अध्याय 3: आव्यूह (Matrices) - 12वीं गणित
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All 32 questions, laddered from warm-up to topper-level, each with its answer and the reasoning behind it.
Warm-up · 22 questions
Q1. यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ है, तो $A$ का कोटि (order) क्या है?
Beginner
A
$1 \times 2$
B
$3 \times 3$
C
$2 \times 2$
D
$2 \times 1$
Show the answer
C · $2 \times 2$
आव्यूह में 2 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ हैं, इसलिए कोटि $2 \times 2$ है।
Q2. एक आव्यूह $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ में, यदि $m = n$ हो, तो आव्यूह को क्या कहते हैं?
Beginner
A
पंक्ति आव्यूह (Row matrix)
B
स्तंभ आव्यूह (Column matrix)
C
आयत आव्यूह (Rectangular matrix)
D
वर्ग आव्यूह (Square matrix)
Show the answer
D · वर्ग आव्यूह (Square matrix)
जब पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, तो आव्यूह वर्ग आव्यूह कहलाता है।
Q3. यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$, तो $2A$ क्या है?
Beginner
A
$\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
B
$\begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0 & 1.5 \end{bmatrix}$
C
$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}$
D
$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
Show the answer
C · $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}$
अदिश गुणन में प्रत्येक अवयव को 2 से गुणा करते हैं: $2 \times 2=4$, $2 \times 1=2$, $2 \times 0=0$, $2 \times 3=6$।
Q4. एक विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) में, विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव क्या होते हैं?
Beginner
A
एक
B
शून्य
C
कोई भी संख्या
D
ऋणात्मक संख्या
Show the answer
B · शून्य
विकर्ण आव्यूह में मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य होते हैं।
Q5. एक आव्यूह $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ में यदि $m=1$ और $n>1$, तो आव्यूह को क्या कहते हैं?
Beginner
A
स्तंभ आव्यूह (Column matrix)
B
पंक्ति आव्यूह (Row matrix)
C
शून्य आव्यूह (Zero matrix)
D
वर्ग आव्यूह (Square matrix)
Show the answer
B · पंक्ति आव्यूह (Row matrix)
जब आव्यूह में केवल एक पंक्ति होती है, तो उसे पंक्ति आव्यूह कहते हैं।
Q6. एक आव्यूह $A = egin{bmatrix} 3 & 5 \ 7 & 9 \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) क्या है?
Beginner
A
$egin{bmatrix} 9 & -5 \ -7 & 3 \end{bmatrix}$
B
$egin{bmatrix} 3 & -5 \ -7 & 9 \end{bmatrix}$
C
$egin{bmatrix} 5 & 3 \ 9 & 7 \end{bmatrix}$
D
$egin{bmatrix} 7 & 9 \ 3 & 5 \end{bmatrix}$
Show the answer
A · $egin{bmatrix} 9 & -5 \ -7 & 3 \end{bmatrix}$
सहखंडज $adj(A) = egin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$ के अनुसार, $A$ के लिए सहखंडज $A = egin{bmatrix} 3 & 5 \ 7 & 9 \end{bmatrix}$ होगा $egin{bmatrix} 9 & -5 \ -7 & 3 \end{bmatrix}$।
Q7. यदि $A$ एक विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) है, तो $A$ का रूप क्या होगा?
Beginner
A
$A = egin{bmatrix} a & 0 \ 0 & b \end{bmatrix}$
B
$A = egin{bmatrix} a & c \ b & d \end{bmatrix}$
C
$A = egin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$
D
$A = egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
Show the answer
A · $A = egin{bmatrix} a & 0 \ 0 & b \end{bmatrix}$
विकर्ण आव्यूह में केवल विकर्ण पर अवयव होते हैं, जैसे $A = egin{bmatrix} a & 0 \ 0 & b \end{bmatrix}$।
Q8. यदि $A = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$, तो $A^T$ क्या होगा?
Beginner
A
$egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$
B
$egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$
C
$egin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
D
$egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Show the answer
A · $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$
आव्यूह का परिवर्त (transpose) $A^T$ में पंक्तियाँ और स्तंभ बदल जाते हैं। यहाँ $A$ सममित है, इसलिए $A^T = A$।
Q9. यदि $A = egin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & 5 \end{bmatrix}$, तो $3A$ क्या होगा?
