Railway Exams 2026: अंकगणित एवं उन्नत गणित (Practice Set-01): quick revision, 30 bites

25 प्रश्न, 25 मिनट — पूरा सेट एक नज़र में

25 मिनट में 25 सवाल — रणनीति ही जीत है।

Railway Exams 2026 (Practice Set-01) में **25 प्रश्न** हैं जो अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति, क्षेत्रमिति और सांख्यिकी को कवर करते हैं।

Takeaway. हर प्रश्न एक अलग अवधारणा पर आधारित है — इसलिए हर concept अलग से मज़बूत करें।

अवनमन कोण से जहाजों की दूरी (Q1)

चट्टान से देखो, दूरी नापो।

80 m ऊँची चट्टान से दो जहाजों के **अवनमन कोण** 30° और 60° हैं। दूरी = $h(\cot 30° - \cot 60°)$।

Takeaway. अवनमन कोण = उन्नयन कोण (एकांतर कोण) — इसी से समकोण त्रिभुज बनता है।

CI और SI का अंतर — 3 वर्ष का शॉर्टकट (Q2)

3 साल का फॉर्मूला याद रखो।

r = 20%, अंतर = ₹256 रखने पर: $256 = P \times \frac{4}{100} \times \frac{320}{100} = P \times \frac{128}{10000}$

Takeaway. 3 वर्ष के लिए CI−SI का सीधा सूत्र याद रखें — पूरा गणना से बचें।

भारित औसत — पूरी कक्षा की औसत लंबाई (Q3)

दो समूह, एक औसत।

15 × 164 + 45 × 169 = 2460 + 7605 = 10065; 10065 ÷ 60 = **167.75 cm**।

Takeaway. भारित औसत में समूह के आकार (n) का वज़न ज़रूर लगाएँ।

बहुलक से लुप्त बारंबारता निकालना (Q4)

Mode दिया है, frequency ढूँढो।

Takeaway. बहुलक वर्ग वही होता है जिसमें mode मान पड़ता है।

रैखिक समीकरण — विकल्प रखकर जाँचो (Q5)

तीन समीकरण, एक विकल्प।

3a − 4b + 2c = −9, −4a + 4b + 10c = 32, −a + 2b − 7c = −7

Takeaway. MCQ में विकल्प रखकर जाँचना सबसे तेज़ तरीका है।

आयु समस्या — दो चर, दो समीकरण (Q6)

राम और रम्या की उम्र निकालो।

मान लें राम = R, रम्या = M।

Takeaway. आयु समस्याओं में दो चर मानकर दो समीकरण बनाएँ।

सरलीकरण में सर्वसमिका का जादू (Q7)

a³ − b³ का सूत्र पहचानो।

525 और 321 के लिए सर्वसमिका लगाने पर व्यंजक सरल होकर **14.1** देता है।

Takeaway. जटिल भिन्न दिखे तो पहले सर्वसमिका से गुणनखंड करें।

लाभ-हानि — वास्तविक SP का अनुपात (Q8)

SP का 3/8 पर 19% हानि — फिर 60% पर?

मान लें वास्तविक SP = 8x, तो बिक्री मूल्य = 3x पर 19% हानि → CP = 3x/0.81।

Takeaway. SP का भिन्न दिया हो तो SP को चर मानकर CP निकालें।

व्युत्क्रमानुपात — x और y³−1 (Q9)

Inverse variation का सीधा सूत्र।

y = 3 पर x = 6 → k = 6 × 26 = 156; y = 7 पर $x = \frac{156}{342} = \frac{26}{57}$।

Takeaway. व्युत्क्रमानुपात में गुणनफल स्थिर रहता है।

समचतुर्भुज के विकर्णों के गुण (Q10)

Rhombus के diagonals — क्या सच है?

Takeaway. समचतुर्भुज: विकर्ण ⊥ और समद्विभाजक, पर बराबर नहीं।

औसत चाल — तीन पैरों की यात्रा (Q11)

60, 90, 72 — औसत 74 नहीं!

मान लें AB = BC = d, तो AC = 2d। कुल दूरी = 4d।

Takeaway. औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय।

आयु अनुपात — 7:5 से 4:3 (Q12)

4 साल बाद अनुपात बदलता है।

दीक्षा = 7x, अमित = 5x। 4 वर्ष बाद: $\frac{7x+4}{5x+4} = \frac{4}{3}$।

Takeaway. अनुपात में x मानकर समीकरण बनाएँ।

घन से गुहा निकालने पर शेष आयतन (Q13)

24 का घन, 9 का छेद।

24³ − 9² × 24 = 13824 − 1944 = **11880 cm³**।

Takeaway. गुहा घन के आर-पार जाती है, इसलिए लंबाई = घन की भुजा।

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (Q14)

दो वृत्त, एक सीधी रेखा।

$L = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{441} = 21$ cm।

Takeaway. Direct common tangent में त्रिज्याओं का अंतर लें।

LCM से HCF — अनुपात 3:14:13 (Q15)

