगह 23 होना चाहिए: 15 + 8 = 23।
- A 11
- B 15
- C 19
- D 10
Show answer
Why:
अंतर +1, +3, +5, … हर बार 2 से बदलते हैं। पद 15 की जगह 14 होना चाहिए: 11 + 3 = 14।
- A 22
- B 34
- C 50
- D 67
Show answer
Why:
अंतर +3, +6, +9, … हर बार 3 से बदलते हैं। पद 50 की जगह 49 होना चाहिए: 34 + 15 = 49।
- A 82
- B 52
- C 58
- D 69
Show answer
Why:
अंतर +2, +6, +10, … हर बार 4 से बदलते हैं। पद 69 की जगह 68 होना चाहिए: 58 + 10 = 68।
- A 53
- B 25
- C 42
- D 33
Show answer
Why:
अंतर +5, +6, +7, … हर बार 1 से बदलते हैं। पद 53 की जगह 52 होना चाहिए: 42 + 10 = 52।
- A 185
- B 177
- C 165
- D 192
Show answer
Why:
अंतर −3, −5, −7, … हर बार −2 से बदलते हैं। पद 177 की जगह 176 होना चाहिए: 185 − 9 = 176।
- A 7
- B 15
- C 32
- D 63
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2+1 है। पद 32 की जगह 31 होना चाहिए: 15 × 2 + 1 = 31।
- A 41
- B 365
- C 14
- D 123
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3−1 है। पद 123 की जगह 122 होना चाहिए: 41 × 3 − 1 = 122।
- A 131
- B 66
- C 258
- D 34
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2−2 है। पद 131 की जगह 130 होना चाहिए: 66 × 2 − 2 = 130।
- A 5
- B 18
- C 53
- D 1
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3+2 है। पद 18 की जगह 17 होना चाहिए: 5 × 3 + 2 = 17।
- A 2
- B 6
- C 25
- D 120
Show answer
Why:
गुणक ×2, ×3, ×4, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। पद 25 की जगह 24 होना चाहिए: 6 × 4 = 24।
- A 42
- B 840
- C 14
- D 169
Show answer
Why:
गुणक ×1, ×2, ×3, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। पद 169 की जगह 168 होना चाहिए: 42 × 4 = 168।
- A 7
- B 210
- C 2
- D 30
Show answer
Why:
गुणक ×1, ×3, ×5, … हर बार 2 से बढ़ते हैं। पद 7 की जगह 6 होना चाहिए: 2 × 3 = 6।
- A 7
- B 12
- C 27
- D 24
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर +4; स्थान 2, 4, 6, … पर −3। पद 12 की जगह 11 होना चाहिए: 7 + 4 = 11।
- A 8
- B 16
- C 26
- D 20
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर ×2; स्थान 2, 4, 6, … पर +5। पद 26 की जगह 25 होना चाहिए: 20 + 5 = 25।
- A 8
- B 13
- C 31
- D 27
Show answer
Why:
दो चरण बारी-बारी से आते हैं: पहले ×2, फिर +5। पद 27 की जगह 26 होना चाहिए: 13 × 2 = 26।
- A 77
- B 82
- C 32
- D 38
Show answer
Why:
दो चरण बारी-बारी से आते हैं: पहले +6, फिर ×2। पद 77 की जगह 76 होना चाहिए: 38 × 2 = 76।
- A 18
- B 30
- C 47
- D 11
Show answer
Why:
हर पद अपने से पहले के दो पदों का योग है। पद 30 की जगह 29 होना चाहिए: 11 + 18 = 29।
- A 63
- B 24
- C 49
- D 35
Show answer
Why:
3, 4, 5, … के वर्ग, फिर −1। पद 49 की जगह 48 होना चाहिए: 7² − 1 = 48।
- A 65
- B 217
- C 28
- D 127
Show answer
Why:
2, 3, 4, … के घन, फिर +1। पद 127 की जगह 126 होना चाहिए: 5³ + 1 = 126।
- A 52
- B 27
- C 34
- D 62
Show answer
Why:
5, 6, 7, … के वर्ग, बारी-बारी से +2 और −2 के साथ। पद 52 की जगह 51 होना चाहिए: 7² + 2 = 51।
- A 5040
- B 121
- C 720
- D 24
Show answer
Why:
बारी-बारी से 8, 7, 6, … से भाग दो। पद 121 की जगह 120 होना चाहिए: 720 ÷ 6 = 120।
- A 184
- B 6
- C 46
- D 14
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या जोड़ो: ×1+1, ×2+2, ×3+3, …। पद 46 की जगह 45 होना चाहिए: 14 × 3 + 3 = 45।
