คณิตศาสตร์พื้นฐาน: quick revision, 19 bites

หัวใจของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสองเท่ากับผลบวกกำลังสองของอีกสองด้าน

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ความยาวด้านทั้งสามมีความสัมพันธ์กันเสมอ นั่นคือ กำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุด) เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวด้านประกอบมุมฉากทั้งสอง

Takeaway. จำสูตร $c^2 = a^2 + b^2$ ให้ขึ้นใจ แล้วจะแก้โจทย์สามเหลี่ยมมุมฉากได้ทุกข้อ

ส่วนประกอบของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รู้จักด้านประกอบมุมฉากและด้านตรงข้ามมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่งที่มีขนาด $90^\circ$ ด้านสองด้านที่ประกอบเป็นมุมฉากเรียกว่า **ด้านประกอบมุมฉาก** ส่วนด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า **ด้านตรงข้ามมุมฉาก** ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ

Takeaway. ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวที่สุดเสมอ จำไว้เพื่อตรวจคำตอบ

การหาด้านที่เหลือจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สลับสูตรหาด้านที่ต้องการได้ทันที

เมื่อรู้ความยาวสองด้าน สามารถหาด้านที่สามได้โดยการย้ายข้างสมการ

Takeaway. หาด้านตรงข้ามมุมฉากใช้บวก หาด้านประกอบมุมฉากใช้ลบ

ตัวอย่าง: หาด้านที่เหลือ

รู้ด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านหนึ่ง หาอีกด้านได้

กำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $15$ หน่วย และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว $12$ หน่วย จงหาความยาวด้านที่เหลือ

Takeaway. ตรวจคำตอบ: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ ถูกต้อง

โจทย์ปัญหา: การเดินทาง

ใช้พีทาโกรัสหระยะห่างจากจุดเริ่มต้น

ชายคนหนึ่งวิ่งไปทางทิศเหนือ $7$ กม. จากนั้นไปทางทิศตะวันออก $12$ กม. และไปทางทิศเหนืออีก $2$ กม. ต้องการหาระยะห่างจากจุดเริ่มต้น

Takeaway. วาดรูปช่วยให้เห็นทิศทางและตั้งสมการได้ง่ายขึ้น

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตรวจสอบว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

ถ้าให้ $c$ เป็นด้านที่ยาวที่สุด และ $a, b$ เป็นอีกสองด้าน

Takeaway. เทียบกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุดกับผลบวกกำลังสองของอีกสองด้าน

ตรวจสอบชนิดของสามเหลี่ยม

ด้าน 15, 13, 12 เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด

ให้ $c = 15$ (ยาวที่สุด), $a = 13$, $b = 12$

Takeaway. ด้าน 15, 13, 12 ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะ $15^2 \neq 13^2 + 12^2$

จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

แยกแยะจำนวนสองชนิดนี้ให้ชัด

**จำนวนตรรกยะ** คือจำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วน $\frac{a}{b}$ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนเต็ม และ $b \neq 0$ หรือเขียนเป็นทศนิยมซ้ำได้ ส่วน **จำนวนอตรรกยะ** คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้

Takeaway. จำนวนตรรกยะเขียนเป็นเศษส่วนได้ จำนวนอตรรกยะเขียนไม่ได้

เปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

ใช้ 9 และ 0 เป็นตัวส่วน

ทศนิยมซ้ำสามารถเปลี่ยนเป็นเศษส่วนได้ โดยพิจารณาจำนวนหลักที่ซ้ำและไม่ซ้ำ

Takeaway. ตัวเศษ = จำนวนหลังทศนิยม ลบ จำนวนที่ไม่ซ้ำ

รากที่สอง

รากที่สองมีสองค่า บวกและลบ

**รากที่สอง** ของจำนวนจริงบวก $a$ คือจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ $a$ มีสองราก คือ $\sqrt{a}$ (บวก) และ $-\sqrt{a}$ (ลบ) ถ้า $a = 0$ รากที่สองคือ $0$

Takeaway. รากที่สองของ 36 คือ $6$ และ $-6$ อย่าลืมเครื่องหมายลบ

สมบัติของรากที่สอง

คูณหารรากได้ง่าย ๆ

Takeaway. ใช้สมบัตินี้เพื่อจัดรูปให้ง่ายขึ้น เช่น $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{16} = 4$

รากที่สาม

รากที่สามมีค่าเดียว

**รากที่สาม** ของจำนวนจริง $a$ คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้ $a$ เขียนแทนด้วย $\sqrt[3]{a}$ ต่างจากรากที่สองตรงที่รากที่สามของจำนวนจริงใด ๆ มีเพียงค่าเดียว

Takeaway. รากที่สามของ $-729$ คือ $-9$ เพราะ $(-9)^3 = -729$

แก้สมการรากที่สองและรากที่สาม

ยกกำลังสองหรือสามทั้งสองข้าง

Takeaway. อย่าลืมตรวจคำตอบเมื่อแก้สมการที่มีรากที่สอง

ปริซึม

ฐานสองฐานเท่ากันทุกประการ

**ปริซึม** คือรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ อยู่ในระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

Takeaway. ฐานของปริซึมมีสองฐานที่เท่ากันและขนานกัน

สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

พื้นที่ผิวข้างบวกพื้นที่ฐานสองฐาน

Takeaway. จำสูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรให้แม่น

ทรงกระบอก

ฐานเป็นรูปวงกลม

**ทรงกระบอก** คือทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับหน้าตัด และอยู่ในระนาบที่ขนานกัน

Takeaway. ทรงกระบอกมีฐานเป็นวงกลมสองฐานที่เท่ากัน

สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

พื้นที่ผิวข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

Takeaway. พื้นที่ผิวข้าง = $2\pi rh$ ซึ่งมาจากเส้นรอบวง $\times$ สูง

ตัวอย่าง: พื้นที่ผิวทรงกระบอก

เส้นผ่านศูนย์กลาง 14 ซม. สูง 5 ซม.

จงหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกสูง $5$ เซนติเมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $14$ เซนติเมตร

Takeaway. ระวังสับสนระหว่างรัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าสับสนด้านตรงข้ามมุมฉาก

Takeaway. ตรวจสอบทุกครั้งว่าด้านที่แทนในสูตรถูกต้อง