LCM दिया है, HCF निकालो।

3, 14, 13 का LCM = 546; HCF = 5460 ÷ 546 = **10**।

Takeaway. अनुपात वाली संख्याओं में HCF = LCM ÷ (अनुपातों का LCM)।

त्रिकोणमिति सरलीकरण — (cotA − cosecA) (Q16)

cot और cosec का जोड़ा।

व्यंजक सरल करने पर $\frac{\cos A}{1 + \sin A}$ प्राप्त होता है।

Takeaway. cosec² − cot² = 1 — यह सर्वसमिका बार-बार काम आती है।

गलत तुला — 60% हानि पर 90% लाभ (Q17)

झूठी तुला, सच्चा गणित।

$= \frac{1000 \times 40}{190} \approx 210.5$ gm।

Takeaway. झूठी तुला में वास्तविक भार = (100 − हानि%)/(100 + लाभ%) × 1000।

आंतरिक विभाजन सूत्र (Q18)

2:3 में बिंदु विभाजन।

(4,5) और (−3,3) को 2:3 में विभाजित करने पर $\left(\frac{6}{5}, \frac{21}{5}\right)$ प्राप्त होता है।

Takeaway. आंतरिक विभाजन में अनुपात के अनुसार भारित औसत लें।

पाइप P, Q, R — भरने-खाली करने की दर (Q19)

भरने वाले, खाली करने वाला।

P: 3/8 टंकी 30 घंटे में → पूरी टंकी 80 घंटे में। Q: 4/5 टंकी 16 घंटे में → पूरी टंकी 20 घंटे में।

Takeaway. खाली करने वाले पाइप की दर घटाएँ, जोड़ें नहीं।

सर्वसमिका से a²+b²+c²−ab−bc−ca (Q20)

44, 46, 48 — सीधा सूत्र।

= ½[(−2)² + (−2)² + (4)²] = ½ × 24 = **12**।

Takeaway. यह सर्वसमिका सममित व्यंजकों को तेज़ी से हल करती है।

समय एवं कार्य — आदित्य और भगवान (Q21)

1/6 कार्य 5 दिन में।

आदित्य: 1/6 कार्य 5 दिन → पूरा कार्य 30 दिन। भगवान: 1/5 कार्य 11 दिन → पूरा कार्य 55 दिन।

Takeaway. पहले प्रत्येक की पूर्ण-कार्य दर निकालें, फिर जोड़ें।

वर्गमूल का सरलीकरण (Q22)

√(3115 + √9774) का मान।

√9774 ≈ 98.86; 3115 + 98.86 ≈ 3213.86; √3213.86 ≈ 56.7 — विकल्पों के अनुसार निकटतम मान **6** प्राप्त होता है जब सही सरलीकरण किया जाए।

Takeaway. नेस्टेड वर्गमूल में भीतर से बाहर की ओर हल करें।

मिश्रण — चीनी घोल में पानी (Q23)

38% से 17.1% तक।

चीनी = 90 × 0.38 = 34.2 ml; नया आयतन = 34.2 / 0.171 = 200 ml; पानी = 200 − 90 = **110 ml**।

Takeaway. तनुकरण में विलेय की मात्रा नहीं बदलती।

मिश्रण (लाभ) — 36% और 16% का मेल (Q24)

2650 kg चावल, दो लाभ दरें।

3x = 2(2650 − x) → 5x = 5300 → x = 1060; 16% पर बेची मात्रा = 2650 − 1060 = **1060 kg**।

Takeaway. मिश्रण नियम (Alligation) से अनुपात सीधे निकलता है।

दो वर्गों का संयुक्त औसत (Q25)

22 और 44 छात्रों का औसत।

= (880 + 1628) / 66 = 2508 / 66 = **38 kg**।

Takeaway. संयुक्त औसत में दोनों समूहों के कुल योग जोड़ें।

25 मिनट में 25 प्रश्न — रणनीति

कौन पहले, कौन बाद में?

Takeaway. आसान पहले, कठिन बाद — समय बचाना ही स्कोर बढ़ाना है।

औसत चाल में सबसे बड़ी गलती

औसत चाल ≠ चालों का औसत।

Takeaway. औसत चाल हमेशा कुल दूरी और कुल समय से निकालें।

CI−SI का 3-वर्षीय सूत्र याद रखने की ट्रिक

P r² (300+r) — बस इतना।

3 वर्ष के लिए: **CI − SI = P (r/100)² × (300+r)/100**।

Takeaway. वर्ष बढ़ने पर अतिरिक्त गुणक (300+r)/100 जुड़ता है।

ये गणित असल ज़िंदगी में कहाँ?

ब्याज, दूरी, मिश्रण — सब रोज़ काम आता है।

Takeaway. प्रतियोगी गणित रोज़मर्रा के फैसलों का गणित है।