- A 45
- B 14
- C 21
- D 33
Show answer
Why:
अंतर लगातार अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, …। पद 33 की जगह 32 होना चाहिए: 21 + 11 = 32।
- A 36
- B 11
- C 19
- D 67
Show answer
Why:
अंतर +1, +2, +4, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। पद 36 की जगह 35 होना चाहिए: 19 + 16 = 35।
- A 18
- B 37
- C 90
- D 12
Show answer
Why:
अंतर +2, +6, +18, … हर बार 3 से गुणा होते हैं। पद 37 की जगह 36 होना चाहिए: 18 + 18 = 36।
- A 16
- B 57
- C 33
- D 7
Show answer
Why:
बारी-बारी से 1, 2, 3, … के वर्ग जोड़ो। पद 33 की जगह 32 होना चाहिए: 16 + 4² = 32।
- A 446
- B 41
- C 105
- D 231
Show answer
Why:
बारी-बारी से 1, 2, 3, … के घन जोड़ो। पद 231 की जगह 230 होना चाहिए: 105 + 5³ = 230।
- A 59
- B 121
- C 12
- D 27
Show answer
Why:
2 से गुणा करो और बारी-बारी से 1, 2, 3, … जोड़ो। पद 59 की जगह 58 होना चाहिए: 27 × 2 + 4 = 58।
- A 99
- B 55
- C 16
- D 29
Show answer
Why:
हर पद अपने से पहले के तीन पदों का योग है। पद 55 की जगह 54 होना चाहिए: 9 + 16 + 29 = 54।
- A 16
- B 24
- C 49
- D 120
Show answer
Why:
गुणक ÷2, ×1, ×1.5, … हर बार 0.5 से बढ़ते हैं। पद 49 की जगह 48 होना चाहिए: 24 × 2 = 48।
- A 121
- B 169
- C 361
- D 290
Show answer
Why:
लगातार अभाज्य संख्याओं 7, 11, 13, … के वर्ग। पद 290 की जगह 289 होना चाहिए: 17² = 289।
- A 276
- B 15
- C 56
- D 1644
Show answer
Why:
2, 3, 4, … से गुणा करो और वही संख्या घटाओ: ×2−2, ×3−3, ×4−4, …। पद 276 की जगह 275 होना चाहिए: 56 × 5 − 5 = 275।
- A 252
- B 151
- C 36
- D 80
Show answer
Why:
हर पद n² × (n + 1) है। पद 151 की जगह 150 होना चाहिए: 5² × 6 = 150।
- A 20
- B 23
- C 21
- D 22
Show answer
Why:
हर बार एक ही संख्या जुड़ती है: +6। गलत पद 22 है; सही पद 15 + 6 = 21 है।
- A 485
- B 488
- C 487
- D 486
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3 है। गलत पद 487 है; सही पद 162 × 3 = 486 है।
- A 27
- B 29
- C 28
- D 26
Show answer
Why:
अंतर +2, +5, +8, … हर बार 3 से बदलते हैं। गलत पद 28 है; सही पद 16 + 11 = 27 है।
- A 55
- B 53
- C 54
- D 52
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2+3 है। गलत पद 54 है; सही पद 25 × 2 + 3 = 53 है।
- A 82
- B 80
- C 81
- D 83
Show answer
Why:
4, 5, 6, … के वर्ग। गलत पद 82 है; सही पद 9² = 81 है।
- A 63
- B 66
- C 65
- D 64
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर +2; स्थान 2, 4, 6, … पर ÷2। गलत पद 65 है; सही पद 128 ÷ 2 = 64 है।
- A 46
- B 47
- C 45
- D 48
Show answer
Why:
अंतर +3, +6, +12, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। गलत पद 47 है; सही पद 22 + 24 = 46 है।
- A 74
- B 72
- C 73
- D 71
Show answer
Why:
गुणक ×1, ×2, ×3, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। गलत पद 73 है; सही पद 18 × 4 = 72 है।
- A 30
- B 28
- C 29
- D 31
Show answer
Why:
हर पद अपने से पहले के दो पदों का योग है। गलत पद 30 है; सही पद 11 + 18 = 29 है।
- A 32
- B 31
- C 29
- D 30
Show answer
Why:
बारी-बारी से 2, 3, 4, … के वर्ग जोड़ो। गलत पद 31 है; सही पद 14 + 4² = 30 है।
- A 21
- B 12
- C 30
- D 6
Show answer
Why:
अंतर +4, +6, +8, … हर बार 2 से बदलते हैं। पद 21 की जगह 20 होना चाहिए: 12 + 8 = 20।
- A 36
- B 325
- C 108
- D 972
