सारणिक (Determinants) - कक्षा 12 गणित अध्याय 4
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All 25 questions, laddered from warm-up to topper-level, each with its answer and the reasoning behind it.
Warm-up · 14 questions
Q1. एक $2 \times 2$ सारणिक $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ का मान क्या होता है?
Beginner
A
$ad - bc$
B
$ad + bc$
C
$ab - cd$
D
$ac - bd$
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A · $ad - bc$
$2 \times 2$ सारणिक का मान मुख्य विकर्ण के गुणनफल में से गौण विकर्ण के गुणनफल को घटाकर प्राप्त होता है, अर्थात $ad - bc$।
Q2. यदि किसी सारणिक के किसी एक पंक्ति (या स्तंभ) के सभी अवयव शून्य हों, तो सारणिक का मान क्या होता है?
Beginner
A
1
B
0
C
अपरिभाषित
D
पंक्ति के अवयवों के योग के बराबर
Show the answer
B · 0
सारणिक का गुण: यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के सभी अवयव शून्य हों, तो सारणिक का मान शून्य होता है।
Q3. यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ (या दो स्तंभ) समान हों, तो सारणिक का मान क्या होता है?
Beginner
A
1
B
विपरीत चिह्न के साथ वही सारणिक
C
अपरिभाषित
D
0
Show the answer
D · 0
सारणिक का गुण: यदि किन्हीं दो पंक्तियाँ (या स्तंभ) समान हों, तो सारणिक का मान शून्य होता है।
Q4. यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियों को परस्पर बदल दिया जाए, तो सारणिक का चिह्न बदल जाता है।
Beginner
A
True
B
False
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A · True
सारणिक का गुण: दो पंक्तियों (या स्तंभों) के परस्पर बदलने पर सारणिक का चिह्न बदल जाता है।
Q5. एक $2 imes 2$ सारणिक $egin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ का मान क्या होता है?
Beginner
A
$a + b + c + d$
B
$ab + cd$
C
$ad - bc$
D
$ac + bd$
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C · $ad - bc$
एक $2 imes 2$ सारणिक का मान $ad - bc$ होता है।
Q6. यदि $A$ एक $3 imes 3$ आव्यूह है और $|A| = 0$, तो $A$ के व्युत्क्रमणीय होने की स्थिति क्या होगी?
Beginner
A
व्युत्क्रमणीय है
B
व्युत्क्रमणीय नहीं है
C
सभी $3 imes 3$ आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं
D
केवल कुछ स्थितियों में व्युत्क्रमणीय है
Show the answer
B · व्युत्क्रमणीय नहीं है
यदि $|A| = 0$, तो $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
Q7. यदि एक सारणिक $A$ के सभी अवयव शून्य हैं, तो $|A|$ का मान क्या होगा?
Beginner
A
सकारात्मक
B
0
C
1
D
अनिश्चित
Show the answer
B · 0
यदि सारणिक के सभी अवयव शून्य हैं, तो उसका मान $|A| = 0$ होगा।
Q8. यदि $A$ और $B$ समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं, तो $|A - B|$ का मान क्या होता है?
Beginner
A
$|A - B|$ के लिए कोई सामान्य नियम नहीं है
B
$|A| + |B|$
C
$|A| - |B|$
D
$|A| \cdot |B|$
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A · $|A - B|$ के लिए कोई सामान्य नियम नहीं है
सारणिकों के घटाव का कोई सामान्य नियम नहीं है, इसलिए $|A - B|$ का मान निश्चित नहीं है।
Q9. यदि $A$ एक $3 imes 3$ आव्यूह है और $|A| = 1$, तो $| ext{adj}(A)|$ का मान क्या होगा?
Beginner
A
0
B
1
C
3
D
2
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B · 1
यदि $|A| = 1$, तो $| ext{adj}(A)| = |A|^{n-1} = 1^{3-1} = 1$ होगा।
Q10. यदि $A$ एक $3 imes 3$ आव्यूह है और $|A| = 2$, तो $|3A|$ का मान क्या होगा?
Beginner
A
0
B
6
C
3
D
2
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B · 6
यदि $|A| = 2$, तो $|kA| = k^n |A| = 3^3 \cdot 2 = 27 \cdot 2 = 6$ होगा।
Q11. एक $3 imes 3$ सारणिक के किसी एक पंक्ति के अवयवों को $k$ से गुणा करने पर सारणिक का मान क्या होता है?
Beginner
A
$|A|$
B
$k \cdot |A|$
C
$k^2 \cdot |A|$
D
$|A|/k$
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B · $k \cdot |A|$
यदि किसी पंक्ति के अवयवों को $k$ से गुणा किया जाता है, तो सारणिक का मान $k \cdot |A|$ हो जाता है।
Q12. यदि $A$ और $B$ समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं, तो $|AB|$ का मान क्या होता है?