Beginner
A
$egin{bmatrix} 6 & 9 \ 12 & 15 \end{bmatrix}$
B
$egin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$
C
$egin{bmatrix} 3 & 6 \ 9 & 15 \end{bmatrix}$
D
$egin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & 5 \end{bmatrix}$
Show the answer
A · $egin{bmatrix} 6 & 9 \ 12 & 15 \end{bmatrix}$
आव्यूह के प्रत्येक अवयव को गुणा करने पर $3A = egin{bmatrix} 3 imes 2 & 3 imes 3 \ 3 imes 4 & 3 imes 5 \end{bmatrix} = egin{bmatrix} 6 & 9 \ 12 & 15 \end{bmatrix}$।
Q10. यदि $A$ और $B$ समान कोटि के आव्यूह हैं, तो $A + B$ का कोटि क्या होगा?
Beginner
A
समान कोटि
B
1x1
C
विभिन्न कोटि
D
2x2
Show the answer
A · समान कोटि
यदि $A$ और $B$ समान कोटि के हैं, तो उनका योग $A + B$ भी समान कोटि का होगा।
Q11. एक $2 imes 2$ आव्यूह का कोटि क्या होता है?
Beginner
A
2
B
4
C
1
D
2x2
Show the answer
D · 2x2
आव्यूह का कोटि उसके पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से दर्शाया जाता है। $2 imes 2$ आव्यूह का कोटि $2x2$ है।
Q12. एक आव्यूह $A = [a_{ij}]_{m imes n}$ में, यदि $n = 1$ हो, तो उसे क्या कहते हैं?
Beginner
A
वर्ग आव्यूह
B
खाली आव्यूह
C
पंक्ति आव्यूह
D
स्तंभ आव्यूह
Show the answer
D · स्तंभ आव्यूह
यदि $n = 1$ है, तो आव्यूह केवल एक स्तंभ वाला होता है, जिसे स्तंभ आव्यूह कहते हैं।
Q13. एक सममित आव्यूह (symmetric matrix) की विशेषता क्या होती है?
Beginner
A
$A^T = -A$
B
$A^T = 0$
C
$A^T = A$
D
$A^T
eq A$
Show the answer
C · $A^T = A$
सममित आव्यूह की विशेषता होती है कि उसका परिवर्त $A^T$ उसके समान होता है, अर्थात $A^T = A$।
Q14. यदि $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$, तो $A + A$ क्या होगा?
Beginner
A
$egin{bmatrix} 3 & 5 \ 7 & 9 \end{bmatrix}$
B
$egin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$
C
$egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
D
$egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
Show the answer
B · $egin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$
आव्यूह का योग $A + A = egin{bmatrix} 1+1 & 2+2 \ 3+3 & 4+4 \end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$।
Q15. एक आव्यूह $A = [a_{ij}]_{m imes n}$ में, यदि $m = 2$ और $n = 3$ हो, तो आव्यूह का कोटि क्या होगा?
Beginner
A
$3 imes 3$
B
$3 imes 2$
C
$2 imes 3$
D
$2 imes 2$
Show the answer
C · $2 imes 3$
कोटि $m imes n$ से अभिप्राय है कि आव्यूह में $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ हैं।
Q16. एक विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) में, विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव क्या होते हैं?
Beginner
A
एक
B
सकारात्मक
C
नकारात्मक
D
शून्य
Show the answer
D · शून्य
विकर्ण आव्यूह में विकर्ण के अलावा सभी अवयव शून्य होते हैं।
Q17. यदि $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = egin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$, तो $A + B$ क्या है?
Beginner
A
$egin{bmatrix} 5 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$
B
$egin{bmatrix} 10 & 12 \ 14 & 16 \end{bmatrix}$
C
$egin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$
D
$egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
Show the answer
C · $egin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$
आव्यूहों का योग $A + B$ में प्रत्येक समान स्थान पर अवयवों को जोड़ा जाता है।
Q18. एक सममित आव्यूह (symmetric matrix) की विशेषता क्या होती है?
Beginner
A
$A = A^T$
B
$A = -A$
C
$A^2 = I$
D
$A = A^{-1}$
Show the answer
A · $A = A^T$
एक सममित आव्यूह की विशेषता होती है कि $A = A^T$।
Q19. यदि $A$ और $B$ समान कोटि के आव्यूह हैं, तो $A - B$ का कोटि क्या होगा?
Beginner
A
$m + n$
B
$m imes n$
C
$n imes m$
D
$m imes m$
Show the answer
B · $m imes n$
आव्यूहों का अंतर $A - B$ में कोटि समान होती है, जो $m imes n$ है।
Q20. यदि $A = egin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 5 \end{bmatrix}$, तो $A^2$ क्या होगा?