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3 है। पद 325 की जगह 324 होना चाहिए: 108 × 3 = 324।
- A 12
- B 28
- C 20
- D 7
Show answer
Why:
2, 3, 4, … के वर्ग, फिर +3। पद 20 की जगह 19 होना चाहिए: 4² + 3 = 19।
- A 128
- B 131
- C 130
- D 129
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2−1 है। गलत पद 130 है; सही पद 65 × 2 − 1 = 129 है।
- A 28
- B 15
- C 20
- D 33
Show answer
Why:
अंतर 3, 4, 5, 6, 7 होने चाहिए। बिगड़ी जोड़ी 8, 5 के बीच 28 है; यह 20 + 6 = 26 होना चाहिए।
- A केवल बाद वाला अंतर बदलता है
- B पहले वाला अंतर 3 बढ़ता है और बाद वाला 3 घटता है
- C पहले वाला अंतर 3 घटता है और बाद वाला 3 बढ़ता है
- D दोनों अंतर 3 बढ़ते हैं
Show answer
Why:
पहले का अंतर = गलत − पिछला, इसलिए 3 अधिक। बाद का अंतर = अगला − गलत, इसलिए 3 कम।
- A अंतिम से पहले वाला पद
- B बताया नहीं जा सकता
- C अंतिम पद
- D पहला पद
Show answer
Why:
अंतिम पद को केवल एक अंतर छूता है, इसलिए अंत में एक बिगड़ा अंतर अंतिम पद की ओर इशारा करता है।
- A सभी पदों का योग
- B बीच वाला पद
- C सबसे बड़ा पद
- D पदों के साफ़ हिस्से से नियम
Show answer
Why:
नियम के बिना पता नहीं चल सकता कि कौन-सा पद उसे नहीं मानता।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
12 × 2 = 24 और 24 × 2 = 48, इसलिए 25 गलत है; R बताता है कि 25 के दोनों ओर के अनुपात क्यों टूटते हैं।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
n² + 1 से पद 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50 हैं, इसलिए 26 सही है और 38 गलत। A असत्य, R सत्य।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
अंतर 2, 3, 4, 5, 6, 7 होने चाहिए: 4, 6, 9, 13, 18, 24, 31। इसलिए 25 गलत है और 24 सही।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
1, 3, 7, 15, 31, 63, ×2 + 1 मानते हैं, इसलिए गलत पद 32 है, 63 नहीं।
Important short questions (3)
नियम ×2 + 1: 6, 13, 27, 55, 111, 223। इसलिए 112 गलत है; सही मान 111।
वह एक अंतर का अंत और अगले अंतर की शुरुआत है। यदि वह k अधिक है, तो पहले का अंतर k बढ़ता है और बाद का k घटता है।
1² से 7² तक के वर्ग: पाँचवाँ 25 होना चाहिए, इसलिए 24 गलत है।
Long answer questions (1)
अंतर: 1, 4, 9, 16, 26, 35। पहले चार वर्ग 1², 2², 3², 4² हैं, इसलिए अगले दो 25 और 36 होने चाहिए। जोड़ी 26 (एक अधिक) और 35 (एक कम) 58 के दोनों ओर है, इसलिए 58 गलत है।
सही मान: 32 + 25 = 57। जाँच: 57 + 36 = 93। सुधारी गई श्रेणी 2, 3, 7, 16, 32, 57, 93 में 1², 2², …, 6² जुड़ते हैं।
Flashcards (12)
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- क्या यही गलत पद है?
अंतर, अनुपात और मिश्रित पैटर्न
बैंक और SSC मुख्य परीक्षाओं की कठिन श्रेणियाँ हल करो: दूसरे और तीसरे अंतर, दुगुने होते अंतर, ×2 + k और ×n + n जैसे मिश्रित चरण, गुँथी श्रेणियाँ, फिबोनाची जैसे योग, और "वही पैटर्न" वाले प्रश्न जिनमें दूसरी श्रेणी पहली के चरण दोहराती है।
What you will be able to do
- आप दूसरे या तीसरे स्तर तक अंतर सीढ़ी बनाकर उससे अगला पद पढ़ सकेंगे।
- आप पहचान सकेंगे कि अंतर अनुपात श्रेणी, वर्ग, घन या अभाज्य बनाते हैं।
- आप ×2 + 1, ×n + n और ×2 + 1, ×2 + 2, … जैसे मिश्रित चरण पहचान सकेंगे।
- आप चरणों की शृंखला को नई शुरुआत पर लगाकर "वही पैटर्न" वाले प्रश्न हल कर सकेंगे।
- आप स्थिर अंतर वाली श्रेणी के n वें पद और पदों की संख्या के सूत्र लगा सकेंगे।