Beginner
A
$|A| - |B|$
B
$|A| \cdot |B|$
C
$|A| / |B|$
D
$|A| + |B|$
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B · $|A| \cdot |B|$
यदि $A$ और $B$ समान क्रम के आव्यूह हैं, तो $|AB| = |A| \cdot |B|$ होता है।
Q13. यदि $A$ एक $3 imes 3$ आव्यूह है और $|A| = 4$, तो $|A \cdot ext{adj}(A)|$ का मान क्या होगा?
Beginner
A
16
B
4^2
C
8
D
0
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B · 4^2
यदि $|A| = 4$, तो $|A \cdot ext{adj}(A)| = |A|^{n} = 4^2 = 16$ होगा।
Q14. यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों, तो सारणिक का मान क्या होता है?
Beginner
A
अनिश्चित
B
सकारात्मक
C
1
D
0
Show the answer
D · 0
यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हैं, तो उसका मान $|A| = 0$ होगा।
Building up · 8 questions
Q15. एक $3 \times 3$ सारणिक के किसी एक पंक्ति के अवयवों को अदिश $k$ से गुणा करने पर सारणिक का मान कितने गुना हो जाता है?
Intermediate
A
अपरिवर्तित रहता है
B
$k^3$ गुना
C
$k^2$ गुना
D
$k$ गुना
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D · $k$ गुना
यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक अवयव को $k$ से गुणा किया जाए, तो सारणिक का मान $k$ गुना हो जाता है।
Q16. यदि $A$ एक $n \times n$ आव्यूह है, तो $|kA|$ का मान क्या होता है?
Intermediate
A
$n k|A|$
B
$k|A|$
C
$k^n|A|$
D
$k^{n-1}|A|$
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C · $k^n|A|$
यदि $A$ क्रम $n$ का वर्ग आव्यूह है, तो $|kA| = k^n |A|$ होता है, क्योंकि प्रत्येक पंक्ति से $k$ गुणा करने पर कुल $n$ बार $k$ निकलता है।
Q17. एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, यदि $A$ की कोई पंक्ति अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन हो, तो $|A|$ का मान क्या होगा?
Intermediate
A
अपरिभाषित
B
पंक्तियों के योग के बराबर
C
शून्य
D
1
Show the answer
C · शून्य
यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन हो, तो सारणिक का मान शून्य होता है।
Q18. यदि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो $|A^{-1}|$ किसके बराबर होता है?
Intermediate
A
$-|A|$
B
$|A|^2$
C
$|A|$
D
$\frac{1}{|A|}$
Show the answer
D · $\frac{1}{|A|}$
चूँकि $A A^{-1} = I$, इसलिए $|A| |A^{-1}| = |I| = 1$, अतः $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$।
Q19. यदि $A$ और $B$ समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं, तो $|AB|$ का मान क्या होता है?
Intermediate
A
$|A| \cdot |B|$
B
$|A| - |B|$
C
$|A| + |B|$
D
$|A| / |B|$
Show the answer
A · $|A| \cdot |B|$
सारणिक का गुण: $|AB| = |A| |B|$, जहाँ $A$ और $B$ समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं।
Q20. एक $3 \times 3$ सारणिक के किसी एक पंक्ति के अवयवों को $k$ से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ने पर सारणिक का मान क्या होता है?
Intermediate
A
$k$ गुना हो जाता है
B
अपरिवर्तित रहता है
C
$-k$ गुना हो जाता है
D
शून्य हो जाता है
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B · अपरिवर्तित रहता है
यदि किसी पंक्ति के अवयवों को $k$ से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा जाए, तो सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है।
Q21. यदि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|A| = 5$, तो $|2A|$ का मान क्या होगा?
Intermediate
A
10
B
40
C
20
D
80
Show the answer
B · 40
$|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 5 = 40$।
Q22. यदि $A$ और $B$ समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं, तो सामान्यतः $|A+B| = |A| + |B|$ होता है।
Intermediate
A
True
B
False
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B · False
यह असत्य है। सारणिक योग पर रैखिक नहीं होता; $|A+B|$ सामान्यतः $|A| + |B|$ के बराबर नहीं होता।
Topper level · 3 questions
Q23. यदि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|A| = 4$, तो $|A \cdot \text{adj}(A)|$ का मान क्या होगा?
Advanced
A
4
B
16
C
64
D
256
Show the answer
C · 64
$A \cdot \text{adj}(A) = |A| I$, अतः $|A \cdot \text{adj}(A)| = |A|^3 = 4^3 = 64$।
Q24. यदि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|A| = 2$, तो $|\text{adj}(A)|$ का मान क्या होगा?
Advanced
A
2
B
4
C
8
D
16
Show the answer
B · 4
$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$, यहाँ $n=3$, अतः $|\text{adj}(A)| = 2^{2} = 4$।
Q25. यदि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|A| = 3$, तो $|A \cdot \text{adj}(A)|$ का मान क्या होगा?
Advanced
A
3
B
9
C
27
D
81
Show the answer
C · 27
$A \cdot \text{adj}(A) = |A| I$, अतः $|A \cdot \text{adj}(A)| = |A|^3 = 3^3 = 27$।
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