OC અને કેલેક્યુલસ: પરીક્ષા માટે મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્નો (પ્રકરણ 1-6): quick revision, 15 bites

OC નો મુખ્ય હેતુ: અજ્ઞાત ફંક્શન શોધવું

ડેરિવેટિવ આપેલો હોય તો ફંક્શન શોધો.

ઓર્ડિનરી ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશન (OC) એ એવું સમીકરણ છે જેમાં અજ્ઞાત ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ્સ હોય છે. તેનો મુખ્ય ઉદ્દેશ અજ્ઞાત ફંક્શન શોધવાનો છે.

Takeaway. OC નો ઉકેલ એ ફંક્શન છે, સંખ્યા નહીં — તેમાં સ્વતંત્ર સ્થિરાંકો હોય છે.

પ્રથમ ક્રમના OC નું સામાન્ય સ્વરૂપ

dy/dx + Py = Q — આ યાદ રાખો.

ઉકેલ: $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.)\,dx + C$

Takeaway. પ્રથમ ક્રમના રેખીય OC નો ઉકેલ Integrating Factor દ્વારા મળે છે.

રેખીય OC ઉકેલવાના પગલાં

ચાર પગલાંમાં OC ઉકેલો.

Takeaway. પગલાં ક્રમમાં પાળો — I.F. ખોટું ગણાય તો આખો જવાબ ખોટો.

Order અને Degree ભેળવી ન દો

Order ≠ Degree — ધ્યાન રાખો!

Takeaway. પહેલા Order શોધો, પછી Degree — બંને અલગ લખો.

ચલ અલગ કરી શકાય તેવું OC

ચલ અલગ કરો, પછી ઇન્ટિગ્રેટ કરો.

Takeaway. જ્યારે ચલ અલગ કરી શકાય ત્યારે આ પદ્ધતિ સૌથી સહેલી છે.

સમરૂપ OC (Homogeneous)

y = vx મૂકો, OC સરળ બને.

ઉકેલ માટે $y = vx$ મૂકો, પછી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ વાપરો.

Takeaway. સમરૂપ OC માં y = vx નો ઉપયોગ કરો — ચલ અલગ થઈ જાય.

કેલેક્યુલસ: ડેરિવેટિવના મૂળભૂત સૂત્રો

ડેરિવેટિવના સૂત્રો યાદ રાખો.

Takeaway. આ મૂળભૂત સૂત્રો દરેક પ્રશ્નમાં કામ આવે છે.

ઇન્ટિગ્રેશનના મૂળભૂત સૂત્રો

ઇન્ટિગ્રેશન — ડેરિવેટિવનો ઉલટો.

Takeaway. ઇન્ટિગ્રેશનમાં C લખવાનું ભૂલશો નહીં.

ઇન્ટિગ્રેશન સ્થિરાંક C ભૂલો નહીં

C ભૂલ્યા? માર્ક ગયા!

Takeaway. C લખવાથી પૂરા માર્ક મળે છે.

ચેન રૂલ (Chain Rule)

બહારથી અંદર — ડેરિવેટિવ લો.

Takeaway. સંયુક્ત ફંક્શનના ડેરિવેટિવમાં ચેન રૂલ જરૂરી છે.

ગુણાકારનો નિયમ (Product Rule)

પહેલું × બીજાનું ડેરિવેટિવ + ...

Takeaway. બે ફંક્શનના ગુણાકારમાં આ નિયમ વાપરો.

ભાગાકારનો નિયમ (Quotient Rule)

ભાગાકારમાં આ નિયમ યાદ રાખો.

Takeaway. છેદમાં v² આવે છે — ભૂલો નહીં.

ઉદાહરણ: રેખીય OC ઉકેલો

એક ઉદાહરણથી સ્પષ્ટ થાય.

Takeaway. I.F. ગણો, પછી સૂત્રમાં મૂકો — જવાબ મળી જાય.

પરીક્ષા ટિપ: પગલાં દર્શાવો

પગલાં લખો, માર્ક મેળવો.

Takeaway. પગલાં આધારિત માર્કિંગમાં દરેક પગલું મહત્વનું છે.

યાદ રાખવાની યુક્તિ: I.F. સૂત્ર

I.F. = e ઘાત P નું ઇન્ટિગ્રલ.

"**I**ntegrate **P**, **e**xponentiate" — I.F. = $e^{\int P\,dx}$ યાદ રાખવા માટે આ વાક્ય વાપરો.

Takeaway. P નું ઇન્ટિગ્રલ લો, પછી e ની ઘાતમાં મૂકો.