Key points
यदि पहले अंतर स्थिर न हों, एक स्तर नीचे जाओ; पहली स्थिर पंक्ति पर रुको।
स्थिर दूसरे अंतर का अर्थ वर्ग जैसा नियम; स्थिर तीसरे अंतर का अर्थ घन जैसा नियम।
यदि अंतर स्वयं दुगुने या तिगुने हों, तो श्रेणी में एक अनुपात श्रेणी जुड़ती है: +2, +4, +8, …।
1, 2, 3, … बढ़ता अनुपात और थोड़ा अतिरिक्त ×n + n या ×n − n की ओर इशारा करता है।
×2 + 1, ×2 + 2, ×2 + 3 में गुणक वही रहता है और जुड़ने वाली संख्या बढ़ती है।
"वही पैटर्न" प्रश्न में श्रेणी I से चरणों की शृंखला निकालो और नए पहले पद पर लगाओ।
स्थिर अंतर श्रेणी का n वाँ पद: a + (n − 1)d। पदों की संख्या: (अंतिम − पहला) ÷ d + 1।
फिबोनाची जैसी श्रेणियों में पिछले दो (या तीन) पद जुड़ते हैं।
Full explanation
काव्या और मुख्य परीक्षा की श्रेणी
काव्या ने IBPS प्रारंभिक परीक्षा पास कर ली है। मुख्य परीक्षा के मॉक में उसे 2, 3, 11, 38, 102, ? और 3, 4, 10, 33, 136, ? दिखती हैं। सीधे अंतर और सीधे अनुपात, दोनों नहीं बैठते। यह टॉपिक उसे गहरे औज़ार देता है: सीढ़ी, अंतर अनुपात, मिश्रित चरण और दोहराए पैटर्न।
अंतर सीढ़ी
अंतर लिखो, फिर उन अंतरों के अंतर, और तब तक चलो जब तक कोई पंक्ति स्थिर न हो जाए। 2, 3, 11, 38, 102 में पहले अंतर 1, 8, 27, 64 हैं: घन। अगला अंतर $5^3 = 125$, इसलिए ? = 102 + 125 = 227।
जब अंतर अनुपात श्रेणी बनाएँ
3, 5, 9, 17, 33 में अंतर 2, 4, 8, 16 हैं: हर अंतर दुगुना होता है। इसलिए अगला अंतर 32 और अगला पद 65। अंतरों को सदा अपनी अलग श्रेणी की तरह देखो: वे वर्ग, घन, अभाज्य या अनुपात श्रेणी हो सकते हैं।
बदलते मिश्रित चरण
3, 4, 10, 33, 136 में अनुपात लगभग 1, 2, 3, 4 हैं। ×n + n आज़माओ: $3 \times 1 + 1 = 4$, $4 \times 2 + 2 = 10$, $10 \times 3 + 3 = 33$, $33 \times 4 + 4 = 136$। इसलिए ? = $136 \times 5 + 5 = 685$। दूसरी आम शृंखलाएँ: ×2 + 1, ×2 + 2, ×2 + 3; ×1 − 1, ×2 − 2, ×3 − 3; ×0.5, ×1, ×1.5, ×2।
गुँथी श्रेणियाँ और एकांतर चरण
यदि पद ऊपर-नीचे जाएँ, तो स्थान 1, 3, 5, … और 2, 4, 6, … अलग-अलग पढ़ो। एक मिलता-जुलता प्रकार बारी-बारी से दो संक्रियाएँ लगाता है: 5, 10, 8, 16, 14, 28 में ×2, −2, ×2, −2 है।
"वही पैटर्न" वाले प्रश्न
बैंक मुख्य परीक्षा को यह प्रकार पसंद है। श्रेणी I: 2, 3, 8, 27, 112। श्रेणी II 4 से शुरू होकर उसी पैटर्न पर चलती है: 4, (a), (b), (c), …
श्रेणी I के चरण: ×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3, ×4 + 4। इसलिए (a) = 4 × 1 + 1 = 5, (b) = 5 × 2 + 2 = 12, (c) = 12 × 3 + 3 = 39। संख्याएँ नहीं, चरण दोहराओ।
सावधान: सीधी ×2 + 1 श्रेणी के अंतर भी दुगुने होते हैं, और दोनों तरह से पढ़ने पर श्रेणी II के उत्तर अलग आते हैं। परीक्षक चरणों की शृंखला (× और +) चाहते हैं; उसी तरह पढ़ो।
दो काम के सूत्र
पहला पद $a$ और अंतर $d$ वाली स्थिर अंतर श्रेणी के लिए:
- $n$ वाँ पद: $T_n = a + (n-1)d$। 7, 11, 15, … का 20वाँ पद $7 + 19 \times 4 = 83$ है।
- $a$ से $l$ तक पदों की संख्या: $\frac{l-a}{d} + 1$। 7, 11, …, 83 में $\frac{76}{4} + 1 = 20$ पद हैं।
काव्या के पास वापस
काव्या अब 2, 3, 11, 38, 102 की सीढ़ी लिखती है और अंतरों में घन देखती है: 227। 3, 4, 10, 33, 136 में वह अनुपात 1, 2, 3, 4 देखकर ×n + n जाँचती है: 685। दोनों एक मिनट से कम में।
Concepts and terms
श्रेणी के नीचे लिखी अंतरों की पंक्तियाँ, हर पंक्ति एक पद छोटी, जब तक कोई पंक्ति स्थिर न हो जाए।
