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⚡ Topic Learning KitShared by a Veda learner · Generated with Veda AI
Veda Bites are swipeable micro-lessons — each one teaches exactly one idea. The bites below come from this kit — swipe through them in the app.
भुजाओं के अनुपात से बनती है त्रिकोणमिति।
त्रिकोणमिति समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात (ratios) का अध्ययन है — कोण बदलने पर ये अनुपात बदलते हैं, पर भुजाओं की लंबाई नहीं।
↳ sin, cos, tan सब भुजाओं के अनुपात हैं — कोण के साथ बदलते हैं, भुजा की लंबाई के साथ नहीं।
छह अनुपात, एक ही त्रिभुज।
↳ sin↔cosec, cos↔sec, tan↔cot — हर जोड़ा व्युत्क्रम है।
Pandit Badri Prasad Har Har Bole!
Pandit Badri Prasad Har Har Bole — यह मनेमोनिक तीनों मुख्य अनुपात याद रखने का सबसे आसान तरीका है।
↳ Pandit Badri Prasad Har Har Bole = sin, cos, tan, cosec, sec, cot।
पाँच कोण, याद रखने योग्य मान।
↳ sin और cos के मान उलटे क्रम में चलते हैं — 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1।
√0 से √4 तक — बस इतना ही।
↳ √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = sin के पाँच मान।
एक सर्वसमिका, तीन रूप।
↳ sin²θ + cos²θ = 1 से तीनों identities निकलती हैं।
sin²θ ≠ sin(θ²)।
↳ sin²θ = (sin θ)² — कोण एक ही रखो, दोनों तरफ।
कोण बदला, भुजा बदली।
↳ P और B कोण के अनुसार बदलते हैं, H कभी नहीं बदलता।
एक तरफ से शुरू करो, दूसरी तरफ पहुँचो।
↳ जटिल पक्ष से शुरू करो, sin-cos में बदलो, identity लगाओ।
एक अनुपात से सब निकलते हैं।
↳ एक अनुपात + पाइथागोरस = बाकी पाँच अनुपात।
इमारत की ऊँचाई, बिना नापे।
ऊँचाई और दूरी (Heights and Distances) में त्रिकोणमिति का उपयोग इमारत, पेड़, पहाड़ की ऊँचाई या नदी की चौड़ाई नापने में होता है — बस कोण और एक दूरी चाहिए।
↳ tan θ = ऊँचाई ÷ दूरी — यही ऊँचाई-दूरी के प्रश्नों की कुंजी है।
ये तीन सवाल हर साल आते हैं।
↳ सर्वसमिका + विशिष्ट कोण + ऊँचाई-दूरी = बोर्ड के मुख्य प्रश्न।
कौन सा अनुपात, कब?
↳ P और H → sin; B और H → cos; P और B → tan।
त्रिभुज + माप = त्रिकोणमिति।
Trigonometry ग्रीक शब्दों से बना है — *trigonon* (त्रिभुज) + *metron* (माप)। यानी त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को नापने का विज्ञान।
↳ त्रिकोणमिति = त्रिभुज की माप का विज्ञान।
शून्य से भाग नहीं होता।
↳ जहाँ हर शून्य, वहाँ अनुपात अपरिभाषित — tan 90°, cot 0°, sec 90°, cosec 0°।
Class 10 त्रिकोणमिति में त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात से बने त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, tan, cot, sec, cosec), उनके मान, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (identities) और विशिष्ट कोणों के मान शामिल हैं। यह अध्याय समकोण त्रिभुज…
Full explanation, worked examples & memory tricks in the app
All 17 questions, laddered from warm-up to topper-level, each with its answer and the reasoning behind it.
Q1. समकोण त्रिभुज में कर्ण (hypotenuse) किसके सामने होता है?
BeginnerC · समकोण (90°) के सामने
कर्ण हमेशा समकोण (90°) के सामने वाली सबसे लंबी भुजा होती है।
Q2. यदि किसी समकोण त्रिभुज में लंब = 3 और कर्ण = 5 है, तो $\sin\theta$ का मान क्या होगा?
BeginnerB · $\frac{3}{5}$
$\sin\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}$।
Q3. यदि $\sin\theta = \frac{1}{2}$ है, तो $\csc\theta$ का मान क्या होगा?
BeginnerC · 2
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{1}{1/2} = 2$।
Q4. पूरक कोण नियम के अनुसार $\sin(90° - \theta)$ किसके बराबर है?
BeginnerA · $\cos\theta$
$\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ एक मानक पूरक कोण सर्वसमिका है।
Q5. पाइथागोरस सर्वसमिका $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ सीधे पाइथागोरस प्रमेय से निकलती है, जहाँ $\text{लंब}^2 + \text{आधार}^2 = \text{कर्ण}^2$।.
BeginnerA · True
पाइथागोरस सर्वसमिका $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ सीधे पाइथागोरस प्रमेय से निकलती है, जहाँ $\text{लंब}^2 + \text{आधार}^2 = \text{कर्ण}^2$।
Q6. एक छात्र ने लिखा: $\sin^2 30° = \sin(30°)^2$। यह कथन किस बारे में सही है?