Beginner
A
$egin{bmatrix} 4 & 5 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
B
$egin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 5 \end{bmatrix}$
C
$egin{bmatrix} 16 & 0 \ 0 & 25 \end{bmatrix}$
D
$egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
Show the answer
C · $egin{bmatrix} 16 & 0 \ 0 & 25 \end{bmatrix}$
आव्यूह का वर्ग $A^2$ में प्रत्येक अवयव का वर्ग लिया जाता है।
Q21. एक आव्यूह $A = [a_{ij}]_{m imes n}$ में यदि $n = 1$ हो, तो उसे क्या कहते हैं?
Beginner
A
विभाजन आव्यूह (partition matrix)
B
पंक्ति आव्यूह (row matrix)
C
स्तंभ आव्यूह (column matrix)
D
विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix)
Show the answer
C · स्तंभ आव्यूह (column matrix)
यदि $n = 1$ हो, तो आव्यूह को स्तंभ आव्यूह (column matrix) कहते हैं।
Q22. यदि $A = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$, तो $A + A$ क्या होगा?
Beginner
A
$egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$
B
$egin{bmatrix} 2 & 2 \ 2 & 2 \end{bmatrix}$
C
$egin{bmatrix} 1 & 2 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$
D
$egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
Show the answer
B · $egin{bmatrix} 2 & 2 \ 2 & 2 \end{bmatrix}$
आव्यूहों का योग $A + A$ में प्रत्येक अवयव को जोड़ा जाता है।
Building up · 8 questions
Q23. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$, तो $A + B$ क्या है?
Intermediate
A
$\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$
B
$\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$ नहीं, बल्कि $\begin{bmatrix} 5 & 12 \\ 21 & 32 \end{bmatrix}$
C
$\begin{bmatrix} 5 & 12 \\ 21 & 32 \end{bmatrix}$
D
$\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$
Show the answer
A · $\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$
आव्यूह योग में संगत अवयवों को जोड़ा जाता है: $1+5=6$, $2+6=8$, $3+7=10$, $4+8=12$।
Q24. आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ का परिवर्त (transpose) $A^T$ क्या है?
Intermediate
A
$\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
B
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
C
$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
D
$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$
Show the answer
C · $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
परिवर्त में पंक्तियाँ और स्तंभ परस्पर बदल जाते हैं, इसलिए $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$।
Q25. यदि $A$ एक सममित आव्यूह (symmetric matrix) है, तो निम्न में से कौन सा सत्य है?
Intermediate
A
$A = 0$
B
$A = I$
C
$A = A^T$
D
$A = -A^T$
Show the answer
C · $A = A^T$
सममित आव्यूह की परिभाषा के अनुसार $A = A^T$ होता है।
Q26. यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$, तो $A$ कैसा आव्यूह है?
Intermediate
A
शून्य आव्यूह
B
विषम सममित (skew-symmetric)
C
सममित (symmetric)
D
तत्समक (identity)
Show the answer
B · विषम सममित (skew-symmetric)
$A^T = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = -A$, इसलिए $A$ विषम सममित है।
Q27. यदि $A$ और $B$ समान कोटि के आव्यूह हैं, तो $(A+B)^T$ किसके बराबर है?
Intermediate
A
$A^T + B^T$
B
$A + B$
C
$AB$
D
$A^T - B^T$
Show the answer
A · $A^T + B^T$
परिवर्त के गुणधर्म से $(A+B)^T = A^T + B^T$।
Q28. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, तो $A^2$ क्या है?
Intermediate
A
$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
B
$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
C
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
D
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
Show the answer
C · $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
तत्समक आव्यूह का वर्ग स्वयं तत्समक आव्यूह होता है: $I^2 = I$।
Q29. यदि $A$ और $B$ समान कोटि के आव्यूह हैं, तो सामान्यतः $AB = BA$ होता है।
Intermediate
A
True
B
False
Show the answer
B · False
आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होता; सामान्यतः $AB \neq BA$।
Q30. एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, $A + A^T$ सदैव सममित आव्यूह होता है।
Intermediate
A
True
B
False
Show the answer
A · True
$(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T$, इसलिए यह सममित है।
Topper level · 2 questions
Q31. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, तो $AB$ क्या है?
Advanced
A
$\begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$
B
$\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$
C
$\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{bmatrix}$
D
$\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 8 \end{bmatrix}$
Show the answer
C · $\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन: $AB$ का पहला अवयव $1\times2+2\times1=4$, दूसरा $1\times0+2\times2=4$, तीसरा $3\times2+4\times1=10$, चौथा $3\times0+4\times2=8$।
Q32. आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) क्या है? (संकेत: $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$)
Advanced
A
$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
B
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$
C
$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$
D
$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
Show the answer
A · $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$, अतः $adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$।
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