दो संक्रियाओं वाला चरण, जैसे ×3 − 1, या बदलती जोड़ी, जैसे ×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3।
दूसरी श्रेणी जो नई संख्या से शुरू होती है पर पहली श्रेणी के ठीक वही चरण अपनाती है।
हर पद पिछले दो (या तीन) पदों का योग: 2, 3, 5, 8, 13।
Did you know
चार्ल्स बैबेज ने 1820 के दशक में अपना "डिफ़रेंस इंजन" इसी अंतर सीढ़ी पर बनाया था, एक मशीन जो केवल जोड़कर वर्गों और घनों की तालिकाएँ छापती थी।
Memory tricks
कितना नीचे जाना — वर्ग: 2 स्तर नीचे। घन: 3 स्तर नीचे। — n² से दूसरे अंतर स्थिर; n³ से तीसरे अंतर स्थिर।
वही पैटर्न — संख्याएँ नहीं, चरण दोहराओ — श्रेणी I के ऊपर ×2 + 1, ×2 + 1, … लिखो, फिर वही चरण श्रेणी II पर लगाओ।
Practice MCQs with answers (70)
- A 51
- B 68
- C 67
- D 66
Show answer
Why:
अंतर +1, +2, +4, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 35 + 32 = 67।
- A 122
- B 69
- C 124
- D 123
Show answer
Why:
अंतर +1, +3, +9, … हर बार 3 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 42 + 81 = 123।
- A 226
- B 194
- C 228
- D 224
Show answer
Why:
अंतर +2, +4, +8, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 162 + 64 = 226।
- A 326
- B 321
- C 316
- D 241
Show answer
Why:
अंतर +5, +10, +20, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 161 + 160 = 321।
- A 149
- B 131
- C 140
- D 127
Show answer
Why:
बारी-बारी से 2, 3, 4, … के वर्ग जोड़ो। इसलिए ? = 91 + 7² = 140।
- A 88
- B 107
- C 91
- D 99
Show answer
Why:
बारी-बारी से 1, 2, 3, … के वर्ग जोड़ो। इसलिए ? = 63 + 6² = 99।
- A 444
- B 436
- C 353
- D 452
Show answer
Why:
बारी-बारी से 1, 2, 3, … के घन जोड़ो। इसलिए ? = 228 + 6³ = 444।
- A 117
- B 109
- C 101
- D 120
Show answer
Why:
बारी-बारी से 1, 2, 3, … के वर्ग घटाओ। इसलिए ? = 145 − 6² = 109।
- A 65
- B 63
- C 62
- D 59
Show answer
Why:
अंतर +2, +5, +8, … हर बार 3 से बदलते हैं। इसलिए ? = 45 + 17 = 62।
- A 28
- B 30
- C 31
- D 29
Show answer
Why:
अंतर +1, +2, +3, … हर बार 1 से बदलते हैं। इसलिए ? = 22 + 7 = 29।
- A 44
- B 42
- C 45
- D 46
Show answer
Why:
अंतर −1, −3, −5, … हर बार −2 से बदलते हैं। इसलिए ? = 55 − 11 = 44।
- A 185
- B 184
- C 183
- D 136
Show answer
Why:
2 से गुणा करो और बारी-बारी से 1, 2, 3, … जोड़ो। इसलिए ? = 89 × 2 + 6 = 184।
- A 664
- B 368
- C 665
- D 666
Show answer
Why:
3 से गुणा करो और बारी-बारी से 1, 2, 3, … जोड़ो। इसलिए ? = 220 × 3 + 5 = 665।
- A 79
- B 102
- C 104
- D 103
Show answer
Why:
2 से गुणा करो और बारी-बारी से −1, −2, −3, … जोड़ो। इसलिए ? = 54 × 2 − 5 = 103।
- A 2676
- B 802
- C 2677
- D 2675
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या जोड़ो: ×1+1, ×2+2, ×3+3, …। इसलिए ? = 445 × 6 + 6 = 2676।
- A 396
- B 395
- C 394
- D 139
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या घटाओ: ×1−1, ×2−2, ×3−3, …। इसलिए ? = 80 × 5 − 5 = 395।
- A 1954
- B 586
- C 1956
- D 1958
Show answer
Why:
2, 3, 4, … से गुणा करो और वही संख्या जोड़ो: ×2+2, ×3+3, ×4+4, …। इसलिए ? = 325 × 6 + 6 = 1956।
- A 36
- B 56.25
- C 68
- D 67.5
Show answer
Why:
गुणक ÷2, ×1, ×1.5, … हर बार 0.5 से बढ़ते हैं। इसलिए ? = 22.5 × 3 = 67.5।
- A 720
- B 721
- C 216
- D 600
Show answer
Why:
गुणक ×1, ×2, ×3, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। इसलिए ? = 120 × 6 = 720।