IntermediateB · यह सही है क्योंकि दोनों का अर्थ एक ही है
$\sin^2\theta$ का अर्थ $(\sin\theta)^2$ होता है, इसलिए $\sin^2 30° = (\sin 30°)^2$ सही है।
Q7. यदि $\tan\theta = \frac{3}{4}$ है, तो $\sec\theta$ का मान क्या होगा? (θ न्यून कोण है)
IntermediateA · $\frac{5}{4}$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \Rightarrow 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} \Rightarrow \sec\theta = \frac{5}{4}$।
Q8. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सर्वसमिका (identity) का उदाहरण है?
IntermediateD · $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ θ के हर मान के लिए सत्य है, इसलिए यह सर्वसमिका है; अन्य समीकरण केवल विशेष मानों के लिए सत्य हैं।
Q9. एक मीनार से 50 मीटर दूर खड़े व्यक्ति को शिखर का उन्नयन कोण 30° दिखता है। मीनार की ऊँचाई क्या होगी?
IntermediateD · $\frac{50}{\sqrt{3}}$ मीटर
$h = d \times \tan\theta = 50 \times \tan 30° = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}$ मीटर।
Q10. यदि $\sin\theta = \cos\theta$ है (θ न्यून कोण), तो θ का मान क्या होगा?
IntermediateA · 45°
$\sin 45° = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए θ = 45°।
Q11. किसी छात्र ने लिखा: $\sin(30° + 60°) = \sin 30° + \sin 60°$। यह कथन कैसा है?
IntermediateB · गलत है क्योंकि $\sin(A+B) \ne \sin A + \sin B$
$\sin(30°+60°) = \sin 90° = 1$, जबकि $\sin 30° + \sin 60° = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ne 1$। अतः $\sin(A+B) \ne \sin A + \sin B$।
Q12. यदि $\cos\theta = \frac{3}{5}$ है, तो $\tan\theta$ का मान क्या होगा? (θ न्यून कोण)
IntermediateD · $\frac{4}{3}$
$\cos\theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}$ से लंब = 4, अतः $\tan\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{4}{3}$।
Q13. सर्वसमिका $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ मुख्य रूप से किस प्रमेय से निकलती है?
AdvancedB · पाइथागोरस प्रमेय
पाइथागोरस प्रमेय $\text{लंब}^2 + \text{आधार}^2 = \text{कर्ण}^2$ को $\text{कर्ण}^2$ से भाग देने पर $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ मिलता है।
Q14. यदि $\sin\theta = \frac{3}{5}$ है, तो $\frac{1 + \tan^2\theta}{1 + \cot^2\theta}$ का मान क्या होगा?
AdvancedD · $\frac{25}{9}$
$1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$ और $1+\cot^2\theta = \csc^2\theta$, अतः अनुपात $= \frac{\sec^2\theta}{\csc^2\theta} = \tan^2\theta$। यहाँ $\tan\theta = \frac{3}{4}$, इसलिए $\tan^2\theta = \frac{9}{16}$... प्रतीक्षा करें, पुनः जाँच: $\sin\theta = 3/5 \Rightarrow$ लंब=3, कर्ण=5, आध…
Q15. एक सीढ़ी दीवार से 30° का कोण बनाती है और उसका पैर दीवार से 3 मीटर दूर है। सीढ़ी की लंबाई क्या होगी?
AdvancedC · $2\sqrt{3}$ मीटर
यहाँ आधार = 3 मीटर और कर्ण = सीढ़ी की लंबाई। $\cos 30° = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{L} \Rightarrow L = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ मीटर।
Q16. यदि $ an heta = rac{3}{4}$ है, तो $\sin heta$ और $\cos heta$ का मान ज्ञात करें और $\sin^2 heta + \cos^2 heta$ की सत्यता का परीक्षण करें।
AdvancedC · सत्य है, $\sin^2 heta + \cos^2 heta = 1$ है।
चूंकि $ an heta = rac{3}{4}$ है, इसलिए हम लंब = 3 और आधार = 4 मान सकते हैं। कर्ण = $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$। इसलिए, $\sin heta = rac{3}{5}$ और $\cos heta = rac{4}{5}$। अब,…
Q17. एक समकोण त्रिभुज में, यदि $\sin heta = rac{1}{2}$ है, तो $ an heta$ और $\cot heta$ का मान ज्ञात करें और $1 + an^2 heta$ का मान क्या होगा?
AdvancedC · 3
यदि $\sin heta = rac{1}{2}$ है, तो $ heta = 30°$। तब, $ an heta = rac{\sin heta}{\cos heta} = rac{1/2}{\sqrt{3}/2} = rac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cot heta = \sqrt{3}$। अब, $1 + an^2 heta = 1 + \left( rac{1}{\sqrt{3}} ight)^2 = 1 + rac{1}{3} = rac{4}{3}$ है।
28 flashcards in this kit — the app reviews them with spaced repetition so the right card returns on the right day.
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True False
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