ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોના સહ-ફલન (Co-function) અને આવર્તક ગુણધર્મો: 18 MCQs with answers

$180^\circ$

$\pi$ એ અડધા વર્તુળનું માપ છે, જે $180^\circ$ બરાબર થાય.

$90^\circ$

$\pi = 180^\circ$, તેથી $\pi/2 = 90^\circ$.

ફંક્શન બદલાય છે ($\sin \leftrightarrow \cos$)

$\pi/2$ નો એકી ગુણાંક હોય તો ફંક્શન બદલાય છે — $\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$.

ફંક્શન તે જ રહે છે

$\pi/2$ નો બેકી ગુણાંક હોય તો ફંક્શન બદલાતું નથી.

$+\cos\theta$

$\pi/2$ એકી ગુણાંક છે, તેથી $\sin \to \cos$ થાય; પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં ચિહ્ન ધન. તેથી $\sin(\pi/2+\theta) = +\cos\theta$.

$+\sin\theta$

$\pi/2$ એકી ગુણાંક છે, તેથી $\cos \to \sin$ થાય; પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં ચિહ્ન ધન. તેથી $\cos(\pi/2-\theta) = +\sin\theta$.

True

એલાઇડ એંગલના નિયમ મુજબ, જો ખૂણામાં $\pi/2$ નો ગુણાંક એકી હોય તો ફંક્શન બદલાય છે ($\sin \to \cos$), અને બેકી હોય તો ફંક્શન તે જ રહે છે.

$-\sin\theta$

$3\pi = 6(\pi/2)$ એટલે બેકી ગુણાંક — ફંક્શન $\sin$ જ રહે. પણ ખૂણો ત્રીજા ચતુર્થાંશમાં આવે છે જ્યાં $\sin$ ઋણ હોય છે. તેથી $\sin(3\pi+\theta) = -\sin\theta$.

$+\cos\theta$

$4\pi = 8(\pi/2)$ એટલે બેકી ગુણાંક — ફંક્શન બદલાતું નથી. $4\pi$ એ $2\pi$ નો ગુણાંક છે, તેથી ચિહ્ન ધન. તેથી $\cos(4\pi+\theta) = +\cos\theta$.

$+\tan\theta$

$4\pi$ એ બેકી ગુણાંક છે, તેથી ફંક્શન $\tan$ જ રહે; $4\pi$ એ $2\pi$ નો ગુણાંક હોવાથી ચિહ્ન ધન. તેથી $\tan(4\pi+\theta) = +\tan\theta$.

$+\tan\theta$

$2000\pi = 4000(\pi/2)$ એટલે બેકી ગુણાંક — ફંક્શન બદલાતું નથી. $2000\pi$ એ $2\pi$ નો ગુણાંક છે, તેથી ચિહ્ન ધન. તેથી $\tan(2000\pi+\theta) = +\tan\theta$.

પરિણામી ખૂણાનો ચતુર્થાંશ

ચિહ્ન હંમેશા પરિણામી ખૂણાના ચતુર્થાંશ પરથી નક્કી થાય છે, ફંક્શનના પ્રકાર પરથી નહીં.

$\sin$ અને $\csc$

બીજા ચતુર્થાંશમાં ફક્ત $\sin$ અને $\csc$ ધન હોય છે.

ચિહ્ન ખોટું છે; તે ધન હોવું જોઈએ

$\pi/2$ એકી ગુણાંક છે, તેથી ફંક્શન $\sin \to \cos$ બદલાય તે સાચું છે. પણ $\pi/2+\theta$ પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં આવે છે જ્યાં ચિહ્ન ધન હોય છે. તેથી $\sin(\pi/2+\theta) = +\cos\theta$.

$\pi/2$ એ એકી ગુણાંક છે, તેથી ફંક્શન બદલાવું જોઈએ

$\pi/2 = 1 \times (\pi/2)$ એટલે એકી ગુણાંક. તેથી ફંક્શન $\sin \to \cos$ બદલાવું જોઈએ. સાચો જવાબ $\sin(\pi/2+\theta) = +\cos\theta$ છે.

$\tan$

$\pi/2$ ના એકી ગુણાંક પર $\sin \leftrightarrow \cos$ અને $\sec \leftrightarrow \csc$ બદલાય છે, પણ $\tan \leftrightarrow \cot$ પણ બદલાય છે. અહીં $\tan$ એકમાત્ર એવો વિકલ્પ છે જે પોતાની જોડી $\cot$ સાથે બદલાય — પણ પ્રશ્નમાં 'બદલાતું નથી' પૂછ્યું છે, જે $\tan$ માટે ખોટું છે. (નોંધ: આ પ્રશ્નમાં $\tan$ સાચો જવાબ છે કારણ કે ત…

ઋણ (−)

જ્યારે $ heta$ ને $3\pi + heta$ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, ત્યારે $3\pi$ એ $2\pi + \pi$ છે, જે ત્રીજા ચતુર્થાંશમાં આવે છે, જ્યાં $\sin$ ઋણ હોય છે.

$\cos x$

જ્યારે $ heta = \pi/2 + x$ હોય, ત્યારે $\sin(\pi/2 + x)$ નું સરળ સ્વરૂપ $\cos x$ છે, કારણ કે $\pi/2$ નો ગુણાંક એકી છે, જે ફંક્શનને બદલે છે.