- A 4320
- B 5040
- C 5041
- D 1320
Show answer
Why:
गुणक ×3, ×4, ×5, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। इसलिए ? = 720 × 7 = 5040।
- A 487
- B 483
- C 485
- D 269
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×3+2 है। इसलिए ? = 161 × 3 + 2 = 485।
- A 330
- B 245
- C 320
- D 325
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×2−5 है। इसलिए ? = 165 × 2 − 5 = 325।
- A 70
- B 50
- C 40
- D 90
Show answer
Why:
हर पद पिछले पद का ×0.5+20 है। इसलिए ? = 100 × 0.5 + 20 = 70।
- A 24
- B 44
- C 35
- D 64
Show answer
Why:
हर पद अपने से पहले के तीन पदों का योग है। इसलिए ? = 7 + 13 + 24 = 44।
- A 83
- B 134
- C 97
- D 60
Show answer
Why:
हर पद अपने से पहले के दो पदों का योग है। इसलिए ? = 37 + 60 = 97।
- A 20
- B 28
- C 46
- D 33
Show answer
Why:
पिछले दो पदों का योग, फिर +1। इसलिए ? = 12 + 20 + 1 = 33।
- A 256
- B 56
- C 128
- D 288
Show answer
Why:
हर पद अपने से पहले के दो पदों का गुणनफल है। इसलिए ? = 8 × 32 = 256।
- A 678
- B 677
- C 676
- D 47
Show answer
Why:
पिछले पद का वर्ग, फिर +1। इसलिए ? = 26² + 1 = 677।
- A 36
- B 34
- C 38
- D 40
Show answer
Why:
लगातार अभाज्य संख्याएँ 13, 17, 19, …, फिर +1। इसलिए ? = 37 + 1 = 38।
- A 55
- B 54
- C 57
- D 56
Show answer
Why:
हर पद n² + n है। इसलिए ? = 7² + 7 = 56।
- A 336
- B 300
- C 337
- D 335
Show answer
Why:
हर पद n³ − n है। इसलिए ? = 7³ − 7 = 336।
- A 26
- B 162
- C 165
- D 159
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर ×3; स्थान 2, 4, 6, … पर ×2। इसलिए ? = 54 × 3 = 162।
- A 79
- B −25
- C 72
- D 65
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर −7; स्थान 2, 4, 6, … पर ×3। इसलिए ? = 79 − 7 = 72।
- A 120
- B 40
- C 126
- D 123
Show answer
Why:
दो चरण बारी-बारी से आते हैं: पहले ×3, फिर −1। इसलिए ? = 41 × 3 = 123।
- A 38
- B 40
- C 54
- D 72
Show answer
Why:
दो चरण बारी-बारी से आते हैं: पहले +2, फिर ×2। इसलिए ? = 36 + 2 = 38।
- A 12.25
- B 12.75
- C 35.5
- D 13.25
Show answer
Why:
दो चरण बारी-बारी से आते हैं: पहले ÷2, फिर +10। इसलिए ? = 25.5 ÷ 2 = 12.75।
- A 53
- B 38
- C 50
- D 2
Show answer
Why:
अंतर +3, +6, +12, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 26 + 24 = 50।
- A −485
- B 40
- C 19
- D 39
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या जोड़ो: ×1+1, ×2+2, ×3+3, …। इसलिए ? = 12 × 3 + 3 = 39।
- A ×2 + 1
- B +2, +4, +8, …
- C ×3 − 1
- D ×2 − 1
Show answer
Why:
5 से ×2 + 1 लगाओ: 5 → 11, 11 → 23, 23 → 47, 47 → 95। हर चरण बैठता है; बाक़ी हर नियम दूसरे या तीसरे पद तक टूट जाता है।
- A ×2 + 3
- B ×3 − 1
- C ×3 + 1
- D ×2 + 2
Show answer
Why:
2 से ×3 − 1 लगाओ: 2 → 5, 5 → 14, 14 → 41, 41 → 122। हर चरण बैठता है; बाक़ी हर नियम दूसरे या तीसरे पद तक टूट जाता है।
- A ×2, ×3, ×4, …
- B ×1 − 1, ×2 − 2, ×3 − 3, …
- C ×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3, …
- D ×2 + 1
Show answer
Why:
3 से ×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3, … लगाओ: 3 → 4, 4 → 10, 10 → 33, 33 → 136, 136 → 685। हर चरण बैठता है; बाक़ी हर नियम दूसरे या तीसरे पद तक टूट जाता है।
- A +1³, +2³, +3³, …
- B +2, +4, +6, …
- C +3, +5, +7, …
