आव्यूह अभ्यास: 32 MCQs with answers

C · $2 \times 2$

आव्यूह में 2 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ हैं, इसलिए कोटि $2 \times 2$ है।

D · वर्ग आव्यूह (Square matrix)

जब पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, तो आव्यूह वर्ग आव्यूह कहलाता है।

C · $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}$

अदिश गुणन में प्रत्येक अवयव को 2 से गुणा करते हैं: $2 \times 2=4$, $2 \times 1=2$, $2 \times 0=0$, $2 \times 3=6$।

B · शून्य

विकर्ण आव्यूह में मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य होते हैं।

B · पंक्ति आव्यूह (Row matrix)

जब आव्यूह में केवल एक पंक्ति होती है, तो उसे पंक्ति आव्यूह कहते हैं।

A · $egin{bmatrix} 9 & -5 \ -7 & 3 \end{bmatrix}$

सहखंडज $adj(A) = egin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$ के अनुसार, $A$ के लिए सहखंडज $A = egin{bmatrix} 3 & 5 \ 7 & 9 \end{bmatrix}$ होगा $egin{bmatrix} 9 & -5 \ -7 & 3 \end{bmatrix}$।

A · $A = egin{bmatrix} a & 0 \ 0 & b \end{bmatrix}$

विकर्ण आव्यूह में केवल विकर्ण पर अवयव होते हैं, जैसे $A = egin{bmatrix} a & 0 \ 0 & b \end{bmatrix}$।

A · $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$

आव्यूह का परिवर्त (transpose) $A^T$ में पंक्तियाँ और स्तंभ बदल जाते हैं। यहाँ $A$ सममित है, इसलिए $A^T = A$।

A · $egin{bmatrix} 6 & 9 \ 12 & 15 \end{bmatrix}$

आव्यूह के प्रत्येक अवयव को गुणा करने पर $3A = egin{bmatrix} 3 imes 2 & 3 imes 3 \ 3 imes 4 & 3 imes 5 \end{bmatrix} = egin{bmatrix} 6 & 9 \ 12 & 15 \end{bmatrix}$।

A · समान कोटि

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के हैं, तो उनका योग $A + B$ भी समान कोटि का होगा।

D · 2x2

आव्यूह का कोटि उसके पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से दर्शाया जाता है। $2 imes 2$ आव्यूह का कोटि $2x2$ है।

D · स्तंभ आव्यूह

यदि $n = 1$ है, तो आव्यूह केवल एक स्तंभ वाला होता है, जिसे स्तंभ आव्यूह कहते हैं।

C · $A^T = A$

सममित आव्यूह की विशेषता होती है कि उसका परिवर्त $A^T$ उसके समान होता है, अर्थात $A^T = A$।

B · $egin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$

आव्यूह का योग $A + A = egin{bmatrix} 1+1 & 2+2 \ 3+3 & 4+4 \end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$।

C · $2 imes 3$

कोटि $m imes n$ से अभिप्राय है कि आव्यूह में $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ हैं।

D · शून्य

विकर्ण आव्यूह में विकर्ण के अलावा सभी अवयव शून्य होते हैं।

C · $egin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$

आव्यूहों का योग $A + B$ में प्रत्येक समान स्थान पर अवयवों को जोड़ा जाता है।

A · $A = A^T$

एक सममित आव्यूह की विशेषता होती है कि $A = A^T$।

B · $m imes n$

आव्यूहों का अंतर $A - B$ में कोटि समान होती है, जो $m imes n$ है।

C · $egin{bmatrix} 16 & 0 \ 0 & 25 \end{bmatrix}$

आव्यूह का वर्ग $A^2$ में प्रत्येक अवयव का वर्ग लिया जाता है।

C · स्तंभ आव्यूह (column matrix)

यदि $n = 1$ हो, तो आव्यूह को स्तंभ आव्यूह (column matrix) कहते हैं।

B · $egin{bmatrix} 2 & 2 \ 2 & 2 \end{bmatrix}$

आव्यूहों का योग $A + A$ में प्रत्येक अवयव को जोड़ा जाता है।

A · $\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$

आव्यूह योग में संगत अवयवों को जोड़ा जाता है: $1+5=6$, $2+6=8$, $3+7=10$, $4+8=12$।

C · $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

परिवर्त में पंक्तियाँ और स्तंभ परस्पर बदल जाते हैं, इसलिए $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$।

C · $A = A^T$

सममित आव्यूह की परिभाषा के अनुसार $A = A^T$ होता है।

B · विषम सममित (skew-symmetric)

$A^T = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = -A$, इसलिए $A$ विषम सममित है।

A · $A^T + B^T$

परिवर्त के गुणधर्म से $(A+B)^T = A^T + B^T$।

C · $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

तत्समक आव्यूह का वर्ग स्वयं तत्समक आव्यूह होता है: $I^2 = I$।

B · False

आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होता; सामान्यतः $AB \neq BA$।

A · True

$(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T$, इसलिए यह सममित है।

C · $\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{bmatrix}$

आव्यूह गुणन: $AB$ का पहला अवयव $1\times2+2\times1=4$, दूसरा $1\times0+2\times2=4$, तीसरा $3\times2+4\times1=10$, चौथा $3\times0+4\times2=8$।

A · $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$, अतः $adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$।