الأعداد والحساب: المجموعات، القوى، الجذور، والكتابة العلمية

D · $0$

مجموعة الأعداد الطبيعية $\mathbb{N}$ تضم الأعداد التي لا تحتوي على إشارة سالبة ولا فاصلة ولا كسر ولا جذر، ومنها 0. أما $-3$ فعدد صحيح نسبي سالب، و$0{,}5$ عدد عشري، و$\sqrt{2}$ عدد أصم.

A · $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

العلاقة الصحيحة هي احتواء متتالٍ: كل عدد طبيعي هو عدد صحيح نسبي، وكل عدد صحيح نسبي هو عدد عشري، وكل عدد عشري هو عدد ناطق، وكل عدد ناطق هو عدد حقيقي. إذن $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

C · $17$

العدد 17 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه، فهو عدد أولي. أما 9 = 3×3، و15 = 3×5، و21 = 3×7، فكلها أعداد مؤلفة.

B · $4{,}5 \times 10^{-4}$

الكتابة العلمية تتطلب $1 \le a < 10$، أي رقماً واحداً غير معدوم قبل الفاصلة. لدينا $0{,}00045 = 4{,}5 \times 10^{-4}$ لأننا نحرك الفاصلة أربع مرات نحو اليمين. الخيارات الأخرى لا تحقق الشرط $1 \le a < 10$.

A · $14$

حسب ترتيب الأولوية، الضرب يسبق الجمع. إذن نحسب أولاً $3 \times 4 = 12$، ثم $2 + 12 = 14$. الخطأ الشائع هو الجمع أولاً فيعطي 20.

D · $a^{m+n}$

عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه، نجمع الأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$. هذا من قوانين القوى العامة.

A · $1$

من الحالات الخاصة لقوانين القوى: $a^0 = 1$ لأي عدد $a$ غير معدوم. الخطأ الشائع هو الاعتقاد أن $a^0 = 0$.

A · True

كل عدد عشري هو عدد ناطق، لكن ليس كل عدد ناطق عدداً عشرياً (مثل $\frac{1}{3}$).

B · $\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$ له فاصلة دورية غير منتهية، فهو عدد ناطق وليس عدداً عشرياً. أما $\frac{3}{8} = 0{,}375$ و$0{,}25$ و$\frac{7}{2} = 3{,}5$ فكلها أعداد عشرية.

B · $2^2 \times 3 \times 7$

نقسم 84 على 2 فنحصل على 42، ثم على 2 فنحصل على 21، ثم على 3 فنحصل على 7، وأخيراً على 7 فنحصل على 1. إذن $84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$. الخيارات الأخرى تحتوي عوامل غير أولية أو تحليلاً خاطئاً.

B · المشتركة مأخوذة مرة واحدة بأصغر أس

PGCD هو القاسم المشترك الأكبر، لذا نأخذ العوامل الأولية المشتركة فقط، مرة واحدة، وبأصغر أس لكل عامل. أما أخذ العوامل بأكبر أس (بما فيها غير المشتركة) فهو PPCM.

D · إذا كان تحليل $b$ لا يشمل إلا قوى 2 أو 5

بعد اختزال الكسر، نحلل المقام $b$ إلى عوامل أولية. إذا كان التحليل لا يشمل إلا قوى 2 أو 5 (أو كليهما) فإن الكسر يمثل عدداً عشرياً، وإلا فهو ناطق. مثلاً $\frac{3}{8}$ عشري لأن $8 = 2^3$، بينما $\frac{1}{3}$ ناطق.

C · $10^{-3}$

نكتب العدد علمياً: $0{,}00045 = 4{,}5 \times 10^{-4}$. ثم ندور $4{,}5$ إلى أقرب عدد صحيح فيصبح 5 (لأن الرقم بعد الفاصلة هو 5). فتصبح الكتابة $5 \times 10^{-4}$، ورتبة المقدار هي $10^{-4}$؟ انتظر: التدوير إلى الوحدة يعطي 5، لكن رتبة المقدار تُعرَّف بالاحتفاظ بقوة 10 بعد تدوير $a$…

B · $a^{m-n}$

عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه، نطرح الأسس: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. هذا من قوانين القوى العامة.

C · $1$

بما أن $2n$ عدد زوجي (لأنه من مضاعفات 2)، فإن $(-1)^{2n} = 1$ حسب الحالة الخاصة: $(-1)^n = 1$ إذا كان $n$ زوجياً.

B · $\sqrt{5}$

$\sqrt{5}$ لا يمكن التعبير عنه بكسر من أعداد صحيحة، فهو عدد أصم. أما $\sqrt{9} = 3$ فهو عدد طبيعي، و$\frac{22}{7}$ عدد ناطق، و$0{,}333\dots = \frac{1}{3}$ عدد ناطق.

C · $\frac{7}{3}$

العدد $A = 2.333...$ يمكن كتابته ككسر عن طريق استخدام الطريقة الموضحة في النص، حيث نحصل على $A = \frac{7}{3}$.

B · $4.5 \times 10^{-4}$

الكتابة العلمية للعدد $0.00045$ هي $4.5 \times 10^{-4}$، حيث يتم تحويل العدد إلى الشكل المطلوب.

B · 1

لأن $(-1)^{2n}$ يكون دائماً 1 عندما يكون $n$ عدد طبيعي، حيث أن الأس زوجي.

B · عدد عشري

الكسر $\frac{5}{12}$ يمثل عدداً عشرياً لأنه يمكن كتابته على شكل كسر حيث أن المقام يحتوي على عوامل 2 و 3، مما يجعله ناطقاً.