- D +1², +2², +3², …
Show answer
Why:
5 से +1², +2², +3², … लगाओ: 5 → 6, 6 → 10, 10 → 19, 19 → 35, 35 → 60। हर चरण बैठता है; बाक़ी हर नियम दूसरे या तीसरे पद तक टूट जाता है।
- A ×2 + 1, ×2 + 2, ×2 + 3, …
- B ×2 + 1
- C ×2 + 2
- D ×3 + 1, ×3 + 2, ×3 + 3, …
Show answer
Why:
4 से ×2 + 1, ×2 + 2, ×2 + 3, … लगाओ: 4 → 9, 9 → 20, 20 → 43, 43 → 90, 90 → 185। हर चरण बैठता है; बाक़ी हर नियम दूसरे या तीसरे पद तक टूट जाता है।
- A ×2 + 1
- B +1³, +2³, +3³, …
- C +2, +4, +8, …
- D +1², +2², +3², …
Show answer
Why:
7 से +1³, +2³, +3³, … लगाओ: 7 → 8, 8 → 16, 16 → 43, 43 → 107, 107 → 232। हर चरण बैठता है; बाक़ी हर नियम दूसरे या तीसरे पद तक टूट जाता है।
- A ×2 + 2
- B ×3 − 2
- C ×2, ×3, ×4, …
- D ×1, ×2, ×3, …
Show answer
Why:
2 से ×2, ×3, ×4, … लगाओ: 2 → 4, 4 → 12, 12 → 48, 48 → 240। हर चरण बैठता है; बाक़ी हर नियम दूसरे या तीसरे पद तक टूट जाता है।
- A +2, +4, +6, …
- B ×2 − 1
- C +1², +2², +3², …
- D +2, +4, +8, …
Show answer
Why:
9 से +2, +4, +8, … लगाओ: 9 → 11, 11 → 15, 15 → 23, 23 → 39, 39 → 71। हर चरण बैठता है; बाक़ी हर नियम दूसरे या तीसरे पद तक टूट जाता है।
- A 39
- B 12
- C 40
- D 38
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या जोड़ो: ×1+1, ×2+2, ×3+3, …। वही चरण 4 से लगाओ: 4 × 1 + 1 = 5, 5 × 2 + 2 = 12, 12 × 3 + 3 = 39। इसलिए (c) = 39।
- A 14
- B 45
- C 46
- D 44
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या जोड़ो: ×1+1, ×2+2, ×3+3, …। वही चरण 5 से लगाओ: 5 × 1 + 1 = 6, 6 × 2 + 2 = 14, 14 × 3 + 3 = 45। इसलिए (c) = 45।
- A 71
- B 18
- C 72
- D 73
Show answer
Why:
गुणक ×1, ×2, ×3, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। वही चरण 3 से लगाओ: 3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6, 6 × 3 = 18, 18 × 4 = 72। इसलिए (d) = 72।
- A 30
- B 26
- C 32
- D 31
Show answer
Why:
दो चरण बारी-बारी से आते हैं: पहले ×2, फिर +5। वही चरण 4 से लगाओ: 4 × 2 = 8, 8 + 5 = 13, 13 × 2 = 26, 26 + 5 = 31। इसलिए (d) = 31।
- A 120
- B 30
- C 121
- D 119
Show answer
Why:
गुणक ×2, ×3, ×4, … हर बार 1 से बढ़ते हैं। वही चरण 5 से लगाओ: 5 × 2 = 10, 10 × 3 = 30, 30 × 4 = 120। इसलिए (c) = 120।
- A 153
- B 152
- C 151
- D 39
Show answer
Why:
1, 2, 3, … से गुणा करो और वही संख्या घटाओ: ×1−1, ×2−2, ×3−3, …। वही चरण 9 से लगाओ: 9 × 1 − 1 = 8, 8 × 2 − 2 = 14, 14 × 3 − 3 = 39, 39 × 4 − 4 = 152। इसलिए (d) = 152।
- A 80
- B 140
- C 83
- D 87
Show answer
Why:
$T_n = a + (n-1)d = 7 + 19 \times 4 = 83$।
- A 325
- B 163
- C 152
- D 157
Show answer
Why:
$T_n = a + (n-1)d = 13 + 24 \times 6 = 157$।
- A 20
- B 21
- C 38
- D 19
Show answer
Why:
पदों की संख्या = (अंतिम − पहला) ÷ अंतर + 1 = (83 − 7) ÷ 4 + 1 = 20।
- A 60
- B 31
- C 30
- D 32
Show answer
Why:
पदों की संख्या = (अंतिम − पहला) ÷ अंतर + 1 = (222 − 12) ÷ 7 + 1 = 31।
- A 46
- B 44
- C 43
- D 40
Show answer
Why:
अंतर +2, +5, +8, … हर बार 3 से बदलते हैं। अगला दूसरा अंतर 3, अगला पहला अंतर 11 + 3 = 14, इसलिए ? = 29 + 14 = 43।
- A 84
- B 103
- C 96
- D 95
Show answer
Why:
बारी-बारी से 2, 3, 4, … के वर्ग जोड़ो। अगला दूसरा अंतर 11, अगला पहला अंतर 25 + 11 = 36, इसलिए ? = 59 + 36 = 95।
- A 55
- B 51
- C 59
- D 56
Show answer
Why:
अंतर +1, +5, +9, … हर बार 4 से बदलते हैं। अगला दूसरा अंतर 4, अगला पहला अंतर 13 + 4 = 17, इसलिए ? = 38 + 17 = 55।
- A 29
- B 30
- C 32
- D 28
Show answer
Why:
दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हैं: स्थान 1, 3, 5, … पर ×2; स्थान 2, 4, 6, … पर −5। इसलिए ? = 35 − 5 = 30।
- A 63
- B 54
- C 58
- D 36
Show answer
Why:
$T_n = a + (n-1)d = 3 + 11 \times 5 = 58$।
- A 36
- B 18
- C 20
- D 19
Show answer
Why:
पदों की संख्या = (अंतिम − पहला) ÷ अंतर + 1 = (95 − 5) ÷ 5 + 1 = 19।
- A 44
- B 42
- C 46
- D 45
Show answer
Why:
अंतर +2, +4, +6, … हर बार 2 से बदलते हैं। इसलिए ? = 32 + 12 = 44।
- A 48
- B 64
- C 65
- D 63
Show answer
Why:
अंतर +1, +2, +4, … हर बार 2 से गुणा होते हैं। इसलिए ? = 32 + 32 = 64।
- A 2, 2, 2, 2, 2
- B 3, 4, 5, 6, 7
- C 3, 5, 7, 9, 11
- D 4, 9, 16, 25, 36
Show answer
Why:
4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16 − 9 = 7, 25 − 16 = 9, 36 − 25 = 11: विषम संख्याएँ।
- A दूसरे अंतर, सब 12
- B तीसरे अंतर, सब 8
- C पहले अंतर, सब 7
- D तीसरे अंतर, सब 6
Show answer
Why:
अंतर 7, 19, 37, 61, 91; फिर 12, 18, 24, 30; फिर 6, 6, 6।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
112 × 5 + 5 = 565; R ठीक यही चरण देता है।
- A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- B A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
- C A सत्य है पर R असत्य है
- D A असत्य है पर R सत्य है
Show answer
Why:
7 + 19 × 4 = 83, 87 नहीं (87, n − 1 के बजाय n लेने से आता है)। A असत्य, R सत्य।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
अंतर 4, 9, 16, 25 वर्ग हैं; अगला अंतर 36 से 55 + 36 = 91। दोनों सत्य।
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न 1, न 2
Show answer
Why:
चरण ×1 + 1, ×2 + 2: 2 × 1 + 1 = 3, फिर 3 × 2 + 2 = 8, 10 नहीं। केवल 1 सत्य।
Important short questions (3)
पद n³ + 1 हैं, n = 0 से 4 (अंतर 1, 7, 19, 37, दूसरे अंतर 6, 12, 18)। अगला: 5³ + 1 = 126।
(156 − 9) ÷ 7 + 1 = 21 + 1 = 22 पद।
हर बार ×2 + 1, या अंतर 3, 6, 12, 24 दुगुने। दोनों से 47 + 48 = 95।
Long answer questions (1)
श्रेणी I के चरण: ×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3, ×4 + 4। श्रेणी II: 3 × 1 + 1 = 4, 4 × 2 + 2 = 10, 10 × 3 + 3 = 33, 33 × 4 + 4 = 136।
श्रेणी I के अंतर (1, 8, 31, 139) किसी सरल नियम पर नहीं चलते; वे हर पद के आकार पर निर्भर हैं। इसलिए केवल चरण ही आगे जाते हैं।
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Veda Skills Logical Reasoning Unit 1 — frequently asked questions
अंतर 5, 10, 15, 20, 5-5 बढ़ते हैं, अगला 25: 56 + 25 = 81।
हर पद ×2 + 1 है: 47 × 2 + 1 = 95।
पद n³ − 1 हैं, n = 2 से 7, इसलिए ? = 6³ − 1 = 215।
नियम ×2 + 1: 6, 13, 27, 55, 111, 223। इसलिए 112 गलत है; सही मान 111।
वह एक अंतर का अंत और अगले अंतर की शुरुआत है। यदि वह k अधिक है, तो पहले का अंतर k बढ़ता है और बाद का k घटता है।
1² से 7² तक के वर्ग: पाँचवाँ 25 होना चाहिए, इसलिए 24 गलत है।
पद n³ + 1 हैं, n = 0 से 4 (अंतर 1, 7, 19, 37, दूसरे अंतर 6, 12, 18)। अगला: 5³ + 1 = 126।
(156 − 9) ÷ 7 + 1 = 21 + 1 = 22 पद।
हर बार ×2 + 1, या अंतर 3, 6, 12, 24 दुगुने। दोनों से 47 + 48 = 95।
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